考研数电·零基础讲义 第13讲（下）｜触发器按逻辑功能分类：SR、JK、D、T、T'

考研数电·零基础讲义 · 第 13 讲（下）｜触发器按逻辑功能分类：SR、JK、D、T、T' 学完本讲，你能写出五种触发器的特性表、特性方程、状态转换图和驱动表，能看懂"下降沿 JK"这类波形题，并会用"特性方程对比法"把一种触发器改接成另一种。特性方程是下一讲时序电路分析的"计算公式"，务必背熟。预计用时 100 分钟。

本讲地图#

• 逻辑功能 ≠ 触发方式：前两讲按"什么时候动"（电平、脉冲、边沿）分类；本讲按"动成什么样"（SR、JK、D、T、T'）分类，两者互不决定。
• 四件描述工具：特性表、特性方程、状态转换图、驱动表（激励表）。
• 五种触发器：SR（⁠$Q^{*}=S+\overline{R}Q$⁠，$SR=0$⁠）、JK（⁠$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q$⁠）、D（⁠$Q^{*}=D$⁠）、T（⁠$Q^{*}=T\oplus Q$⁠）、T'（⁠$Q^{*}=\overline{Q}$⁠）。
• 相互转换：写出目标方程 → 凑成已有触发器方程的样子 → 对比得到接法。
• 华师怎么考：2026 回忆题第 7 题要求写"驱动（激励）方程、状态方程"，状态方程就是把驱动方程代入特性方程得到的；特性方程写错，后面全错。转换接法、画波形也是常见小题。
• 教材对应：阎石第六版 5.3.4 节。

前置知识#

• 边沿触发、脉冲触发的动作特点，见第 13 讲（中）；SR 锁存器的约束条件，见第 13 讲（上）。
• 卡诺图化简与无关项，见第 04 讲（中）、（下）。
• 异或运算$A\oplus B$⁠，见第 02 讲（上）。

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一、两个维度：触发方式和逻辑功能#

1.1 大白话：发车时间和去哪儿#

把触发器想成公交车：

• 触发方式回答"什么时候发车"：电平触发是"门开着随时上下"，边沿触发是"整点准时发一班"，脉冲触发是"高电平时上客、下降沿关门开走"。
• 逻辑功能回答"发车以后开到哪儿"：给定输入和现态，次态是什么。

两件事是独立的：同一条线路（同样的逻辑功能）可以用不同的发车方式；同样整点发车（同样的触发方式）也可以开不同线路。教材原话："触发器的触发方式和逻辑功能之间并无固定的对应关系。" 比如 D 锁存器（电平触发）和 CMOS 边沿 D 触发器都属于"D 触发器"；边沿触发既能做成 D 型，也能做成 JK 型。

1.2 本讲的约定#

本讲只关心逻辑功能，所以下面的特性表都不写 CLK 一栏，意思是"当有效时钟到来时，次态$Q^{*}$与输入、现态$Q$的关系"。没有有效时钟时，任何触发器都保持不变。

还要注意：教材定义"SR 触发器"等是指受时钟控制的触发器；第 13 讲（上）的 SR 锁存器不受时钟控制，不属于这里的 SR 触发器。

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二、描述逻辑功能的四件工具#

教材特别指出：特性表直观，但不能用来做逻辑运算；分析和设计时序电路时必须用特性方程。

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三、SR 触发器#

3.1 特性表#

凡是在时钟作用下逻辑功能符合下表的，不论触发方式如何，都叫 SR 触发器：

第 13 讲（上）的电平触发 SR 触发器、第 13 讲（中）的主从 SR 触发器都属于这一类。

3.2 推导特性方程（一步一步）#

第 1 步：写出$Q^{*}=1$的行。 有$SRQ=001$⁠、$100$⁠、$101$三行，写成最小项之和：

$$Q^{*}=\overline{S}\,\overline{R}Q+S\overline{R}\,\overline{Q}+S\overline{R}Q$$

第 2 步：先用公式合并后两项。 $S\overline{R}\,\overline{Q}+S\overline{R}Q=S\overline{R}$⁠，所以$Q^{*}=S\overline{R}+\overline{S}\,\overline{R}Q$⁠。

第 3 步：利用约束条件化简。 $S=R=1$的两行（最小项$m_6$⁠、$m_7$⁠）不允许出现，可以当作无关项。画卡诺图（行是$Q$⁠，列是$SR$⁠，按格雷码 00、01、11、10 排）：

• 圈 1：右边两列（⁠$SR=11$⁠、$10$⁠）共 4 格，借用两个 ×，得到$S$⁠；
• 圈 2：$Q=1$行的$SR=00$⁠、$10$两格（首尾相邻），得到$\overline{R}Q$⁠。

于是得到 SR 触发器的特性方程：

$$\begin{cases} Q^{*}=S+\overline{R}Q \\ SR=0\ \text{（约束条件）} \end{cases}$$

用 sympy 的 SOPform 把$m_6$⁠、$m_7$设为无关项化简，结果正是$S+\overline{R}Q$（验算脚本 13-flipflops.py）。

3.3 状态转换图与驱动表#

状态转换图怎么画：触发器只有 0、1 两个状态，所以画两个圆圈；每个圆圈要引出两条箭头（一条指向自己、一条指向另一个状态），一共 4 条箭头，对应特性表里"现态 → 次态"的 4 种组合。每条箭头旁写上"让这种转换发生的输入条件"。条件从特性表"反着读"——

• $0\to0$⁠：$S=0$即可（⁠$R$任意）；
• $0\to1$⁠：必须$S=1$⁠、$R=0$⁠；
• $1\to0$⁠：必须$S=0$⁠、$R=1$⁠；
• $1\to1$⁠：$R=0$即可（⁠$S$任意）。

驱动表（⁠$\times$表示取 0 取 1 都行）：

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四、JK 触发器#

4.1 特性表#

JK 触发器把 SR 的"禁止"那两行改成了"翻转"：

口诀："00 保持，01 置 0，10 置 1，11 翻转"（顺序$JK$⁠）。J 像 S（置 1），K 像 R（置 0）。

4.2 推导特性方程#

$Q^{*}=1$的行：$JKQ=001$⁠、$100$⁠、$101$⁠、$110$⁠。卡诺图（行$Q$⁠，列$JK$⁠）：

• 圈 1：$Q=0$行的$JK=11$⁠、$10$⁠，得$J\overline{Q}$⁠；
• 圈 2：$Q=1$行的$JK=00$⁠、$10$⁠，得$\overline{K}Q$⁠。

JK 触发器的特性方程：

$$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q$$

记法："J 管 0 变 1，K 管 1 变 0"——现态为 0 时，看$J$是否为 1 决定要不要变 1；现态为 1 时，看$K$是否为 0 决定能不能留在 1。没有约束条件。

逐行验算一遍（拿到任何特性方程都建议这样做，30 秒就能避免背错）：

为什么这个式子"长得像"特性表？可以这样理解：$Q^{*}$要等于 1，只有两种可能——原来是 0、并且$J$喊"变 1"（⁠$J\overline{Q}$⁠）；或者原来是 1、并且$K$没有喊"变 0"（⁠$\overline{K}Q$⁠）。把这两句话用"或"连起来，就是特性方程。SR 的方程$S+\overline{R}Q$也能这样读："要么$S$喊置 1，要么原来是 1 而$R$没喊置 0"。

4.3 状态转换图与驱动表#

• $0\to0$⁠：$J=0$（⁠$K$任意）；$0\to1$⁠：$J=1$（⁠$K$任意）；
• $1\to0$⁠：$K=1$（⁠$J$任意）；$1\to1$⁠：$K=0$（⁠$J$任意）。

JK 的驱动表里 × 最多，设计电路时最省门，这是 JK 触发器受欢迎的原因之一。

驱动表怎么用？举个小例子。 假如我们希望某个 JK 触发器在连续 3 个时钟里走出$0\to1\to1\to0$的轨迹，每一步该给什么输入？

"×"不是"不知道"，而是"给 0 给 1 都满足要求"。设计时可以把它当作卡诺图里的无关项，挑对化简最有利的值——第 17 讲设计同步时序电路时就是这么做的。

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五、T 触发器和 T' 触发器#

5.1 T 触发器#

大白话：T 是 Toggle（拨动开关）。$T=1$时每来一个时钟就翻一次，$T=0$时保持。

特性方程：

$$Q^{*}=T\overline{Q}+\overline{T}Q=T\oplus Q$$

也就是"$T$和$Q$异或"。观察 JK 的特性表，令$J=K=T$正好得到这张表，所以把 JK 触发器的 J、K 连在一起当 T 端就是 T 触发器。正因为如此，集成电路产品中通常没有专门的 T 触发器。

驱动表：$Q\to Q^{*}$不变则$T=0$⁠，改变则$T=1$⁠，即$T=Q\oplus Q^{*}$⁠。

5.2 T' 触发器#

把 T 触发器的 T 端固定接高电平（⁠$T\equiv1$⁠），就成了 T' 触发器（读作"T 撇"）：

$$Q^{*}=\overline{Q}$$

每来一个时钟必然翻转一次。它的输出频率是时钟的一半，所以常用来做二分频和计数器的每一位（第 16 讲会用到）。

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六、D 触发器#

$$Q^{*}=D$$

大白话：照相机，时钟来时把$D$拍下来存着。D 锁存器、CMOS 边沿 D 触发器在逻辑功能上都属于 D 触发器。D 触发器的驱动表最简单：要让次态是几，$D$就给几（⁠$D=Q^{*}$⁠）。它在 CMOS 集成电路里最常见，2026 回忆题第 7 题就是用 D 触发器构成的时序电路。

图 1：SR、JK、T、D 四种触发器的状态转换图（箭头旁为转换条件，未写出的输入取任意值）

6.1 五种触发器怎么选（一句话理解各自的"性格"）#

• D：最老实，"给什么存什么"。存数据、做寄存器和移位寄存器（第 15 讲）首选它；CMOS 集成电路里最常见。
• JK：功能最全，保持、置 0、置 1、翻转样样都会，驱动表 × 多，手工设计时常能省门；还能直接当 SR、T 用。
• T / T'：专管"翻不翻"。做计数器、分频器最顺手，但一般没有专门的芯片，用 JK（⁠$J=K=T$⁠）或 D（⁠$D=T\oplus Q$⁠）改接得到。
• SR：历史最久、有约束，现在多作为内部结构（锁存器、主从结构）出现，单独使用较少。

考试里最常见的是 D 和 JK：分析题给你电路，你要能立刻写出它们的特性方程；设计题让你选触发器，D 最省事、JK 最省门。

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七、例题 1：下降沿 JK 触发器画波形#

题：下降沿触发的 JK 触发器（边沿触发），初态$Q=0$⁠，CLK、$J$⁠、$K$波形如图 2 前三行，画出$Q$⁠。

图 2：下降沿 JK 触发器例题波形，虚线为下降沿（扫描线动画循环播放）

解：这是边沿触发器，所以只看每个下降沿到达前一瞬间的$J$⁠、$K$⁠，用特性方程$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q$（或口诀）计算：

答：$Q$在①～④依次变为 1、1、0、1。图中第 1 个 CLK 高电平期间$K$有个短脉冲，第 2 个低电平期间$J$变成了 1——对边沿触发器都没有影响。（Python 逐时隙模拟一致。）

对比上一讲的主从 JK：如果这是脉冲触发的 JK，就必须考虑高电平期间的全部变化。所以做题第一步永远是看清触发方式，第二步才是用逻辑功能计算。

7.1 例题 1 补充：T 触发器的计数作用#

题：上升沿 T 触发器初态$Q=0$⁠，6 个上升沿到达时$T$依次为 1、1、0、1、0、0，写出$Q$的序列。若$T$一直为 1 呢？

解：$Q^{*}=T\oplus Q$⁠，$T=1$翻转、$T=0$保持：

若$T$恒为 1（即 T' 触发器），$Q$依次为 1、0、1、0、1、0：每两个时钟$Q$完成一个周期，频率减半。把几个这样的触发器串起来，就能数时钟个数——这正是第 16 讲计数器的基本思路。（两种情况都用 Python 核对。）

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八、触发器之间的相互转换#

8.1 为什么要转换#

手头只有 JK 触发器，题目却要 D 触发器；或者芯片里只有 D 触发器，要做一个 T 触发器——这时就要"改接"：在已有触发器的输入端加一点门电路，让整体的特性方程变成目标触发器的方程。

8.2 通用方法：特性方程对比法#

1. 写出目标触发器的特性方程；
2. 把它变形，凑成已有触发器特性方程的形式（比如 JK 的$J\overline{Q}+\overline{K}Q$形式）；
3. 对比系数，得到已有触发器每个输入端该接什么；
4. 画出电路，最好再用特性表逐行验证。

8.3 用 JK 触发器构成其他触发器#

① JK → D：目标$Q^{*}=D$⁠。用"配项"把它凑成 JK 的样子：

$$Q^{*}=D=D(\overline{Q}+Q)=D\overline{Q}+DQ$$

与$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q$对比：$J=D$⁠，$\overline{K}=D$⁠，即$K=\overline{D}$⁠。接法：$D$直接接 J，经反相器接 K。

② JK → T：目标$Q^{*}=T\overline{Q}+\overline{T}Q$⁠，直接对比得$J=K=T$⁠。

③ JK → T'：目标$Q^{*}=\overline{Q}=1\cdot\overline{Q}+\overline{1}\cdot Q$⁠，得$J=K=1$⁠。

④ JK → SR：目标$Q^{*}=S+\overline{R}Q$⁠。先把$S$配项：$S=S\overline{Q}+SQ$⁠，于是

$$Q^{*}=S\overline{Q}+(S+\overline{R})Q$$

由约束$SR=0$⁠：$S=1$时必有$R=0$⁠，所以$S+\overline{R}=\overline{R}$⁠。得$Q^{*}=S\overline{Q}+\overline{R}Q$⁠，对比得$J=S$⁠、$K=R$——JK 触发器直接就能当 SR 触发器用。

8.4 用 D 触发器构成其他触发器#

D 触发器的方程是$Q^{*}=D$⁠，所以目标方程右边是什么，就让$D$等于什么：

• D → JK：$D=J\overline{Q}+\overline{K}Q$（需要几个门把$Q$反馈回来）；
• D → T：$D=T\oplus Q$（一个异或门）；
• D → T'：$D=\overline{Q}$（把$\overline{Q}$接回$D$⁠，就是第 13 讲（中）说的二分频）。

8.5 其他组合#

• SR → JK：目标$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q$⁠，已有$Q^{*}=S+\overline{R}Q$⁠。取$S=J\overline{Q}$⁠、$R=KQ$⁠：代入得$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{KQ}\,Q=J\overline{Q}+(\overline{K}+\overline{Q})Q=J\overline{Q}+\overline{K}Q$ ✓，而且$SR=J\overline{Q}\cdot KQ=0$⁠，约束自动满足。——这其实就是第 13 讲（中）主从 JK 的构造思路。
• SR → D：$S=D$⁠、$R=\overline{D}$（第 13 讲（上）的 D 锁存器）。
• T → D：$Q^{*}=T\oplus Q$要等于$D$⁠，则$T=D\oplus Q$（因为$(D\oplus Q)\oplus Q=D$⁠）。

图 3：三种常用转换接法——JK 当 D 用、D 当 T 用、JK 当 T' 用

8.6 转换关系速查表#

表中每一格都用 Python 对所有输入组合和两个现态做了穷举核对（SR 作为"已有"时同时核对了$SR=0$⁠）。

为什么 JK 能代替 SR，SR 却不能代替 JK？因为 JK 的特性表包含了 SR 的全部合法行（SR 不用的 11 输入，JK 定义为翻转，不影响 SR 的用法）；反过来 SR 的 11 输入是禁止的，实现不了 JK 的"翻转"——除非像上面那样外加门电路反馈$Q$⁠。

8.7 例题 2：判断接法的功能#

题：JK 触发器接成$J=1$⁠、$K=Q$⁠，问它实现什么功能？

解：代入特性方程：

$$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q=1\cdot\overline{Q}+\overline{Q}\cdot Q=\overline{Q}$$

每来一个时钟翻转一次，是 T' 触发器。验证：$Q=0$时$J=1,K=0$⁠，置 1；$Q=1$时$J=1,K=1$⁠，翻转为 0。✓

8.8 接完以后怎么自查#

转换题写出接法后，最稳妥的检查方法是列表逐行代入。以"JK 当 D 用（⁠$J=D$⁠、$K=\overline{D}$⁠）"为例：

四行全对，说明接法正确。考试时间紧可以只在草稿纸上过一遍，但这一步能抓住绝大多数"凑项凑错"的问题。

8.9 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 特性方程中的$Q$是现态，$Q^{*}$是次态，不能混；写成$Q^{n+1}=J\overline{Q^{n}}+\overline{K}Q^{n}$也是同一个意思。
• ⚠️ SR 的特性方程必须带约束条件 $SR=0$⁠，否则化简结果$S+\overline{R}Q$在$S=R=1$时会给出"1"的假象。
• ⚠️ T 的方程是$T\oplus Q$⁠，不是$T\odot Q$⁠；$T=1$翻转。
• ⚠️ 转换时不能只对比一部分：$Q^{*}=D$必须先配项成$D\overline{Q}+DQ$⁠，再与$J\overline{Q}+\overline{K}Q$逐项对比。

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九、特性方程的第一次实战：把"接线"代进方程#

9.1 大白话#

实际电路里，触发器的输入端往往不是接外部信号，而是接到别的触发器的输出上（或经过几个门）。这时只要把"输入端接的是什么"代进特性方程，就能算出每个触发器下一拍会变成什么。这就是第 14 讲"时序电路分析"的核心一步，这里先热个身。

9.2 例题 3#

题：两个下降沿 JK 触发器$FF_1$⁠、$FF_2$共用一个时钟，接法为$J_1=K_1=1$⁠，$J_2=K_2=Q_1$⁠。设初态$Q_2Q_1=00$⁠，求连续 4 个时钟后的状态变化。

解：

第 1 步：写出每个触发器输入端的式子（下一讲叫"驱动方程"）：$J_1=K_1=1$⁠，$J_2=K_2=Q_1$⁠。

第 2 步：代入 JK 特性方程$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q$（下一讲叫"状态方程"）：

$$Q_1^{*}=1\cdot\overline{Q_1}+\overline{1}\cdot Q_1=\overline{Q_1}$$ $$Q_2^{*}=Q_1\overline{Q_2}+\overline{Q_1}Q_2=Q_1\oplus Q_2$$

第 3 步：从初态开始一拍一拍算（注意每一拍都用现态代入，算完再整体更新）：

状态按 00→01→10→11→00 循环，正好是二进制数 0、1、2、3 递增——这是一个两位二进制加法计数器（Python 逐拍模拟一致）。

关键提醒：同一个时钟沿到来时，所有触发器同时按各自的现态计算次态。不能先算出$Q_1^{*}$再拿新的$Q_1$去算$Q_2^{*}$⁠。这个"同时更新"的规矩，下一讲会反复用到。

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速记卡#

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自测练习#

1. 默写 SR、JK、D、T、T' 五种触发器的特性方程。

答案与提示

SR：$Q^{*}=S+\overline{R}Q$⁠，$SR=0$⁠；JK：$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q$⁠；D：$Q^{*}=D$⁠；T：$Q^{*}=T\overline{Q}+\overline{T}Q=T\oplus Q$⁠；T'：$Q^{*}=\overline{Q}$⁠。

2. 边沿 JK 触发器初态$Q=0$⁠，连续 4 个有效时钟沿到达时$JK$依次为 11、10、00、01，写出每次之后的$Q$⁠。

答案与提示

11 翻转 → 1；10 置 1 → 1；00 保持 → 1；01 置 0 → 0。即 1、1、1、0（Python 核对）。

3. 上升沿 D 触发器的输入接成$D=A\oplus Q$⁠，初态$Q=0$⁠，6 个上升沿时$A$依次为 0、1、1、1、0、1，写出$Q$的序列，并说明这个电路相当于什么触发器。

答案与提示

$Q^{*}=A\oplus Q$⁠，相当于以$A$为输入的 T 触发器。$Q$依次为 0、1、0、1、1、0（⁠$A=1$翻转，$A=0$保持；Python 核对）。

4. JK 触发器接成$J=\overline{Q}$⁠、$K=1$⁠，它实现什么功能？

答案与提示

$Q^{*}=\overline{Q}\cdot\overline{Q}+\overline{1}\cdot Q=\overline{Q}$⁠，是 T' 触发器（每个时钟翻转）。

5. 用一个 D 触发器和若干门实现 T 触发器，写出$D$的表达式并说明用什么门。

答案与提示

令$Q^{*}=D=T\oplus Q$⁠，用一个异或门，输入接$T$和$Q$⁠，输出接$D$⁠。逐行验证：$T=0$时$D=Q$保持，$T=1$时$D=\overline{Q}$翻转。

6. 用 JK 触发器实现 D 触发器，写出推导过程。

答案与提示

$Q^{*}=D=D\overline{Q}+DQ$⁠，与$J\overline{Q}+\overline{K}Q$对比得$J=D$⁠、$K=\overline{D}$⁠：D 接 J，经非门接 K。

7. 用 SR 触发器加门电路实现 JK 触发器，$S$⁠、$R$应怎样接？说明为什么约束条件自动满足。

答案与提示

$S=J\overline{Q}$⁠、$R=KQ$⁠。代入$S+\overline{R}Q$得$J\overline{Q}+\overline{K}Q$⁠。因为$SR=JK\,Q\overline{Q}=0$⁠，约束条件恒满足。

8.（华师简答题风格）为什么从逻辑功能上看可以用 JK 触发器代替 SR 触发器，而不能用 SR 触发器直接代替 JK 触发器？

答案与提示

JK 触发器在$JK=00$⁠、$01$⁠、$10$时的功能与 SR 触发器在$SR=00$⁠、$01$⁠、$10$时完全相同，而 SR 触发器不允许使用$SR=11$⁠，所以 JK 可以覆盖 SR 的全部用法（⁠$J=S$⁠、$K=R$⁠）。JK 在$JK=11$时要求翻转，SR 触发器在$SR=11$时是禁止输入、次态不定，无法直接实现这一功能。

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下一讲预告#

第 14 讲：拿着本讲的特性方程，学习时序逻辑电路的完整分析步骤——驱动方程、状态方程、状态转换表、状态图、时序图、功能和自启动判断，并做两道与 2026 回忆题第 7 题同类型的 D 触发器电路分析。

👉 点击进入下一讲：第14讲｜时序逻辑电路的分析方法