考研数电·零基础讲义 第03讲｜逻辑函数的表示方法：真值表、逻辑式、逻辑图、波形图与标准形式

考研数电·零基础讲义 · 第 03 讲｜逻辑函数的表示方法 学完这一讲，你能在真值表、逻辑式、逻辑图、波形图四种"语言"之间自由翻译，会写最小项、最大项和$\sum m$⁠、$\prod M$标准式。预计用时 2～2.5 小时。

本讲地图#

• 同一个逻辑关系，四种写法：真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图，以及它们之间怎么互相转换。
• 最小项$m_i$与最大项$M_i$：它们是什么、怎么编号、有什么性质，二者是什么关系。
• 两种标准形式：最小项之和（标准与或式，写成$\sum m$⁠）与最大项之积（标准或与式，写成$\prod M$⁠）。
• 华师怎么考：化简题（例如 2026 回忆题第 5 题）的题干直接用$\sum m(\cdots)$给出函数；组合电路分析/设计题第一步就是"列真值表、写表达式"。这一讲是后面所有化简和设计题的"读题能力"。
• 教材对应：阎石《数字电子技术基础》第六版 第 2 章 2.5 节（2.5.1～2.5.3）。

前置知识#

• 二进制数和十进制数的互换（见第 01 讲）。
• 与、或、非三种基本运算，与非、或非、异或等复合运算及其门电路符号（见第 02 讲上）。
• 摩根定理等逻辑代数公式（见第 02 讲下）。

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一、什么是逻辑函数#

大白话#

想象一个举重比赛：一名主裁判、两名副裁判，每人手里一个按钮。规则是：主裁判必须同意，而且两名副裁判中至少一人同意，这次试举才算成功，成功灯才亮。

灯亮不亮，完全由三个按钮的状态决定。按钮的状态一旦确定，灯的状态也就跟着确定了。这就像数学里的函数$y=f(x)$⁠：给定$x$⁠，$y$就唯一确定。只不过这里所有的量都只有两种取值——按下/没按下、亮/不亮，我们用 1 和 0 来记。

正式定义#

以逻辑变量作为输入、以运算结果作为输出，输入取值确定后输出随之唯一确定，这种输入输出关系叫逻辑函数，写作

$$Y=F(A,B,C,\cdots)$$

逐行拆解#

• $A,B,C$⁠：输入变量（自变量），每个只能取 0 或 1。
• $Y$⁠：输出（函数值），也只能取 0 或 1。
• $F$⁠：表示"某种对应规则"。这个规则可以用四种方式写出来，这就是本讲的主角。

在举重例子里，约定：主裁判按钮为$A$⁠，两名副裁判按钮为$B$⁠、$C$⁠，按下记 1、没按记 0；灯亮$Y=1$⁠，灯暗$Y=0$⁠。

⚠️ 易错点：逻辑函数里的 0 和 1 不是"数量"，而是"两种状态的代号"。$1+1$在逻辑或运算里等于 1，不等于 2。

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二、四种表示方法#

先看一张总图，记住它们之间的关系：

图 1：逻辑函数四种表示方法及其相互转换的"翻译路线"

1. 真值表#

大白话：把所有可能的输入情况一行一行全部列出来，每一行写上对应的输出。就像一张"查询表"，想知道什么情况下灯亮，一查就知道。

怎么列：$n$个输入变量共有$2^n$种取值组合。习惯上按二进制数从小到大排：3 个变量就从 000 排到 111，共 8 行。

例 1：列出举重裁判电路的真值表。

逐行分析：只有$A=1$⁠，并且$B$⁠、$C$至少一个为 1，灯才亮。

真值表的特点：

• 优点：直观、唯一。一个逻辑函数的真值表只有一张（行的顺序不算区别）。
• 缺点：变量一多，行数爆炸。5 个变量就要 32 行，10 个变量要 1024 行。

⚠️ 易错点：行数一定是$2^n$⁠，一行都不能漏。最保险的办法是把行号当二进制数从 0 数到$2^n-1$⁠，最左边的变量是最高位。

2. 逻辑函数式（逻辑式）#

大白话：用与（乘）、或（加）、非（上划线）把规则写成一个"算式"。

例 2：写出举重裁判电路的逻辑式。

把规则翻译成逻辑语言：

• "$B$和$C$至少一个同意" → $B+C$（或运算）；
• "而且主裁判$A$同意" → 再和$A$做与运算。

所以

$$Y=A(B+C)$$

逻辑式的特点：书写简洁，便于用公式推导、化简；但同一个函数可以写出许多不同样子的式子（比如$A(B+C)$也可以写成$AB+AC$⁠），所以逻辑式不唯一。

3. 逻辑图#

大白话：把式子里的每个运算换成对应的门电路符号，再按运算顺序连线，就成了"电路草图"。

本讲义采用教材使用的国标方框符号：方框里写"&"是与门，写"≥1"是或门，写"1"是非门；输出端画个小圆圈表示"取反"，所以"&"加小圆圈就是与非门。

举重裁判函数$Y=A(B+C)$的逻辑图见下面图 3(a)：先用或门算括号里的$B+C$⁠，再和$A$一起送进与门。

逻辑图的特点：最接近实际电路，拿着它就能接线；但看图不能一眼看出功能。

4. 波形图#

大白话：把输入、输出随时间变化的高低电平画出来，像心电图一样。横轴是时间，高电平代表 1，低电平代表 0。用示波器、逻辑分析仪看电路时，看到的就是这种图。

把例 1 真值表的 8 行按时间依次排开，每一行占一小段时间，就得到图 2：

图 2：举重裁判函数$Y=A(B+C)$的波形图，绿色方块依次扫过每个时间段，每一段就是真值表的一行（动画循环播放）

看图 2 第 6 段（⁠$t_5\sim t_6$⁠）：$A$高、$B$低、$C$高，即$ABC=101$⁠，此时$Y$为高，正好对应真值表第 5 行$Y=1$⁠。

波形图的特点：能表示信号"随时间怎样变化"，后面学时序电路（触发器、计数器）时离不开它。

⚠️ 易错点：波形图里各时间段的输入组合不一定按 000、001、010……的顺序出现，可能乱序、也可能重复。读图时一段一段读，不要想当然。

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三、四种表示方法之间的转换#

1. 真值表 → 逻辑式（最重要！）#

大白话：输出为 1 的每一行，都是一种"灯亮的情况"。把每种灯亮的情况写成一个"暗号"（乘积项），这个暗号只在这一行成立；再把所有暗号用"或"连起来——只要出现其中任何一种情况，灯就亮。

方法三步走：

1. 找出真值表中所有$Y=1$的行；
2. 每一行写一个乘积项：该行取值为 1 的变量写原变量（如$A$⁠），取值为 0 的写反变量（如$\overline{A}$⁠）；
3. 把这些乘积项相加。

为什么这样写一定对？ 以$ABC=101$这一行为例，写出的乘积项是$A\overline{B}C$⁠。只有当$A=1$⁠、$B=0$⁠、$C=1$时，$A\cdot\overline{B}\cdot C=1\cdot 1\cdot 1=1$⁠；其他任何输入下，三个因子里至少有一个为 0，乘积就是 0。所以这个乘积项像一把"只开这一行的钥匙"。

例 3：三人表决电路。$A$⁠、$B$⁠、$C$三人投票，同意记 1，多数（两人或以上）同意则通过（⁠$Y=1$⁠）。列真值表并写出逻辑式。

解：

第一步，列真值表：

第二步，$Y=1$的行有 4 行：011、101、110、111，分别写乘积项：

• $011$⁠：$A=0$写$\overline{A}$⁠，$B=1$写$B$⁠，$C=1$写$C$ → $\overline{A}BC$⁠；
• $101$ → $A\overline{B}C$⁠；
• $110$ → $AB\overline{C}$⁠；
• $111$ → $ABC$⁠。

第三步，相加：

$$Y=\overline{A}BC+A\overline{B}C+AB\overline{C}+ABC$$

这个式子还能化简成$Y=AB+BC+AC$⁠，化简方法是第 04 讲的内容。

2. 逻辑式 → 真值表#

方法：把$2^n$种输入组合逐个代入式子算出$Y$⁠。初学时建议把每一项单独算一列，最后再"或"起来，不容易错。

例 4：已知$Y=A\overline{B}+B\overline{C}$⁠，求真值表。

解：先分别算$A\overline{B}$（要求$A=1,B=0$⁠）和$B\overline{C}$（要求$B=1,C=0$⁠）两列：

所以$Y=1$的行号是 2、4、5、6。

小技巧（看项填表）：$A\overline{B}$不管$C$是几都成立，所以它让"$A=1,B=0$"的两行（100、101）都为 1。一个乘积项缺几个变量，就管$2^{(\text{缺的个数})}$行。这个技巧到卡诺图时还会大量使用。

3. 逻辑式 ↔ 逻辑图#

• 式 → 图：按运算优先级（先非、再与、后或；有括号先算括号）把运算符换成门，连起来。
• 图 → 式：从输入端开始，一级一级写出每个门的输出，一直写到最后的输出端。

例 5：写出图 3(b) 所示电路的逻辑式，并说明它和哪个简单式子相等。

图 3：(a) 举重裁判函数的逻辑图；(b) 由三个与非门组成的电路

解：给每个门的输出起名字，逐级写：

• $G_1$是与非门，输入$A$⁠、$B$⁠：$G_1=\overline{AB}$⁠；
• $G_2$是与非门，输入$B$⁠、$C$⁠：$G_2=\overline{BC}$⁠；
• $G_3$是与非门，输入$G_1$⁠、$G_2$⁠：

$$Y=\overline{G_1\cdot G_2}=\overline{\overline{AB}\cdot\overline{BC}}$$

用摩根定理$\overline{XY}=\overline{X}+\overline{Y}$⁠，把最外层的大横线拆开：

$$Y=\overline{\overline{AB}}+\overline{\overline{BC}}=AB+BC$$

（⁠$\overline{\overline{X}}=X$⁠，两次取反等于没取反。）所以这个电路实现的就是$Y=AB+BC=B(A+C)$⁠。记住这个现象："与非-与非"两级电路等价于"与-或"两级电路，第 04 讲（下）会专门利用它。

4. 波形图 ↔ 真值表#

• 波形图 → 真值表：把时间轴按输入变化的位置切成小段，每段读出各输入、输出的高低，填成一行。重复出现的组合只写一次。
• 真值表 → 波形图：把每一行依次画成一小段时间的高低电平即可（图 2 就是这样画的）。

例 6：在图 2 中逐段读出输入输出，验证它与例 1 真值表一致。

解：8 段依次读出$ABC$为 000、001、010、011、100、101、110、111，对应$Y$为 0、0、0、0、0、1、1、1，和例 1 完全一致。

⚠️ 易错点：从波形图读真值表时，要以任一输入发生跳变的位置为分段点，而不是只看某一个信号。

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四、最小项#

前面真值表 → 逻辑式时，每个$Y=1$的行都写出了一个"包含全部变量、每个变量恰好出现一次"的乘积项。这种项太重要了，专门给它起了名字。

大白话#

最小项就是"只对真值表某一行说'是'的那把钥匙"。3 个变量的真值表有 8 行，就有 8 把钥匙，每把只开一行。之所以叫"最小"，是因为它为 1 的情况最少——只有一行。

正式定义#

在$n$变量逻辑函数中，若乘积项$m$包含全部$n$个变量，且每个变量都以原变量或反变量的形式出现且只出现一次，则称$m$为这组变量的一个最小项。$n$个变量共有$2^n$个最小项。

编号规则：$m_i$#

使某个最小项等于 1 的那组取值，看成一个二进制数，它的十进制值$i$就是这个最小项的编号，记作$m_i$⁠。

怎么由最小项求编号：原变量记 1，反变量记 0，按变量顺序拼成二进制数。例如$A\overline{B}C$ → 101 → 5，所以$A\overline{B}C=m_5$⁠。

怎么由编号写最小项：把$i$写成$n$位二进制，1 写原变量，0 写反变量。

三变量最小项编号表：

4 个变量$A,B,C,D$时有 16 个最小项$m_0\sim m_{15}$⁠。例如$m_{13}$⁠：$13=1101_2$⁠，所以$m_{13}=AB\overline{C}D$⁠。

读法#

$m_5$读作"m 五"或"最小项 5"；$\overline{A}$读作"A 非"或"A 反"。

最小项的四条性质#

1. 任何一组输入下，有且只有一个最小项等于 1。（每行只有一把钥匙能开。）
2. 全部最小项之和恒等于 1。（无论输入是什么，总有一把钥匙开着。）
3. 任意两个不同最小项的乘积恒为 0。（两把钥匙不可能同时开。）
4. 两个"相邻"的最小项相加，可以合并成一项，消去一个变量。

性质 4 里的"相邻"（逻辑相邻）指两个最小项只有一个变量不同（一个是原变量，另一个是反变量）。例如$m_6=AB\overline{C}$和$m_7=ABC$只有$C$不同：

$$AB\overline{C}+ABC=AB(\overline{C}+C)=AB$$

性质 4 是第 04 讲所有化简方法（尤其卡诺图）的理论根基，一定要记住。

例 7：写出四变量最小项$m_9$⁠，并判断$m_9$和$m_{13}$⁠、$m_9$和$m_{10}$是否相邻。

解：$9=1001_2$⁠，所以$m_9=A\overline{B}\,\overline{C}D$⁠。$13=1101_2$⁠，$m_{13}=AB\overline{C}D$⁠，两者只有$B$不同 → 相邻，$m_9+m_{13}=A\overline{C}D$⁠。$10=1010_2$⁠，$m_{10}=A\overline{B}C\overline{D}$⁠，和$m_9$相比$C$⁠、$D$两个变量都不同 → 不相邻。

⚠️ 易错点：编号相差 1 不代表相邻！$m_1$（001）和$m_2$（010）编号只差 1，却有两位不同，不相邻。判断相邻要看二进制，不看十进制。

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五、最大项#

大白话#

最小项是"只在一行等于 1"；最大项反过来，是"只在一行等于 0"的和项（或运算组成的项）。它在其余所有行都等于 1，为 1 的情况最多，所以叫"最大"。

正式定义#

在$n$变量逻辑函数中，若和项$M$包含全部$n$个变量，且每个变量以原变量或反变量形式出现且只出现一次，则称$M$为最大项。$n$个变量也有$2^n$个最大项。

编号规则：$M_i$（注意和最小项"反着来"）#

使最大项等于 0 的那组取值对应的十进制数就是它的编号。

要让一个"或"式等于 0，里面每一项都必须是 0。所以：取值为 0 的变量写原变量，取值为 1 的变量写反变量。

例如$ABC=101$时要等于 0：$A=1$写$\overline{A}$⁠，$B=0$写$B$⁠，$C=1$写$\overline{C}$⁠，得$M_5=\overline{A}+B+\overline{C}$⁠。

最大项的性质#

1. 任何一组输入下，有且只有一个最大项等于 0；
2. 全部最大项之积恒为 0；
3. 任意两个不同最大项之和恒为 1；
4. 只有一个变量不同的两个最大项相乘，可合并为一项，消去那个变量。

最小项和最大项的关系#

同一个编号的最小项和最大项互为反函数：

$$M_i=\overline{m_i}$$

验证一下：$m_5=A\overline{B}C$⁠，用摩根定理$\overline{m_5}=\overline{A}+B+\overline{C}=M_5$⁠。✓

⚠️ 易错点：最小项"1 写原变量"，最大项"0 写原变量"，方向相反。考场上最稳的办法：写完代入那组取值检查——最小项应得 1，最大项应得 0。

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六、标准与或式：最小项之和（⁠$\sum m$⁠）#

大白话#

任何逻辑函数都可以写成"若干个最小项相加"的样子。这就是第三节"真值表 → 逻辑式"得到的那种式子。它像函数的"身份证号"：同一个函数，最小项之和的写法只有一种。

正式写法#

$$Y(A,B,C)=m_3+m_5+m_6+m_7=\sum m(3,5,6,7)$$

• $\sum$读作"西格玛"，这里表示"把括号里这些编号的最小项加起来"；
• 括号前的$Y(A,B,C)$一定要写清变量和顺序，因为编号依赖变量顺序（⁠$A$是最高位）。

从一般与或式化成$\sum m$⁠：配项法#

原理：$X+\overline{X}=1$⁠，所以给缺少变量$X$的乘积项乘上$(X+\overline{X})$⁠，函数值不变，项就"补齐"了。

例 8：把$Y=AB+\overline{A}C$化成最小项之和。

解：

• $AB$缺$C$⁠，乘$(C+\overline{C})$⁠：$AB(C+\overline{C})=ABC+AB\overline{C}$⁠，即$m_7+m_6$⁠；
• $\overline{A}C$缺$B$⁠，乘$(B+\overline{B})$⁠：$\overline{A}(B+\overline{B})C=\overline{A}BC+\overline{A}\,\overline{B}C$⁠，即$m_3+m_1$⁠。

所以

$$Y(A,B,C)=\sum m(1,3,6,7)$$

更快的"看项写编号"法：$AB$要求$A=1,B=1$⁠，$C$任意 → 11x → 110、111 → 6、7。$\overline{A}C$要求$A=0,C=1$ → 0x1 → 001、011 → 1、3。

例 9：把四变量函数$Y(A,B,C,D)=A\overline{B}+CD$写成$\sum m$形式。

解：

• $A\overline{B}$⁠：10xx → 1000、1001、1010、1011 → 8、9、10、11；
• $CD$⁠：xx11 → 0011、0111、1011、1111 → 3、7、11、15。

编号 11 出现了两次，只写一次（因为$X+X=X$⁠）：

$$Y(A,B,C,D)=\sum m(3,7,8,9,10,11,15)$$

⚠️ 易错点：重复出现的最小项只写一次；补齐时每缺一个变量，项数就翻倍，缺两个就变 4 项，别漏。

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七、标准或与式：最大项之积（⁠$\prod M$⁠）#

大白话#

换个角度：与其说"哪些行灯亮"，不如说"哪些行灯不亮"。每个灯不亮的行写一个最大项（只在该行为 0），把它们全部相乘——任何一个不亮的情况出现，乘积就是 0；其他情况乘积为 1。

核心结论：$\sum m$与$\prod M$互补#

一个$n$变量函数，如果

$$Y=\sum m(\text{某些编号})$$

那么

$$Y=\prod M(\text{其余编号})$$

即没出现在$\sum m$里的编号，全部放进$\prod M$。$\prod$读作"派"，表示连乘。

推导（了解即可）：$Y=\sum m_i$（⁠$i$属于$Y$为 1 的编号），于是反函数$\overline{Y}=\sum m_k$（⁠$k$属于其余编号）。两边取反，用摩根定理：$Y=\overline{\sum m_k}=\prod\overline{m_k}=\prod M_k$⁠。

例 10：把$Y=\overline{A}B+AC$写成最大项之积形式。

解：先求$\sum m$⁠。$\overline{A}B$⁠：01x → 2、3；$AC$⁠：1x1 → 5、7。所以$Y=\sum m(2,3,5,7)$⁠。三变量编号 0～7 中剩下 0、1、4、6：

$$Y(A,B,C)=\prod M(0,1,4,6)=(A+B+C)(A+B+\overline{C})(\overline{A}+B+C)(\overline{A}+\overline{B}+C)$$

验算一行：取$ABC=100$（编号 4）：$Y=\overline{1}\cdot 0+1\cdot 0=0$⁠，而$M_4=\overline{A}+B+C=0+0+0=0$⁠，乘积为 0，一致。✓

例 11：举重裁判函数$Y=A(B+C)$的三种写法。

解：由例 1 的真值表，$Y=1$的行是 5、6、7，所以

$$Y(A,B,C)=\sum m(5,6,7)=\prod M(0,1,2,3,4)$$

而它的反函数$\overline{Y}=\sum m(0,1,2,3,4)$⁠。

⚠️ 易错点：$\prod M$里放的是$Y=0$的编号，不是$Y=1$的；反函数$\overline{Y}$的$\sum m$编号恰好等于$Y$的$\prod M$编号，三者千万别混。

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速记卡#

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自测练习#

1. 列出$Y=A+BC$的真值表，并写出$\sum m$形式。

答案与提示

$A=1$的 4 行（100～111）全为 1；$A=0$时只有$BC=11$（011）为 1。所以$Y(A,B,C)=\sum m(3,4,5,6,7)$⁠。

2. 把$Y=\overline{A}B+B\overline{C}$展开成最小项之和。

答案与提示

$\overline{A}B$⁠：01x → 2、3；$B\overline{C}$⁠：x10 → 2、6。合并去重：$Y(A,B,C)=\sum m(2,3,6)$⁠。

3. 把四变量函数$Y=\overline{A}BD+AC$写成$\sum m$形式。

答案与提示

$\overline{A}BD$⁠：01x1 → 0101、0111 → 5、7；$AC$⁠：1x1x → 1010、1011、1110、1111 → 10、11、14、15。$Y(A,B,C,D)=\sum m(5,7,10,11,14,15)$⁠。

4. 已知$Y(A,B,C)=\sum m(0,2,5)$⁠，写出它的$\prod M$形式，以及反函数$\overline{Y}$的$\sum m$形式。

答案与提示

剩余编号为 1、3、4、6、7。$Y=\prod M(1,3,4,6,7)$⁠；$\overline{Y}=\sum m(1,3,4,6,7)$⁠。

5. 某电路：$A$⁠、$B$送入或非门得$G_1$⁠；$G_1$和$C$再送入另一个或非门得$Y$⁠。写出$Y$的表达式并化成最简形式，再写出$\sum m$⁠。

答案与提示

$G_1=\overline{A+B}$⁠，$Y=\overline{G_1+C}=\overline{\overline{A+B}+C}$⁠。摩根定理：$Y=\overline{\overline{A+B}}\cdot\overline{C}=(A+B)\overline{C}$⁠。$(A+B)\overline{C}=A\overline{C}+B\overline{C}$⁠：1x0 → 4、6；x10 → 2、6。$Y=\sum m(2,4,6)$⁠。

6. 写出四变量$A,B,C,D$的$m_5$和$M_5$⁠，并说明$m_5+m_7$能否合并、合并成什么。

答案与提示

$5=0101_2$⁠：$m_5=\overline{A}B\overline{C}D$⁠，$M_5=A+\overline{B}+C+\overline{D}$⁠。$m_7=\overline{A}BCD$⁠，与$m_5$只有$C$不同，相邻：$m_5+m_7=\overline{A}BD$⁠。

7.（华师真题风格）某逻辑电路有三个输入$A,B,C$⁠，当输入中有奇数个 1 时输出$Y=1$⁠，否则$Y=0$⁠。(1) 列真值表；(2) 写出$Y$的$\sum m$和$\prod M$形式；(3) 判断$\sum m$中有没有两个最小项相邻。

答案与提示

(1) 1 的个数为奇数的行：001、010、100、111，$Y=1$⁠；其余为 0。

(2) $Y=\sum m(1,2,4,7)=\prod M(0,3,5,6)$⁠。

(3) 1（001）、2（010）、4（100）、7（111）两两之间都至少有两位不同，没有任何两个相邻，所以这个函数用与或式无法再合并化简。它其实就是$Y=A\oplus B\oplus C$⁠，第 11 讲和 2026 回忆题第 6 题（奇校验器）都会用到。

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下一讲预告#

学会了把函数写成最小项之和，下一讲（第 04 讲上）我们就来"做减法"：用公式把冗长的表达式化成最简与或式。

👉 点击进入下一讲：第04讲（上）｜公式化简法