考研数学二·零基础讲义 专题S07（下）｜不等式证明：中值定理、凹凸性与最值法

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S07（下）｜不等式证明：中值定理、凹凸性与最值法

上篇的单调性法靠"作差求导"。这一篇补三招：拉格朗日中值定理（两边是函数值之差）、凹凸性（切线、弦与函数图像的位置关系）、最值法（证$f(x)\le M$就是求最大值）。8 道例题 + 8 道自测，SymPy 验算。预计用时 50–70 分钟。

本讲地图#

• 第一步：中值定理夹逼——差值$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$⁠，再放缩$f'(\xi)$⁠。
• 第二步：凹凸性——凹函数（⁠$f''>0$⁠）图像在切线上方、在弦下方。
• 第三步：最值法——求最大/最小值，得到永远成立的不等式。
• 第四步：综合——证明$\left(1+\tfrac1n\right)^n<\mathrm e<\left(1+\tfrac1n\right)^{n+1}$⁠。
• 约定：本系列沿用教材叫法，$f''>0$的曲线叫凹（形如 ∪）。

前置知识#

• 上篇：单调性法（专题 S07 上）。
• 拉格朗日中值定理（专题 S06 下）；极值与凹凸性（第 07、08 讲）。

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一、拉格朗日中值定理：差值型不等式#

大白话：不等式里出现$f(b)-f(a)$或$\ln b-\ln a$这类"差"，就想到拉格朗日：差$=$导数在某点的值 × 区间长度，再用$\xi$的范围把导数放缩。

例 1 设$0<a<b$⁠，证明：$\dfrac{b-a}b<\ln\dfrac ba<\dfrac{b-a}a$⁠。

解：对$\ln x$在$[a,b]$用拉格朗日：$\ln b-\ln a=\dfrac{b-a}\xi$⁠，$a<\xi<b$⁠。因为$\dfrac1b<\dfrac1\xi<\dfrac1a$⁠，乘上$b-a>0$即得。

例 2 设$0<a<b$⁠，证明：$\dfrac{b-a}{1+b^2}<\arctan b-\arctan a<\dfrac{b-a}{1+a^2}$⁠。

解：$(\arctan x)'=\dfrac1{1+x^2}$单减，$a<\xi<b$时$\dfrac1{1+b^2}<\dfrac1{1+\xi^2}<\dfrac1{1+a^2}$⁠，同乘$b-a$⁠。

例 3 证明：对任意正整数$n$⁠，$\dfrac1{n+1}<\ln\Big(1+\dfrac1n\Big)<\dfrac1n$⁠。

解：在例 1 中取$a=n,\,b=n+1$⁠：$\dfrac1{n+1}<\ln\dfrac{n+1}n<\dfrac1n$⁠。

⚠️ 易错点：$\xi$是开区间内的点，所以得到的是严格不等号；区间两端是$a,b$的函数值，放缩方向取决于导数单调性（增还是减）。

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二、凹凸性：切线与弦#

图 1：凹函数（∪ 型）：每一条切线都在曲线下方（动画循环播放）

大白话：把一条曲线想成一个碗。碗里面任取两点连线（弦）在碗内，也就是在曲线上方；而在曲线某点贴着碗壁的切线，永远在碗下方。

结论（⁠$f''>0$⁠，即凹）：

1. 切线不等式：$f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$⁠；
2. 弦不等式：$f(\lambda a+(1-\lambda)b)\le\lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)$（⁠$0<\lambda<1$⁠）。 $f''<0$时方向都反过来。

例 4 证明：$\mathrm e^x\ge\mathrm ex$（对一切实数$x$⁠）。

解：$f=\mathrm e^x$凹（⁠$f''=\mathrm e^x>0$⁠），在$x_0=1$处切线为$y=\mathrm e+\mathrm e(x-1)=\mathrm ex$⁠，所以$\mathrm e^x\ge\mathrm ex$⁠。（也可作差：$F=\mathrm e^x-\mathrm ex$⁠，$F'=\mathrm e^x-\mathrm e$⁠，$x=1$取最小$F(1)=0$⁠。SymPy 验证。）

例 5 证明：$0\le x\le\dfrac\pi2$时，$\sin x\ge\dfrac{2x}\pi$⁠。

解：$f=\sin x$在$[0,\tfrac\pi2]$上$f''=-\sin x\le0$⁠，是凸（∩ 型）。曲线连接$(0,0)$与$(\tfrac\pi2,1)$的弦为$y=\dfrac{2x}\pi$⁠，凸函数曲线在弦上方，所以$\sin x\ge\dfrac{2x}\pi$⁠。（作差法：$F=\sin x-\tfrac{2x}\pi$在$x_0=\arccos\tfrac2\pi$处最大，两端为 0，验证$F\ge0$⁠。）

例 6 证明：对$x,y>0$⁠，$x\ln x+y\ln y\ge(x+y)\ln\dfrac{x+y}2$⁠。

解：令$f(t)=t\ln t$⁠，$f''(t)=\dfrac1t>0$⁠，凹。取弦不等式$\lambda=\tfrac12$⁠：$f\Big(\dfrac{x+y}2\Big)\le\dfrac{f(x)+f(y)}2$⁠，即$\dfrac{x+y}2\ln\dfrac{x+y}2\le\dfrac{x\ln x+y\ln y}2$⁠，两边乘 2 即得。

例 7 设$f''(x)>0$（⁠$x\ge0$⁠），$f(0)=0$⁠，证明$\dfrac{f(x)}x$在$(0,+\infty)$上单调增。

解：$g=\dfrac{f(x)}x$⁠，$g'=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$⁠。令$h=xf'-f$⁠，$h(0)=0$⁠，$h'=f'+xf''-f'=xf''>0$（⁠$x>0$⁠），所以$h>0$⁠，$g'>0$⁠。

💡 例 7 的几何意义：$\dfrac{f(x)}x$是原点到曲线点的连线斜率，凹曲线上这个斜率越来越大。

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三、最值法与综合#

大白话：证明"$f(x)\le M$恒成立"，等价于"$f$的最大值$\le M$"。求最值就是求驻点、比较端点。

例 8 证明：$x\ge0$时，$x^2\mathrm e^{-x}\le4\mathrm e^{-2}$⁠。

解：$f=x^2\mathrm e^{-x}$⁠，$f'=(2x-x^2)\mathrm e^{-x}$⁠，驻点$x=2$⁠；$0<x<2$时$f'>0$⁠，$x>2$时$f'<0$⁠，所以$x=2$是最大值点，$f(2)=4\mathrm e^{-2}\approx0.5413$⁠。（SymPy 验证。）

综合：$\left(1+\dfrac1n\right)^n<\mathrm e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$

由例 3，$\dfrac1{n+1}<\ln\Big(1+\dfrac1n\Big)<\dfrac1n$⁠。右边乘$n$⁠：$n\ln(1+\tfrac1n)<1$⁠，即$(1+\tfrac1n)^n<\mathrm e$⁠；左边乘$n+1$⁠：$(n+1)\ln(1+\tfrac1n)>1$⁠，即$(1+\tfrac1n)^{n+1}>\mathrm e$⁠。（数值：$n=10$时$2.5937<2.7183<2.8531$⁠。）

这说明数列$(1+\tfrac1n)^n$总小于$\mathrm e$⁠，而$(1+\tfrac1n)^{n+1}$总大于$\mathrm e$⁠。

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速记卡#

• 看到"差"：拉格朗日 + 放缩$f'(\xi)$⁠。
• 凹（⁠$f''>0$⁠）：曲线在切线上方、弦下方；凸反之。
• 恒成立型：转成求最值。
• 选法：能作差求导就用单调性；有"函数值之差"用中值；有$f''$符号用凹凸；含参恒成立用最值。

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自测练习#

1. 设$0<a<b$⁠，证明$\mathrm e^b-\mathrm e^a>(b-a)\mathrm e^a$⁠。

答案与提示

拉格朗日：差$=\mathrm e^\xi(b-a)$⁠，$\mathrm e^\xi>\mathrm e^a$⁠。

2. 证明$\mathrm e^x\ge1+x$⁠。

答案与提示

在$x_0=0$处的切线不等式，或$F'=\mathrm e^x-1$在$x=0$处取最小值 0。

3. 证明$\ln x\le x-1$（⁠$x>0$⁠）。

答案与提示

$f=\ln x$凸，在$x=1$的切线为$y=x-1$⁠，曲线在切线下方。

4. 证明$a,b>0$时$\ln\dfrac{a+b}2\ge\dfrac{\ln a+\ln b}2$⁠。

答案与提示

$\ln$凸（⁠$f''=-1/x^2<0$⁠），弦不等式方向反过来，$\lambda=\tfrac12$⁠。

5. 证明$0\le x\le\dfrac\pi2$时$\cos x\ge1-\dfrac{2x}\pi$⁠。

答案与提示

$\cos x$在$[0,\tfrac\pi2]$上凸（⁠$f''=-\cos x\le0$⁠），弦为$y=1-\tfrac{2x}\pi$⁠，曲线在弦上方（SymPy 验证数值）。

6. 证明$x\ge0$时$x\mathrm e^{-x}\le\dfrac1{\mathrm e}$⁠。

答案与提示

$F'=(1-x)\mathrm e^{-x}$⁠，$x=1$取最大值$\mathrm e^{-1}$⁠。

7. 设$f''>0$且$f(0)=f(1)=0$⁠，证明$0<x<1$时$f(x)<0$⁠。

答案与提示

凹函数在弦下方：弦就是$y=0$⁠，所以$f(x)\le0$⁠，严格凹时为$<0$⁠。

8. 证明$\ln(1+\tfrac1n)<\dfrac1n$并由此估计$\ln 2$的范围（取$n=1$⁠）。

答案与提示

例 3 取$n=1$⁠：$\tfrac12<\ln2<1$（真值约$0.693$⁠）。

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下一篇预告#

专题 S08 讲方程根的个数与零点问题：零点定理、单调性、极值与端点符号三件套，判断根的个数。