考研数电·零基础讲义 第08讲｜组合逻辑电路的分析与设计方法

考研数电·零基础讲义 · 第 08 讲｜组合逻辑电路的分析与设计方法 学完这一讲，你能拿到一张逻辑图说出它是干什么的（分析），也能把一句中文要求变成一张能用的电路图（设计），包括 2026 回忆题"4 位奇校验器"这种题。预计用时 2～2.5 小时。

本讲地图#

• 组合逻辑电路是什么：输出只看"此刻"的输入，不记得过去。它是第 08～12 讲的共同主角。
• 分析方法（四步）：逐级写式 → 化简 → 列真值表 → 说功能。
• 设计方法（六步）：逻辑抽象 → 真值表 → 逻辑式 → 选器件 → 化简变换 → 画图，最后一定要验证。
• 华师怎么考：大题常见"按要求设计一个电路，用指定的门实现"，2026 回忆题第 6 题就是"设计 4 位奇校验器，用异或门实现"。本讲把它当作完整例题从头做到尾。
• 教材对应：阎石《数字电子技术基础》（第六版）第 4 章 4.1～4.3 节。

前置知识#

• 与、或、非、与非、或非、异或、同或的真值表（见第 02 讲上）。
• 真值表、逻辑式、逻辑图之间互相转换，最小项$m_i$的写法（见第 03 讲）。
• 公式化简、卡诺图化简、与非-与非形式变换（见第 04 讲上、中、下）。

如果这些还不熟，先别急着往下看，回去把卡诺图练顺，本讲会大量用到。

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一、先认识"组合逻辑电路"#

1.1 大白话：一台没有记忆的自动售货机#

想象一台很"笨"的投币灯：你按下哪几个按钮，灯就立刻按规则亮或灭；你一松手，它就恢复——它完全不记得你刚才按过什么。这就是组合逻辑电路的性格：

任意时刻的输出，只由这一时刻的输入决定，和电路以前处于什么状态无关。

与之相对的是"时序逻辑电路"（第 13 讲以后），它像一个计步器，能记住之前走了多少步，输出要看"现在的输入 + 过去的状态"。

1.2 正式定义与结构特点#

教材给出的两个特点，一个讲"功能"，一个讲"结构"：

1. 功能上：输出仅仅取决于当时的输入。
2. 结构上：电路里没有存储单元（没有触发器、没有锁存器），信号只从输入往输出单向流动，没有从输出拉回输入的反馈线。

一个有$n$个输入、$m$个输出的组合电路，可以写成一组函数：

$$Y_1=f_1(A_1,A_2,\cdots,A_n),\quad Y_2=f_2(A_1,\cdots,A_n),\quad \cdots,\quad Y_m=f_m(A_1,\cdots,A_n)$$

逐行拆解：

• $A_1\sim A_n$⁠：输入变量，每个只能是 0 或 1。
• $Y_1\sim Y_m$⁠：输出变量。
• $f_1$⁠、$f_2$⁠……：各自的"规则"，可以用真值表、逻辑式、逻辑图、波形图中任何一种来描述（第 03 讲讲过它们可以互相转换）。

除了"逻辑功能"，实际电路还有一个重要参数：传输延迟时间 $t_{pd}$（读作 t-p-d），即输入变了以后，输出要等多久才跟着变。一个信号要穿过几级门，总延迟就大约是几个$t_{pd}$⁠。这个参数第 12 讲"竞争-冒险"还会用到。

1.3 易错点 ⚠️#

• 判断是不是组合电路，看"有没有反馈、有没有存储"，不是看门的多少。门再多，只要信号单向流动，就是组合电路。
• "输出与过去无关"指稳定以后的结果。输入刚跳变的一瞬间，输出可能有短暂的毛刺，这是第 12 讲的内容，不改变它是组合电路的本质。

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二、组合逻辑电路的分析方法#

2.1 大白话：拆一台别人做好的机器#

"分析"就是：电路图已经给你了，问它是干什么用的。 好比别人给你一台机器，你顺着管道一段一段看水是怎么流的，最后总结出"哦，原来这是个净水器"。

2.2 分析的四个步骤#

1. 逐级写式：从输入端开始，给每个门的输出起个名字（比如$P_1$⁠、$P_2$⁠），一级一级往后写，直到写出输出$Y$的表达式。
2. 化简或变换：用公式法或卡诺图把式子化简，必要时变成异或、同或等更"眼熟"的形式。
3. 列真值表：把所有输入组合代进去，算出输出。真值表是看功能最直观的形式。
4. 说出功能：观察真值表的规律，用一句中文说清楚它是干什么的（表决器？比较器？校验器？加法器？）。

如果题目还问延迟，就数一数从输入到输出最长的路径经过了几级门。

图 1：分析（上）与设计（下）的步骤。两者都绕不开真值表

2.3 例题 1：只用与非门的电路#

题目：某电路由 4 个与非门组成：$P_1=\overline{AB}$⁠，$P_2=\overline{BC}$⁠，$P_3=\overline{AC}$⁠，输出$Y=\overline{P_1P_2P_3}$（第 4 个与非门把$P_1$⁠、$P_2$⁠、$P_3$再"与非"一次）。分析它的功能。

第 1 步：逐级写式。 已经给出了每一级，把它们串起来：

$$Y=\overline{\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AC}}$$

第 2 步：化简。 用反演律（摩根定理）$\overline{XYZ}=\overline{X}+\overline{Y}+\overline{Z}$⁠，把最外面那条长横线"拆开"：

$$Y=\overline{\overline{AB}}+\overline{\overline{BC}}+\overline{\overline{AC}}=AB+BC+AC$$

两条横线叠在一起抵消（⁠$\overline{\overline{X}}=X$⁠），于是得到最简与或式$Y=AB+BC+AC$⁠。

第 3 步：列真值表。

第 4 步：说功能。 观察：三个输入里有两个或两个以上是 1，输出就是 1。这是三人多数表决电路：三个人投票，同意记 1，多数同意就通过。

延迟：信号要先过第一级与非门，再过第二级与非门，总共$2t_{pd}$⁠。

小结论："与非-与非"结构 = "与-或"结构。看到两级与非门，直接把第一级当"与"，第二级当"或"就行，这个技巧在分析题里非常省时间。

2.4 例题 2：带异或门的电路#

题目：电路有三个输入$A$⁠、$B$⁠、$CI$⁠，两个输出。$S=(A\oplus B)\oplus CI$⁠，$CO=(A\oplus B)\cdot CI+AB$⁠。分析功能。

列真值表（把$A\oplus B$先算出来作为中间列，不容易错）：

说功能：把每一行的$A+B+CI$（当成普通数字相加）算一下：0、1、1、2、1、2、2、3。再看输出$CO\,S$当成两位二进制数：00、01、01、10、01、10、10、11，正好就是 0、1、1、2、1、2、2、3！所以这是1 位全加器：$S$是本位和，$CO$是向高位的进位。第 11 讲会专门讲它。

2.5 易错点 ⚠️#

• 写式时每一级都起名字，不要一口气写一长串，横线一多就容易漏一条。
• 化简后别忘了列真值表再"说功能"。光看$AB+BC+AC$⁠，很多同学说不出"多数表决"；一列表就一目了然。
• 说功能要用中文的应用场景来说（"三人表决""判断输入数是否大于 5"），只写"实现了$Y=AB+BC+AC$"在考试里会被扣分。

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三、组合逻辑电路的设计方法#

3.1 大白话：按订单造机器#

"设计"正好反过来：只给你一句话的要求，让你造出电路。 就像客户说"我要一台三个人投票、多数同意就亮灯的机器"，你得自己决定用几个开关、怎么接线。

难点不在画图，而在第一步——把中文翻译成 0 和 1。这一步叫逻辑抽象。

3.2 设计的六个步骤（外加验证）#

1. 逻辑抽象：
   • 找出"原因"和"结果"：原因做输入变量，结果做输出变量；
   • 规定 0、1 的含义（比如"同意 = 1，不同意 = 0""灯亮 = 1"），这叫状态赋值；
   • 根据题意列出真值表。到这一步，一个中文问题就变成了一张表。
2. 写出逻辑函数式：把真值表中输出为 1 的行写成最小项之和$\sum m(\cdots)$⁠。
3. 选定器件类型：题目要求用什么就用什么——与非门、或非门、异或门、译码器、数据选择器……
4. 化简或变换：用卡诺图化成最简式，再变换成"适合所选器件"的形式。比如只许用与非门，就变成与非-与非式；要用异或门，就设法凑成异或形式。
5. 画出逻辑电路图。
6. 验证：把电路再"分析"一遍，或者穷举所有输入，看是否与真值表一致。

教材还提到第 7 步"工艺设计"（做电路板、调试），考试不考，知道就行。

什么时候可以跳步？如果题目直接给了真值表，第 1 步就省了；如果逻辑关系很直白（比如"有奇数个 1 输出 1"），也可以不列表直接写式——但考试时建议仍然列表，阅卷老师就是看这张表给步骤分的。

3.3 例题 3：举重裁判电路（完整走一遍）#

题目：举重比赛有一名主裁判和两名副裁判。只有当主裁判判"成功"，并且至少有一名副裁判也判"成功"时，成绩才有效（指示灯亮）。用与非门设计这个电路。

第 1 步：逻辑抽象。

• 输入：主裁判$A$⁠，副裁判$B$⁠、$C$⁠。规定"判成功 = 1，判失败 = 0"。
• 输出：指示灯$Y$⁠。规定"灯亮（成绩有效）= 1"。
• 按题意逐行判断，列真值表：

第 2 步：写式。 输出为 1 的是第 5、6、7 行（行号从 0 数起），即

$$Y=\sum m(5,6,7)=A\overline{B}C+AB\overline{C}+ABC$$

第 3 步：选器件：题目指定与非门。

第 4 步：化简与变换。 把$ABC$用两次（⁠$X+X=X$⁠），分别和前两项合并：

$$Y=(A\overline{B}C+ABC)+(AB\overline{C}+ABC)=AC+AB$$

再变成与非-与非形式（两次取反，里面用摩根定理）：

$$Y=\overline{\overline{AB+AC}}=\overline{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}$$

第 5 步：画图：两个 2 输入与非门分别得到$\overline{AB}$⁠、$\overline{AC}$⁠，再送进第三个 2 输入与非门，输出就是$Y$⁠。一共 3 个与非门。

第 6 步：验证：把 8 种输入代进$\overline{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}$⁠，结果与真值表完全一致（本讲所有结果都已用程序穷举核对）。

顺便一提：$AB+AC=A(B+C)$用一个或门加一个与门只要 2 个门，更省。但题目指定"与非门"，就必须按与非-与非来做。题目指定的器件就是硬约束，不能自作主张。

3.4 易错点 ⚠️#

• 状态赋值要写出来："同意记 1、不同意记 0"这句话必须出现在答卷上，否则真值表没有意义。
• 真值表的输入顺序要按二进制递增 000、001、010……，行号才和最小项编号对得上。
• 题目说"用与非门实现"，最后的式子必须全部是与非的形式；如果用到了单独的反变量$\overline{A}$⁠，要说明它用与非门接成反相器得到（把与非门两个输入并在一起就是非门）。

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四、完整例题：2026 回忆题第 6 题——4 位奇校验器#

2026 回忆题：设计 4 位奇校验器：4 位中有奇数个 1 输出 1，否则输出 0，用异或门实现。

4.1 大白话：奇偶校验在干什么#

数据在传输过程中可能被干扰，某一位 0 变成 1。怎么发现？一个简单办法是数 1 的个数。比如约定"每组数据里 1 的个数必须是奇数"，接收端一数，发现是偶数，就知道出错了。能判断"1 的个数是奇是偶"的电路就叫奇偶校验器（第 01 讲下介绍过奇偶校验码）。

本题的电路：输入 4 位$A$⁠、$B$⁠、$C$⁠、$D$⁠，1 的个数为奇数时$Y=1$⁠，为偶数（包括 0 个）时$Y=0$⁠。

4.2 第 1 步：逻辑抽象，列真值表#

输入$A$⁠、$B$⁠、$C$⁠、$D$就是 4 位数据本身（每位 0 或 1），输出$Y$⁠：奇数个 1 时为 1。逐行数 1 的个数：

4.3 第 2 步：写出逻辑式#

$$Y=\sum m(1,2,4,7,8,11,13,14)$$

展开就是 8 个最小项相加：

$$Y=\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}D+\overline{A}\,\overline{B}C\overline{D}+\overline{A}B\overline{C}\,\overline{D}+\overline{A}BCD+A\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}+A\overline{B}CD+AB\overline{C}D+ABC\overline{D}$$

4.4 第 3、4 步：为什么要用异或门？——卡诺图告诉你#

先试着用卡诺图化简。把 8 个 1 填进 4 变量卡诺图，你会发现它们排成国际象棋棋盘的样子：任何两个 1 都不相邻（相邻格只差一位，1 的个数奇偶必然相反）。所以一个都圈不起来，最简与或式就是上面 8 项本身——用与或门实现要 8 个 4 输入与门加一个 8 输入或门，非常笨重。

这正是异或门出场的时候。回忆异或的性质（第 02 讲上）：

• $A\oplus B$⁠：两个输入不同时为 1，也就是"两位中有奇数个 1"时为 1。
• 异或满足交换律和结合律：$(A\oplus B)\oplus C=A\oplus(B\oplus C)$⁠，所以多个变量连续异或可以随便加括号、随便换顺序。
• 推广：$A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus A_n$的结果，等于"这$n$位中 1 的个数是奇数吗？"——是奇数为 1，偶数为 0。

为什么推广成立？可以这样理解：异或像一个"翻转开关"，初始为 0，每遇到一个 1 就翻转一次，遇到 0 不动。翻转奇数次停在 1，偶数次停在 0。

所以本题的函数可以直接写成：

$$Y=A\oplus B\oplus C\oplus D$$

用公式把它推出来（考试写这一段，比只说"显然"更稳）：先把前两位和后两位分组，令$X=A\oplus B$⁠，$Z=C\oplus D$⁠。

• 当$X=1$（⁠$A$⁠、$B$中有 1 个 1）且$Z=0$（⁠$C$⁠、$D$中有 0 个或 2 个 1）时，总数为奇数；
• 当$X=0$且$Z=1$时，总数也为奇数；
• $X=Z$时，总数为偶数。

即$Y=X\overline{Z}+\overline{X}Z=X\oplus Z=(A\oplus B)\oplus(C\oplus D)$⁠。

4.5 第 5 步：画逻辑图#

用 3 个 2 输入异或门：

• 门 1：输入$A$⁠、$B$⁠，输出$X=A\oplus B$⁠；
• 门 2：输入$C$⁠、$D$⁠，输出$Z=C\oplus D$⁠；
• 门 3：输入$X$⁠、$Z$⁠，输出$Y=X\oplus Z$⁠。

图 2：用 3 个异或门组成的 4 位奇校验器，依次演示输入 1000、1100、1110、1111（动画循环播放）

也可以接成"链式"：$Y=((A\oplus B)\oplus C)\oplus D$⁠，同样只要 3 个异或门。两者逻辑功能完全相同，区别在速度：

所以树形更快，答题时推荐画树形。

4.6 第 6 步：验证#

挑几行代进去：

• $ABCD=0111$⁠：$X=0\oplus1=1$⁠，$Z=1\oplus1=0$⁠，$Y=1\oplus0=1$⁠。1 的个数是 3，奇数，正确。
• $ABCD=1111$⁠：$X=0$⁠，$Z=0$⁠，$Y=0$⁠。4 个 1，偶数，正确。
• $ABCD=1010$⁠：$X=1$⁠，$Z=1$⁠，$Y=0$⁠。2 个 1，偶数，正确。

把 16 行全部代入，结果与 4.2 的真值表完全一致（已用程序穷举 16 种输入核对）。

4.7 标准答卷长什么样#

解：（1）设输入 4 位数据为$A$⁠、$B$⁠、$C$⁠、$D$⁠，输出为$Y$⁠，$A\sim D$中有奇数个 1 时$Y=1$⁠，否则$Y=0$⁠。

（2）列真值表（16 行，如上表）。

（3）由真值表得$Y=\sum m(1,2,4,7,8,11,13,14)$⁠，卡诺图中 1 互不相邻，无法化简；利用异或运算的性质可写成$Y=A\oplus B\oplus C\oplus D=(A\oplus B)\oplus(C\oplus D)$⁠。

（4）画逻辑图：三个 2 输入异或门，接法如图 2。

（5）验证：（举两三行代入说明）。

4.8 易错点 ⚠️#

• 不要把"奇校验器"和"偶校验器"搞反。本题"奇数个 1 输出 1"，就是$A\oplus B\oplus C\oplus D$⁠。如果要"偶数个 1 输出 1"，就在后面加一个非门，即$\overline{A\oplus B\oplus C\oplus D}$⁠，或把最后一个异或门换成同或门：$(A\oplus B)\odot(C\oplus D)$⁠。
• 同或连写的陷阱：$A\odot B\odot C\odot D$（偶数个变量）并不等于$A\oplus B\oplus C\oplus D$⁠，而是等于它的反；但 3 个变量时$A\odot B\odot C=A\oplus B\oplus C$⁠。规律：变量个数为奇数时两者相等，为偶数时互为反。考场上拿不准就代两行数验算。
• 卡诺图"棋盘格"一出现，就要立刻想到异或/同或。
• 题目说"用异或门实现"，不要再画与门或门。

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五、把方法串起来：设计中常用的"变换"#

设计第 4 步"变换成适合器件的形式"，是考试最容易丢分的地方。这里集中整理一下：

一个小例子：$Y=AB+CD$只用与非门实现。两次取反：

$$Y=\overline{\overline{AB+CD}}=\overline{\overline{AB}\cdot\overline{CD}}$$

两个与非门出$\overline{AB}$⁠、$\overline{CD}$⁠，第三个与非门出$Y$⁠。

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速记卡#

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自测练习#

1. 分析：某电路由 4 个与非门组成，$N=\overline{AB}$⁠，$P=\overline{AN}$⁠，$Q=\overline{BN}$⁠，$Y=\overline{PQ}$⁠。写出$Y$的最简式并说明功能。

答案与提示

$P=\overline{A\cdot\overline{AB}}$⁠，$Q=\overline{B\cdot\overline{AB}}$⁠，$Y=\overline{PQ}=A\overline{AB}+B\overline{AB}=(A+B)\overline{AB}=(A+B)(\overline{A}+\overline{B})=A\overline{B}+\overline{A}B=A\oplus B$⁠。功能：异或门（用 4 个与非门搭成的异或门）。已穷举 4 种输入核对。

2. 设计：输入$A$⁠、$B$⁠、$C$组成一个 3 位二进制数$ABC$（⁠$A$为最高位），当这个数是质数（2、3、5、7）时输出 1。写出最简与或式。

答案与提示

$Y=\sum m(2,3,5,7)$⁠。卡诺图上$m_2$⁠、$m_3$合并为$\overline{A}B$⁠，$m_5$⁠、$m_7$合并为$AC$⁠，得$Y=\overline{A}B+AC$⁠。注意 1 不是质数，所以$m_1$不取。

3. 设计一个 4 位偶校验器（4 位中有偶数个 1，包括全 0，输出 1），用异或门和同或门实现。

答案与提示

$Y=\overline{A\oplus B\oplus C\oplus D}=(A\oplus B)\odot(C\oplus D)$⁠。用两个异或门得到$A\oplus B$⁠、$C\oplus D$⁠，再用一个同或门。也可以写成$(A\odot B)\odot(C\odot D)$⁠：因为$\overline{X}\oplus\overline{Z}=X\oplus Z$⁠，所以$(A\odot B)\odot(C\odot D)=\overline{(A\oplus B)\oplus(C\oplus D)}$⁠，同样正确。已穷举核对。

4. 只用 2 输入与非门实现$Y=AB+CD$⁠，最少需要几个门？

答案与提示

$Y=\overline{\overline{AB}\cdot\overline{CD}}$⁠，需要 3 个 2 输入与非门。

5. 设计一个"多数通过"电路：4 个评委$A$⁠、$B$⁠、$C$⁠、$D$⁠，至少 3 人同意（记 1）才通过。写出最简与或式。

答案与提示

$Y=\sum m(7,11,13,14,15)$⁠。卡诺图中$m_{15}$分别与$m_7$⁠、$m_{11}$⁠、$m_{13}$⁠、$m_{14}$相邻，圈出 4 个两格圈：$Y=ABC+ABD+ACD+BCD$⁠。

6.（华师真题风格）数据传输时采用奇校验：发送端在 3 位数据$A$⁠、$B$⁠、$C$后附加一位校验位$P$⁠，使 4 位中 1 的个数为奇数。（1）设计产生$P$的电路；（2）接收端用什么电路检查是否出错？

答案与提示

（1）若$A$⁠、$B$⁠、$C$中已有奇数个 1，$P=0$⁠；有偶数个 1，$P=1$⁠。所以$P=\overline{A\oplus B\oplus C}$⁠：两个异或门后接一个非门，或者第二个门直接用同或门，$P=(A\oplus B)\odot C$⁠。注意不能写成$A\odot B\odot C$——三个变量时$A\odot B\odot C=A\oplus B\oplus C$⁠，正好差一个"非"。

（2）接收端用本讲的 4 位奇校验器：$Y=A\oplus B\oplus C\oplus P$⁠，$Y=1$表示 1 的个数为奇数、正常；$Y=0$表示出错（只能发现奇数位出错）。已穷举核对$P$的 8 种情况。

7. 设计一个 2 位数值比较电路：输入$A_1A_0$和$B_1B_0$各表示一个 2 位二进制数，当$A_1A_0>B_1B_0$时输出 1。写出最简与或式。

答案与提示

按$A_1A_0B_1B_0$排成 4 变量，$Y=\sum m(4,8,9,12,13,14)$⁠，化简得$Y=A_1\overline{B_1}+A_1A_0\overline{B_0}+A_0\overline{B_1}\,\overline{B_0}$⁠。理解：高位大就一定大（⁠$A_1\overline{B_1}$⁠）；或者低位大且高位"不吃亏"。第 11 讲的数值比较器就是这个思路的推广。

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下一讲预告#

第 09 讲（上）开始认识常用的中规模组合器件，第一个是"编码器"——把"哪个按键被按下"变成二进制代码，并重点读懂优先编码器 74HC148 的功能表。

👉 点击进入下一讲：第09讲（上）｜编码器