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第 131 篇

考研数学二·零基础讲义 专题S06（下）｜中值定理证明题入门：拉格朗日、柯西与两个中值点

约 5 分钟 1619 字 数学考研数学二零基础讲义高等数学

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S06（下）｜中值定理证明题入门：拉格朗日、柯西与"两个中值点"

上篇用罗尔构造辅助函数；这篇讲拉格朗日和柯西：它们让"函数值的差"变成"导数乘区间长度"，是估计、求极限、证等式的利器。全篇 7 道例题 + 8 道自测，具体数值用 SymPy 验算。预计用时 50–70 分钟。

本讲地图

  • 拉格朗日：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)——差变成导数。
  • 柯西：两个函数的差之比等于导数之比。
  • 三类应用：估计差值、求含ξ\xi的极限、证存在ξ,η\xi,\eta的等式。
  • 大纲要求：理解并会用三个中值定理。

前置知识

  • 专题 S06（上）：罗尔定理与构造辅助函数。
  • 第 03 讲：极限的夹逼与等价替换。

一、拉格朗日中值定理

大白话：全程平均速度是f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}⁠。只要路程平滑，行驶中一定有某一刻的瞬时速度恰好等于平均速度。几何上：曲线上必有一点的切线，平行于两端点连成的弦。

定理：ff在[a,b][a,b]连续、(a,b)(a,b)可导，则∃ξ∈(a,b)\exists\xi\in(a,b)⁠， f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),即f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),\qquad\text{即}\quad f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

证明思路：令F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)F(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)⁠，则F(a)=F(b)=f(a)F(a)=F(b)=f(a)⁠，对FF用罗尔。（辅助函数 = 减去弦。）

拉格朗日定理：切线与弦平行的时刻 x y O 绿虚线：弦；橙线：切线，滑到与弦平行时对应 ξ

图 1：切线沿曲线滑动；与弦平行的那一刻就是ξ\xi（动画循环播放）

例 1 对f(x)=x3f(x)=x^3在[0,2][0,2]求ξ\xi⁠。

解：f(2)−f(0)2=4\dfrac{f(2)-f(0)}{2}=4⁠，f′(ξ)=3ξ2=4f'(\xi)=3\xi^2=4⁠，ξ=23≈1.155∈(0,2)\xi=\dfrac{2}{\sqrt3}\approx1.155\in(0,2)（负根不在区间内）。SymPy 验证。

例 2（估计） 设0<a<b0<a<b⁠，证明b−ab<ln⁡ba<b−aa\dfrac{b-a}{b}<\ln\dfrac ba<\dfrac{b-a}{a}⁠。

证：对f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x在[a,b][a,b]用拉格朗日：ln⁡b−ln⁡a=b−aξ\ln b-\ln a=\dfrac{b-a}{\xi}⁠，ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)⁠。因1b<1ξ<1a\dfrac1b<\dfrac1\xi<\dfrac1a⁠，两边乘b−a>0b-a>0即得。∎

（数值例：a=2,b=3a=2,b=3⁠：13<ln⁡32≈0.4055<12\tfrac13<\ln\tfrac32\approx0.4055<\tfrac12⁠。）

⚠️ 易错点：ξ\xi是"存在某个"，不能当已知值代入；不等式只靠ξ\xi的范围放缩。

例 3（求极限） 求lim⁡x→+∞x2[arctan⁡(x+1)−arctan⁡x]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\big[\arctan(x+1)-\arctan x\big]⁠。

解：对arctan⁡t\arctan t在[x,x+1][x,x+1]用拉格朗日：差=11+ξ2=\dfrac{1}{1+\xi^2}⁠，ξ∈(x,x+1)\xi\in(x,x+1)⁠。由x<ξ<x+1x<\xi<x+1⁠： x21+(x+1)2<x21+ξ2<x21+x2,\frac{x^2}{1+(x+1)^2}<\frac{x^2}{1+\xi^2}<\frac{x^2}{1+x^2}, 两端极限都是11⁠，夹逼得极限为11⁠。（SymPy 直接求极限也是11⁠。）

例 4（⁠ξ\xi的极限） 对f(x)=exf(x)=\mathrm e^x在[0,x][0,x]用拉格朗日，ex−1=xeξ\mathrm e^x-1=x\mathrm e^{\xi}⁠，求lim⁡x→0ξx\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\xi}{x}⁠。

解：ξ=ln⁡ex−1x\xi=\ln\dfrac{\mathrm e^x-1}{x}⁠。当x→0x\to0⁠，ex−1x=1+x2+o(x)\dfrac{\mathrm e^x-1}x=1+\dfrac x2+o(x)⁠，ln⁡(1+u)∼u\ln(1+u)\sim u⁠，故ξ∼x2\xi\sim\dfrac x2⁠，极限为12\dfrac12⁠。（SymPy 验证=12=\tfrac12⁠。）

二、柯西中值定理

定理：f,gf,g在[a,b][a,b]连续、(a,b)(a,b)可导，且g′(x)≠0g'(x)\neq0⁠，则∃ξ∈(a,b)\exists\xi\in(a,b)⁠， f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

大白话：两个"速度"之比，在某时刻等于总位移之比。拉格朗日是g(x)=xg(x)=x的特例。

例 5 对f=x3f=x^3⁠、g=x2g=x^2在[1,2][1,2]求ξ\xi⁠。

解：8−14−1=73=3ξ22ξ=3ξ2\dfrac{8-1}{4-1}=\dfrac73=\dfrac{3\xi^2}{2\xi}=\dfrac{3\xi}2⁠，ξ=149∈(1,2)\xi=\dfrac{14}9\in(1,2)⁠。（SymPy 验证。）

例 6 设0<a<b0<a<b⁠，ff在[a,b][a,b]连续、(a,b)(a,b)可导。证明∃ξ∈(a,b)\exists\xi\in(a,b)⁠，使f(b)−f(a)=ξf′(ξ)ln⁡baf(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln\dfrac ba⁠。

证：取g(x)=ln⁡xg(x)=\ln x⁠，g′=1x≠0g'=\dfrac1x\ne0⁠。柯西：f(b)−f(a)ln⁡b−ln⁡a=f′(ξ)1/ξ=ξf′(ξ)\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\dfrac{f'(\xi)}{1/\xi}=\xi f'(\xi)⁠。∎

（取f=x2f=x^2⁠，[1,e][1,\mathrm e]⁠：e2−1=2ξ2\mathrm e^2-1=2\xi^2⁠，ξ=e2−12≈1.787∈(1,e)\xi=\sqrt{\tfrac{\mathrm e^2-1}2}\approx1.787\in(1,\mathrm e)⁠。）

三、两个中值点ξ,η\xi,\eta

套路：把区间拆成两段，每段各用一次中值定理。分点cc往往靠介值/零点定理找。

例 7 设ff在[0,1][0,1]连续、(0,1)(0,1)可导，f(0)=0f(0)=0⁠，f(1)=1f(1)=1⁠。证明∃ ξ≠η∈(0,1)\exists\,\xi\neq\eta\in(0,1)⁠，使f′(ξ)f′(η)=1f'(\xi)f'(\eta)=1⁠。

证：令h(x)=f(x)+x−1h(x)=f(x)+x-1⁠，h(0)=−1<0h(0)=-1<0⁠，h(1)=1>0h(1)=1>0⁠，由零点定理∃c∈(0,1)\exists c\in(0,1)⁠，f(c)=1−cf(c)=1-c⁠。

  • 在[0,c][0,c]用拉格朗日：f′(ξ)=f(c)−f(0)c=1−ccf'(\xi)=\dfrac{f(c)-f(0)}{c}=\dfrac{1-c}{c}⁠，ξ∈(0,c)\xi\in(0,c)⁠；
  • 在[c,1][c,1]用拉格朗日：f′(η)=f(1)−f(c)1−c=c1−cf'(\eta)=\dfrac{f(1)-f(c)}{1-c}=\dfrac{c}{1-c}⁠，η∈(c,1)\eta\in(c,1)⁠。

两式相乘：f′(ξ)f′(η)=1f'(\xi)f'(\eta)=1⁠，且ξ<c<η\xi<c<\eta⁠，故ξ≠η\xi\neq\eta⁠。∎

（取f=x2f=x^2⁠：c=5−12≈0.618c=\tfrac{\sqrt5-1}2\approx0.618⁠；ξ=1−c2c≈0.309∈(0,c)\xi=\tfrac{1-c}{2c}\approx0.309\in(0,c)⁠，η=c2(1−c)≈0.809∈(c,1)\eta=\tfrac c{2(1-c)}\approx0.809\in(c,1)⁠，乘积为11⁠，SymPy 验算。）

⚠️ 易错点：分点要选得使两段斜率互为倒数，所以找f(c)=1−cf(c)=1-c⁠，而不是随便取中点。

速记卡

  • 拉格朗日：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)⁠；估计时用ξ\xi的范围放缩f′(ξ)f'(\xi)⁠。
  • 柯西：f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}⁠；g=ln⁡xg=\ln x时得ξf′(ξ)\xi f'(\xi)⁠。
  • 求极限：夹出ξ\xi的范围；ξ\xi的极限用反解出的表达式。
  • 两个中值点：拆区间 + 零点定理找分点 + 各用一次。

自测练习

1. 对f=x3f=x^3在[0,2][0,2]求拉格朗日的ξ\xi⁠。

答案与提示

3ξ2=43\xi^2=4⁠，ξ=233\xi=\tfrac{2\sqrt3}3⁠。

2. 证明13<ln⁡32<12\tfrac13<\ln\tfrac32<\tfrac12⁠。

答案与提示

ln⁡x\ln x在[2,3][2,3]用拉格朗日，ln⁡32=1ξ\ln\tfrac32=\tfrac1\xi⁠，ξ∈(2,3)\xi\in(2,3)⁠。

3. 求lim⁡x→+∞x2[e1/x−e1/(x+1)]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\big[\mathrm e^{1/x}-\mathrm e^{1/(x+1)}\big]⁠。

答案与提示

对e1/t\mathrm e^{1/t}在[x,x+1][x,x+1]用拉格朗日：差=e1/ξξ2=\dfrac{\mathrm e^{1/\xi}}{\xi^2}⁠，ξ∈(x,x+1)\xi\in(x,x+1)⁠；乘x2x^2夹逼得11（SymPy 验证）。

4. 求lim⁡x→+∞x2[sin⁡1x−sin⁡1x+1]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\big[\sin\tfrac1x-\sin\tfrac1{x+1}\big]⁠。

答案与提示

同样思路，差=cos⁡(1/ξ)ξ2=\dfrac{\cos(1/\xi)}{\xi^2}⁠，cos⁡(1/ξ)→1\cos(1/\xi)\to1⁠，答案11（SymPy 验证）。

5. 对f=x3f=x^3⁠、g=xg=x在[1,2][1,2]用柯西，求ξ\xi⁠。

答案与提示

7=3ξ27=3\xi^2⁠，ξ=213≈1.528\xi=\tfrac{\sqrt{21}}3\approx1.528⁠。

6. 对f=e2xf=\mathrm e^{2x}在[0,x][0,x]用拉格朗日，e2x−1=2xe2ξ\mathrm e^{2x}-1=2x\mathrm e^{2\xi}⁠，求lim⁡x→0ξ/x\lim_{x\to0}\xi/x⁠。

答案与提示

ξ=12ln⁡e2x−12x∼x2\xi=\tfrac12\ln\dfrac{\mathrm e^{2x}-1}{2x}\sim\tfrac x2⁠，极限12\tfrac12⁠。

7. 证明对任意a<ba<b⁠，∣arctan⁡b−arctan⁡a∣≤∣b−a∣|\arctan b-\arctan a|\le|b-a|⁠。

答案与提示

(arctan⁡x)′=11+x2≤1(\arctan x)'=\tfrac1{1+x^2}\le1⁠，拉格朗日得∣Δ∣=b−a1+ξ2≤b−a|\Delta|=\tfrac{b-a}{1+\xi^2}\le b-a⁠。

8. 对f=x2f=x^2⁠、g=ln⁡xg=\ln x在[1,e][1,\mathrm e]用柯西，求ξ\xi⁠。

答案与提示

e2−1=ξ⋅2ξ\mathrm e^2-1=\xi\cdot2\xi⁠，ξ=e2−12≈1.787\xi=\sqrt{\tfrac{\mathrm e^2-1}2}\approx1.787⁠。

下一篇预告

专题 S07 讲不等式证明：用单调性、中值定理、凹凸性三类方法，分层处理常见不等式。

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