考研数电·零基础讲义 第14讲｜时序逻辑电路的分析方法

考研数电·零基础讲义 · 第 14 讲｜时序逻辑电路的分析方法 学完本讲，拿到一张由触发器和门组成的同步时序电路图，你能按固定步骤写出驱动方程、状态方程、输出方程，列出状态转换表，画出状态转换图和时序图，说出电路的功能，并判断它能否自启动；遇到不能自启动的电路，还能说出修改思路。这正是 2026 回忆题第 7 题的完整题型。预计用时 120 分钟。

本讲地图#

• 时序电路的结构：组合电路 + 存储电路（触发器），存储电路的输出反馈回组合电路；用输出方程、驱动方程、状态方程三组方程描述。
• 同步时序电路分析七步法：驱动方程 → 状态方程 → 输出方程 → 状态转换表 → 状态转换图 → 时序图 → 功能与自启动。
• 三道完整例题：例 1 由 D 触发器构成、能自启动；例 2 由 D 触发器构成、不能自启动，并给出修改方法；例 3 带输入变量的米利型电路（序列检测）。所有状态序列都用 Python 逐拍模拟核对。
• 华师怎么考：2026 回忆题第 7 题就是"D 触发器构成的时序电路分析：(1) 驱动（激励）方程、状态方程 (2) 状态转换表/状态转换图 (3) 功能？能否自启动？"——本讲最后给出答题模板。
• 教材对应：阎石第六版 6.1 节、6.2.1、6.2.2 节；自启动的概念见 6.2.3 及 6.4.2 节。

前置知识#

• 五种触发器的特性方程，特别是 D 触发器$Q^{*}=D$⁠、JK 触发器$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q$⁠，见第 13 讲（下）。
• 边沿触发的动作特点（只在时钟沿按沿前一瞬间的输入动作），见第 13 讲（中）。
• 组合电路的分析方法（从逻辑图写表达式），见第 08 讲；卡诺图化简与无关项，见第 04 讲（中）、（下）。

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一、时序电路长什么样#

1.1 大白话：下棋#

组合电路像计算器上的"开平方"键：输入 9 就出 3，跟你以前按过什么没关系。

时序电路像下棋：同样是"走马"，棋盘局面不同，结果完全不同。棋盘局面就是电路的状态，它记录了"过去发生过什么"。教材的定义：时序电路任一时刻的输出不仅取决于当时的输入，还取决于电路原来的状态。

1.2 结构：组合电路 + 存储电路 + 反馈#

时序电路通常有两部分：

• 存储电路：若干个触发器，它们的输出$Q_1,Q_2,\dots$就是电路的状态；
• 组合电路：一堆门，把输入$X$和状态$Q$组合起来，产生输出$Y$⁠，以及送给触发器输入端的信号（叫驱动信号或激励信号，比如 D 触发器的$D$⁠、JK 触发器的$J$⁠、$K$⁠）。

最关键的特征：触发器的输出要反馈回组合电路的输入端，和外部输入一起决定下一步。

1.3 三组方程#

有了这三组方程，电路的逻辑功能在理论上就完全确定了。但方程看不出"它到底在干嘛"，所以还要列表、画图。

1.4 两种分类#

• 同步 / 异步：所有触发器接同一个时钟、同时翻转的叫同步时序电路；触发器时钟不统一的叫异步时序电路。本讲讲同步电路（考研主流），异步电路分析时要额外判断每个触发器"这一拍有没有时钟"。
• 米利型（Mealy）/ 穆尔型（Moore）：输出与输入$X$有关的是米利型；输出只取决于状态的是穆尔型。注意：时钟 CLK 不算输入变量，它只是控制翻转时刻的操作信号。

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二、同步时序电路分析七步法#

先记住这张流程表，三道例题都按它走：

几个以后天天用的名词：

• 有效状态 / 有效循环：电路正常工作时反复经过的那些状态及其组成的循环；
• 无效状态：$n$个触发器共有$2^n$个状态，有效循环没用到的就是无效状态（比如上电瞬间、受干扰时可能出现）；
• 能自启动：电路处于任何一个无效状态时，在时钟作用下都能自动进入有效循环。只要有一个无效状态回不去（例如几个无效状态自己转成一个圈），就不能自启动。

⚠️ 第 4 步一定要把$2^n$个状态全部列出来。只从初态开始顺着算、算到回到初态就停，会漏掉无效状态，自启动就没法判断了。

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三、例 1：由 D 触发器构成的同步电路（能自启动）#

题：分析图 1 所示同步时序电路。三个触发器都是上升沿触发的 D 触发器，共用时钟 CLK。要求：(1) 写出驱动方程、状态方程和输出方程；(2) 列出状态转换表，画出状态转换图和时序图；(3) 说明电路功能，判断能否自启动。

图 1：例 1 的同步时序电路（三个上升沿 D 触发器，一个或非门、一个异或门、一个与门，输出$Y=Q_3$⁠）

第 0 步：看清电路#

• 3 个上升沿 D 触发器，同一个 CLK → 同步电路；
• 没有外部输入$X$ → 次态和输出只由现态决定，是穆尔型；
• 门电路：$FF_1$前面是或非门（输入$Q_1$⁠、$Q_3$⁠），$FF_2$前面是异或门（输入$Q_1$⁠、$Q_2$⁠），$FF_3$前面是与门（输入$Q_1$⁠、$Q_2$⁠）；输出$Y$直接取自$Q_3$⁠。

第 1 步：驱动方程#

顺着导线读出每个$D$端接的是什么：

$$D_1=\overline{Q_1+Q_3}=\overline{Q_1}\,\overline{Q_3},\qquad D_2=Q_1\oplus Q_2,\qquad D_3=Q_1Q_2$$

（⁠$D_1$用了摩根定理把"或非"写成"非与非"的形式，见第 02 讲（下）。）

第 2 步：状态方程#

D 触发器的特性方程是$Q^{*}=D$⁠，直接代入：

$$Q_1^{*}=\overline{Q_1}\,\overline{Q_3},\qquad Q_2^{*}=Q_1\oplus Q_2,\qquad Q_3^{*}=Q_1Q_2$$

D 触发器构成的电路，状态方程和驱动方程"长得一样"，但意义不同：驱动方程说的是"D 端接了什么"，状态方程说的是"下一拍 Q 变成什么"。答题时两组方程都要写出来。

第 3 步：输出方程#

$$Y=Q_3$$

第 4 步：状态转换表#

状态按$Q_3Q_2Q_1$的顺序书写（⁠$Q_3$为高位）。先详细算一行，比如现态$Q_3Q_2Q_1=011$⁠，即$Q_1=1$⁠、$Q_2=1$⁠、$Q_3=0$⁠：

• $Q_1^{*}=\overline{Q_1}\,\overline{Q_3}=\overline{1}\cdot\overline{0}=0\cdot1=0$
• $Q_2^{*}=Q_1\oplus Q_2=1\oplus1=0$
• $Q_3^{*}=Q_1Q_2=1\cdot1=1$
• $Y=Q_3=0$

所以$011\to100$⁠，$Y=0$⁠。其余 7 行同样计算，8 个状态全部列出：

也可以写成"按时钟顺序"的形式，更直观：

第 5 步：状态转换图#

从表里读出箭头：$000\to001\to010\to011\to100\to000$构成一个5 个状态的循环；另外$101\to010$⁠、$110\to010$⁠、$111\to100$三个状态都直接跳进了循环。箭头旁标"/Y"（没有输入，斜线上方不写）。

图 2：左为例 1 的状态转换图（灰色为无效状态，都能进入有效循环）；右为例 2 的状态转换图（红色两个状态构成无效循环，绿色虚线为修改后的去向）。橙色圆环沿有效循环跑动（动画循环播放）

第 6 步：时序图#

从 000 开始，在每个 CLK 上升沿按状态表更新一次$Q_3Q_2Q_1$⁠，画出各自的波形。画法要点：

1. 先画 CLK，标出每个上升沿；
2. 状态只在上升沿处跳变，两个上升沿之间保持；
3. 穆尔型输出$Y$只取决于状态，所以和状态同时跳变。

图 3：例 1 从 000 开始、12 个时钟作用下的时序图（波形由 Python 逐拍模拟生成，扫描线动画循环播放）

第 7 步：功能与自启动#

功能：有效循环$000\to001\to010\to011\to100\to000$正好是二进制数 0、1、2、3、4 依次加 1，再回到 0，共 5 个状态；每 5 个时钟，$Y$输出一个高电平脉冲。所以这是一个同步五进制加法计数器，$Y$是进位输出。

自启动：无效状态 101、110、111 经过 1 个时钟分别进入 010、010、100，都落进了有效循环，所以能自启动。

验算：用 Python 对 8 个状态逐个模拟，有效循环长度为 5，所有无效状态都能进入循环（脚本 14-analysis.py）。

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四、例 2：不能自启动的电路，以及怎么改#

题：同步时序电路由 3 个上升沿 D 触发器构成，从逻辑图读出：$D_1$接$\overline{Q_3}$⁠，$D_2$接$Q_1$⁠，$D_3$接$Q_2$⁠，输出$Y=Q_3\overline{Q_2}$⁠。分析其功能，判断能否自启动；若不能，提出修改方案。

第 1～3 步：三组方程#

驱动方程：

$$D_1=\overline{Q_3},\qquad D_2=Q_1,\qquad D_3=Q_2$$

状态方程（代入$Q^{*}=D$⁠）：

$$Q_1^{*}=\overline{Q_3},\qquad Q_2^{*}=Q_1,\qquad Q_3^{*}=Q_2$$

输出方程：

$$Y=Q_3\overline{Q_2}$$

看结构：$Q_1\to Q_2\to Q_3$依次传递，最后$\overline{Q_3}$又送回$D_1$——这是一个"首尾反相相接"的移位结构（第 15 讲会知道它叫扭环形计数器）。

第 4 步：状态转换表（8 个状态全列）#

算一行示范：现态$010$（⁠$Q_1=0,Q_2=1,Q_3=0$⁠）：$Q_1^{*}=\overline{0}=1$⁠，$Q_2^{*}=Q_1=0$⁠，$Q_3^{*}=Q_2=1$⁠，次态$101$⁠。

第 5、7 步：状态图、功能、自启动#

从 000 出发：$000\to001\to011\to111\to110\to100\to000$⁠，6 个状态的循环，每次只有一位变化；在这个循环里只有 100 时$Y=1$⁠，每 6 个时钟输出一个脉冲。所以有效循环是一个六进制计数器（⁠$Y$为进位输出）。

剩下两个状态：$010\to101\to010$⁠，它们自己转成一个圈（无效循环），永远回不到有效循环（见图 2 右）。所以电路不能自启动。一旦上电时落到 010 或 101，或者工作中被干扰打进去，计数器就"卡死"在错误的两状态循环里。

修改思路一：改反馈逻辑（推荐，最根本）#

想法：有效循环里的转换一个都不能动，只改无效状态的去向，让它们能进入有效循环。

因为$Q_2^{*}=Q_1$⁠、$Q_3^{*}=Q_2$是移位关系，我们只改$D_1$⁠。把有效状态对$D_1$（也就是$Q_1^{*}$⁠）的要求填进卡诺图（行$Q_3$⁠，列$Q_2Q_1$⁠）：

• 有效状态 000、001、011 的次态分别是 001、011、111，要求$Q_1^{*}=1$⁠；111、110、100 的次态分别是 110、100、000，要求$Q_1^{*}=0$⁠。这 6 格不许改。
• 无效状态 010：原来$D_1=1$使它去 101；现在指定$D_1=0$，那么次态为$Q_3^{*}Q_2^{*}Q_1^{*}=Q_2\,Q_1\,0=100$⁠，正好是有效状态！
• 无效状态 101：暂时当无关项 ×。

化简：圈$Q_3=0$行的 00、01 两格得$\overline{Q_3}\,\overline{Q_2}$⁠，圈 01、11 两格得$\overline{Q_3}Q_1$⁠：

$$D_1=\overline{Q_3}\,\overline{Q_2}+\overline{Q_3}Q_1=\overline{Q_3}\,(\overline{Q_2}+Q_1)$$

检查（必须做！）：×（101）在化简中被圈在外面，即取$D_1=0$⁠，于是$101\to010\to100$⁠，也进入了有效循环。6 个有效状态的去向一个没变。所以修改后能自启动。

验算：Python 对修改后的电路逐状态模拟，有效循环仍是 000→001→011→111→110→100→000，010、101 都能进入有效循环（14-analysis.py）；sympy 按"010 取 0、101 无关"化简$D_1$⁠，结果相同。

修改思路二：开机预置#

利用触发器的异步置零端（⁠$\overline{R_D}$⁠），在电源接通时给一个清零脉冲，把电路强行置成有效状态 000。这样开机一定从有效循环开始。

缺点：它只管"开机那一下"。工作中如果被干扰打进 010 或 101，电路照样卡死。所以题目问"如何使电路能自启动"时，首选思路一（修改逻辑设计），思路二可以作为补充。

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五、例 3：带输入变量的米利型电路#

题：同步时序电路由两个上升沿 D 触发器构成，输入为$X$（每个时钟周期送入一位串行数据），读图得：

$$D_1=X\,\overline{Q_1}\,\overline{Q_2},\qquad D_2=X\,(Q_1+Q_2),\qquad Y=XQ_2$$

分析电路功能，判断能否自启动。

第 1～3 步#

驱动方程即上式；状态方程：

$$Q_1^{*}=X\,\overline{Q_1}\,\overline{Q_2},\qquad Q_2^{*}=X\,(Q_1+Q_2)$$

输出方程$Y=XQ_2$——输出和输入$X$直接有关，是米利型电路。

第 4 步：状态转换表#

有输入时，状态转换表要对"每个现态 × 每个输入"都算。常用二维表：行是现态$Q_2Q_1$⁠，列是输入$X$⁠，格子里写"次态$Q_2^{*}Q_1^{*}$ / 输出$Y$"：

示范一格：现态 01（⁠$Q_1=1,Q_2=0$⁠）、$X=1$⁠：$Q_1^{*}=1\cdot0\cdot1=0$⁠，$Q_2^{*}=1\cdot(1+0)=1$⁠，$Y=1\cdot0=0$⁠，填"10 / 0"。

第 5 步：状态图（文字版）#

• 00：$X=0$回 00（输出 0），$X=1$去 01（输出 0）；
• 01：$X=0$回 00（输出 0），$X=1$去 10（输出 0）；
• 10：$X=0$回 00（输出 0），$X=1$留在 10（输出 1）；
• 11：$X=0$去 00，$X=1$去 10（输出 1）。

画图时箭头旁写"$X/Y$"，如"1/0""1/1"。

第 6 步：给一串输入模拟（相当于时序图的表格版）#

设初态 00，输入序列$X=0,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1$⁠：

（米利型输出$Y$是"本拍的现态 + 本拍的$X$"算出来的，在时钟沿到来之前读取。）

第 7 步：功能与自启动#

状态的含义：00 = "前面没有连续的 1"，01 = "已经连续收到 1 个 1"，10 = "已经连续收到 2 个或更多 1"。只要$X=0$就回到 00。

功能：当输入连续出现 3 个或 3 个以上的 1 时，从第 3 个 1 起输出$Y=1$——这是一个**"111"序列检测器**（可重叠检测）。上表第 4、5、12 拍正是这样。

自启动：11 是无效状态，$X=0$时去 00，$X=1$时去 10，无论输入是什么都进入有效状态，所以能自启动。

验算：Python 按方程逐拍模拟上述输入序列，$Y$在第 4、5、12 拍为 1（14-analysis.py）。

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六、怎么一眼看出"功能"#

分析题第 (3) 问常让人卡壳。几条经验：

1. 数有效循环有几个状态：$M$个状态的循环，基本就是"$M$进制计数器"或"$M$分频器"。
2. 看状态是不是按二进制数递增/递减：递增叫加法计数器，递减叫减法计数器；如果每次只变一位（如例 2），可能是格雷码式计数或扭环形计数器。
3. 看输出$Y$：每循环一周出一个脉冲，通常是进位（或借位）输出。
4. 看结构：$Q_1\to Q_2\to Q_3$依次传递的是移位寄存器型电路（第 15 讲）。
5. 有输入$X$时：看$X$取不同值时循环是否不同（如$X=0$加法、$X=1$减法，叫可控计数器），或者看输出在什么输入序列下为 1（序列检测器）。
6. 描述功能要完整：说清"几进制、加法还是减法、同步还是异步、$Y$是什么、能否自启动"。

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七、真题怎么考：2026 回忆题第 7 题的答题模板#

2026 回忆题第 7 题：时序电路分析（D 触发器构成）：(1) 驱动（激励）方程、状态方程 (2) 状态转换表/状态转换图 (3) 功能？能否自启动？

拿到图后，按下面的模板写，步骤分一分不丢：

1. 驱动方程：$D_1=\cdots$⁠，$D_2=\cdots$⁠，$D_3=\cdots$（写清每个 D 端接的逻辑式，有门的要化成与或式）。
2. 状态方程：由 D 触发器特性方程$Q^{*}=D$得$Q_1^{*}=\cdots$⁠，$Q_2^{*}=\cdots$⁠，$Q_3^{*}=\cdots$⁠。如果有输出，再写输出方程 $Y=\cdots$⁠。
3. 状态转换表：$2^n$个现态全部列出（有输入时每个输入值都要列），写出次态和输出。
4. 状态转换图：画出有效循环和所有无效状态的去向，箭头旁标"输入/输出"。
5. 功能："该电路是同步$M$进制（加法/减法）计数器，$Y$为进位输出"之类。
6. 自启动：写一句判断依据——"无效状态 ×××、××× 在时钟作用下均能进入有效循环，故电路能自启动"，或"无效状态 ××× 与 ××× 构成无效循环，不能进入有效循环，故电路不能自启动"。若题目追问，再给修改方案。

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八、易错点汇总 ⚠️#

• ⚠️ 状态表漏行：只算有效循环、不算无效状态，自启动就判断不了。$n$个触发器必须列满$2^n$行。
• ⚠️ "同时更新"：同一拍里所有触发器都用现态计算次态，算完再一起换成新状态；不能用刚算出来的$Q_1^{*}$去算$Q_2^{*}$⁠。
• ⚠️ 状态位的顺序：$Q_3Q_2Q_1$还是$Q_1Q_2Q_3$⁠，开头就要写清并一直保持；功能判断（是不是二进制递增）依赖这个顺序。
• ⚠️ JK 电路别忘代特性方程：D 触发器$Q^{*}=D$很省事，JK 触发器要代入$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q$再化简（见练习 2）。
• ⚠️ CLK 不是输入变量：没有$X$的电路是穆尔型，状态转换图箭头上方不写字。
• ⚠️ 自启动判断看"最终"能否进入：无效状态可以经过几步才进入有效循环（如例 2 修改后 101→010→100），也算能自启动。
• ⚠️ 修改电路后要复查：改反馈逻辑时，有效循环的转换不能被改坏，无关项最终取了什么值也要代回去检查。

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速记卡#

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自测练习#

1. 两个上升沿 D 触发器构成同步电路，$D_1=\overline{Q_2}$⁠，$D_2=Q_1$⁠。写出状态方程，列出状态转换表（状态写作$Q_2Q_1$⁠），说明功能，判断能否自启动。

答案与提示

$Q_1^{*}=\overline{Q_2}$⁠，$Q_2^{*}=Q_1$⁠。状态表：00→01，01→11，11→10，10→00。4 个状态构成一个循环 00→01→11→10→00，每次只变一位，是四进制计数器（格雷码顺序）。没有无效状态，能自启动。（Python 核对。）

2. 两个下降沿 JK 触发器构成同步电路，$J_1=K_1=1$⁠，$J_2=K_2=Q_1$⁠，输出$Y=Q_1Q_2$⁠。写出状态方程，列出状态转换表，说明功能。

答案与提示

代入$Q^{*}=J\overline{Q}+\overline{K}Q$⁠：$Q_1^{*}=\overline{Q_1}$⁠，$Q_2^{*}=Q_1\overline{Q_2}+\overline{Q_1}Q_2=Q_1\oplus Q_2$⁠。状态表（⁠$Q_2Q_1$⁠）：00→01（Y=0），01→10（Y=0），10→11（Y=0），11→00（Y=1）。是同步两位二进制（四进制）加法计数器，$Y$为进位输出；4 个状态全部有效，能自启动。

3.（2026 回忆题第 7 题同类型）三个上升沿 D 触发器构成同步电路：$D_1=\overline{Q_2}\,\overline{Q_3}$⁠，$D_2=Q_1$⁠，$D_3=Q_2$⁠，$Y=Q_3\overline{Q_2}$⁠。(1) 写出驱动方程和状态方程；(2) 列出状态转换表，画出状态转换图；(3) 说明功能，判断能否自启动。

答案与提示

(1) 驱动方程如题；状态方程$Q_1^{*}=\overline{Q_2}\,\overline{Q_3}$⁠，$Q_2^{*}=Q_1$⁠，$Q_3^{*}=Q_2$⁠；输出$Y=Q_3\overline{Q_2}$⁠。

(2) 状态表（⁠$Q_3Q_2Q_1$ → 次态 / $Y$⁠）：000→001/0，001→011/0，010→100/0，011→110/0，100→000/1，101→010/1，110→100/0，111→110/0。

(3) 有效循环 000→001→011→110→100→000，共 5 个状态，每循环一次$Y$输出一个脉冲（在 100 时），是同步五进制计数器。无效状态 010→100、101→010→100、111→110，都能进入有效循环，能自启动。（Python 逐状态模拟核对。）

4. 三个上升沿 D 触发器：$D_1=\overline{Q_1}$⁠，$D_2=Q_1\oplus Q_2$⁠，$D_3=Q_3\oplus(Q_1Q_2)$⁠，$Y=Q_1Q_2Q_3$⁠。说明功能。

答案与提示

状态按$Q_3Q_2Q_1$依次 000→001→010→011→100→101→110→111→000，是同步三位二进制（八进制）加法计数器，$Y$在 111 时为 1，是进位输出。8 个状态都是有效状态，能自启动。

5. 三个上升沿 D 触发器：$D_1=Q_3$⁠，$D_2=Q_1$⁠，$D_3=Q_2$⁠，初态$Q_3Q_2Q_1=001$⁠。写出有效循环，判断能否自启动。

答案与提示

$Q_1^{*}=Q_3$⁠、$Q_2^{*}=Q_1$⁠、$Q_3^{*}=Q_2$⁠，数据循环移位。有效循环 001→010→100→001（3 个状态，三进制环形计数器）。无效状态中 000、111 各自停在原地，011→110→101→011 构成另一个循环，都回不到有效循环，不能自启动。

6. 两个上升沿 D 触发器：$D_1=\overline{Q_1}\,\overline{Q_2}$⁠，$D_2=Q_1$⁠，$Y=Q_2$⁠。说明功能，判断能否自启动。

答案与提示

状态表（⁠$Q_2Q_1$⁠）：00→01，01→10，10→00，11→10。有效循环 00→01→10→00，三进制计数器，$Y$在 10 时为 1。无效状态 11 一拍后进入 10，能自启动。

7. 例 3 的电路，初态 00，输入$X$依次为 1、1、0、1、1、1、1、0，求每一拍的现态和输出$Y$⁠。

答案与提示

现态依次 00、01、10、00、01、10、10、10；$Y=XQ_2$依次 0、0、0、0、0、1、1、0。第 6、7 拍分别是连续的第 3、第 4 个 1，输出 1；第 8 拍$X=0$⁠，输出 0。（Python 核对。）

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下一讲预告#

第 15 讲：时序电路最简单的"成品"——寄存器和移位寄存器，看数据怎样在触发器之间一拍一拍地挪动，认识双向移位寄存器 74HC194，并预告环形、扭环形计数器。

👉 点击进入下一讲：第15讲｜寄存器与移位寄存器