考研数学二·零基础讲义 专题S07（上）｜不等式证明：单调性与构造函数

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S07（上）｜不等式证明：单调性与构造函数

证明不等式有一条"万能主线"：移项、作差、构造函数$F(x)$⁠，用导数判断单调性，再和端点值比较。本篇全部围绕这条主线，9 道例题 + 8 道自测，数值与符号均用 SymPy 验算。预计用时 50–70 分钟。

本讲地图#

• 第一步：单调性法的标准流程——五步写法。
• 第二步：一次求导不够怎么办——连续求导，直到符号能看出来。
• 第三步：换元化简——把含两个字母的不等式化成一个变量。
• 第四步：函数单调性的"比较大小"用法——如$\mathrm e^\pi$与$\pi^{\mathrm e}$⁠。
• 大纲要求：会用导数判断单调性，并用其证明不等式。

前置知识#

• 导数与单调性：$f'>0$则$f$单调增（第 05、07 讲）。
• 泰勒公式与常用展开（第 06 讲），只用来"猜"不等式方向。

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一、标准流程：五步写法#

大白话：要证$A(x)>B(x)$⁠，就是证"$A-B$恒为正"。让$F=A-B$⁠，如果它是一路上升的，而起点$F(a)\ge0$⁠，那后面就都是正的。

步骤：

1. 移项，令$F(x)=A(x)-B(x)$⁠；
2. 算出区间端点处的值$F(a)$（常为 0）；
3. 求$F'(x)$⁠，判断符号；
4. 若$F'>0$且$F(a)\ge 0$⁠，则$x>a$时$F(x)>0$⁠；
5. 写结论。

图 1：导数恒正时，切线始终向上，曲线从起点一路上升（动画循环播放）

例 1 证明：$x>0$时，$x>\ln(1+x)$⁠。

解：令$F(x)=x-\ln(1+x)$⁠，$F(0)=0$⁠。$F'(x)=1-\dfrac1{1+x}=\dfrac x{1+x}>0$（⁠$x>0$⁠），所以$F$在$[0,+\infty)$单调增，$F(x)>F(0)=0$⁠。（SymPy：$F'=\tfrac{x}{x+1}$⁠。）

例 2 证明：$x>0$时，$\mathrm e^x>1+x+\dfrac{x^2}2$⁠。

解：令$F=\mathrm e^x-1-x-\tfrac{x^2}2$⁠，$F(0)=0$⁠。$F'=\mathrm e^x-1-x$⁠，$F'(0)=0$⁠，一次求导看不出符号，再求：$F''=\mathrm e^x-1>0$（⁠$x>0$⁠）。于是$F'$单增，$F'(x)>F'(0)=0$⁠；于是$F$单增，$F(x)>0$⁠。

⚠️ 易错点：连续求导时，每一层都要写清"端点值为 0"，否则链条断了。

例 3 证明：$0<x<\dfrac\pi2$时，$\tan x>x$⁠。

解：$F=\tan x-x$⁠，$F(0)=0$⁠，$F'=\sec^2x-1=\tan^2x>0$⁠，故$F(x)>0$⁠。（SymPy：$F'=\tan^2x$⁠。）

例 4 证明：$x>0$时，$\sin x>x-\dfrac{x^3}6$⁠。

解：$F=\sin x-x+\tfrac{x^3}6$⁠，$F(0)=0$⁠。$F'=\cos x-1+\tfrac{x^2}2$⁠，$F'(0)=0$⁠。$F''=x-\sin x$⁠，而$F''$的符号又要靠"$x>\sin x$"：这是$(x-\sin x)'=1-\cos x\ge0$且在 0 处为 0 得到的。所以$F''>0\Rightarrow F'>0\Rightarrow F>0$⁠。（SymPy 验证$F'=\tfrac{x^2}2+\cos x-1$⁠。）

💡 记忆：$\sin x$的泰勒是$x-\tfrac{x^3}{6}+\tfrac{x^5}{120}-\cdots$⁠，截掉后面的项，方向由第一个被截的项的符号决定。

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二、不等式两边是"对数/分式"：先变形再求导#

例 5 证明：$x>1$时，$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}$⁠。

解：$F=\ln x-\dfrac{2(x-1)}{x+1}$⁠，$F(1)=0$⁠。$F'=\dfrac1x-\dfrac4{(x+1)^2}=\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}>0$⁠。故$F(x)>0$⁠。（SymPy 化简得$\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}$⁠。）

例 6 设$0<a<b$⁠，证明：$\ln\dfrac ba>\dfrac{2(b-a)}{a+b}$⁠。

解：两个字母怎么办？除以$a$：令$x=\dfrac ba>1$⁠，则不等式变成$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}$⁠，即例 5。

💡 技巧：齐次的不等式（两个字母次数相同）都可以令$x=b/a$化成一元。

例 7 证明：$0<x<1$时，$(1+x)\ln^2(1+x)<x^2$⁠。

解：$F=(1+x)\ln^2(1+x)-x^2$⁠，$F(0)=0$⁠。 $F'=\ln^2(1+x)+2\ln(1+x)-2x$⁠，$F'(0)=0$⁠。 $F''=\dfrac{2\ln(1+x)}{1+x}+\dfrac2{1+x}-2=\dfrac{2[\ln(1+x)-x]}{1+x}<0$（由例 1）。 故$F'$单减，$F'<0$⁠；$F$单减，$F<0$⁠。（SymPy 验证$F''$的这个表达式。）

⚠️ 易错点：$F''<0$时方向反过来，别习惯性写成"都是正的"。

例 8 证明：$0<x<\dfrac\pi2$时，$\sin x+\tan x>2x$⁠。

解：$F=\sin x+\tan x-2x$⁠，$F(0)=0$⁠，$F'=\cos x+\sec^2x-2$⁠。令$c=\cos x\in(0,1)$⁠，$h(c)=c+\dfrac1{c^2}-2$⁠，$h'(c)=1-\dfrac2{c^3}<0$⁠，所以$h$在$(0,1)$上减，$h(c)>h(1)=0$⁠。故$F'>0$⁠，$F>0$⁠。

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三、用单调性比较两个数的大小#

大白话：比较$a^b$与$b^a$⁠，两边取对数得$b\ln a$与$a\ln b$⁠，同除以$ab$变成比较$\dfrac{\ln a}a$与$\dfrac{\ln b}b$——同一个函数在两点的值，只要知道它的单调性就行。

例 9 比较$\mathrm e^\pi$与$\pi^{\mathrm e}$的大小。

解：令$g(x)=\dfrac{\ln x}x$⁠，$g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$⁠，$x>\mathrm e$时$g'<0$⁠，$g$单减。因为$\mathrm e<\pi$⁠，所以$g(\mathrm e)>g(\pi)$⁠，即$\dfrac1{\mathrm e}>\dfrac{\ln\pi}\pi$⁠，$\pi>\mathrm e\ln\pi$⁠，故$\mathrm e^\pi>\pi^{\mathrm e}$⁠。（数值：$\mathrm e^\pi\approx23.14>\pi^{\mathrm e}\approx22.46$⁠。）

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速记卡#

• 五步：移项作差 → 端点值 → 求导 → 判号 → 结论。
• 求导看不出号：继续求导，每层标端点值。
• 两个字母：齐次就令$x=b/a$⁠。
• 比较$a^b$⁠、$b^a$⁠：化成$\dfrac{\ln x}x$⁠，转折点在$x=\mathrm e$⁠。
• 方向：$F'>0$且$F(a)=0$ ⇒ $F>0$⁠；$F'<0$则$F<0$⁠。

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自测练习#

1. 证明$x>0$时$\dfrac x{1+x}<\ln(1+x)<x$⁠。

答案与提示

右边是例 1；左边令$F=\ln(1+x)-\tfrac x{1+x}$⁠，$F(0)=0$⁠，$F'=\tfrac x{(1+x)^2}>0$（SymPy 验证）。

2. 证明$x>0$时$\ln(1+x)>x-\dfrac{x^2}2$⁠。

答案与提示

$F=\ln(1+x)-x+\tfrac{x^2}2$⁠，$F'=\tfrac{x^2}{1+x}>0$⁠。

3. 证明$x>0$时$\cos x>1-\dfrac{x^2}2$⁠。

答案与提示

$F=\cos x-1+\tfrac{x^2}2$⁠，$F'=x-\sin x>0$⁠。

4. 证明$x>0$时$\arctan x>\dfrac x{1+x^2}$⁠。

答案与提示

$F'=\dfrac{2x^2}{(1+x^2)^2}>0$⁠，$F(0)=0$（SymPy 验证）。

5. 证明$a>b>\mathrm e$时$a^b<b^a$⁠。

答案与提示

等价于$\dfrac{\ln a}a<\dfrac{\ln b}b$⁠；$\dfrac{\ln x}x$在$(\mathrm e,+\infty)$单减，而$a>b$⁠。

6. 证明$x>1$时$2\sqrt x>3-\dfrac1x$⁠。

答案与提示

$F=2\sqrt x+\tfrac1x-3$⁠，$F(1)=0$⁠，$F'=\tfrac1{\sqrt x}-\tfrac1{x^2}>0$（⁠$x>1$⁠）。

7. 证明$0<x<1$时$\ln\dfrac{1+x}{1-x}>2x$⁠。

答案与提示

$F'=\dfrac1{1+x}+\dfrac1{1-x}-2=\dfrac{2x^2}{1-x^2}>0$⁠，$F(0)=0$⁠。

8. 证明$0<x<\dfrac\pi2$时$\tan x>x+\dfrac{x^3}3$⁠。

答案与提示

$F'=\sec^2x-1-x^2=\tan^2x-x^2>0$（由例 3），$F(0)=0$⁠。

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下一篇预告#

专题 S07（下）讲不等式证明的另外三招：拉格朗日中值定理夹逼、凹凸性（切线与弦）、最值法，并给出$\left(1+\tfrac1n\right)^n<\mathrm e<\left(1+\tfrac1n\right)^{n+1}$的完整证明。

👉 点击进入下一篇：专题S07（下）｜不等式证明：中值定理、凹凸性与最值法