考研数电·零基础讲义 第01讲（上）｜数制与进制转换

考研数电·零基础讲义 · 第 01 讲（上）｜数制与进制转换 学完本讲，你能看懂二进制、八进制、十六进制，能在它们和十进制之间来回转换（包括带小数的数）。预计用时：1.5–2 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：什么叫"数制"；十进制、二进制、八进制、十六进制各自长什么样；"位权展开"这把万能钥匙；四种进制之间的互相转换（整数和小数都要会）。
• 为什么先学它：数字电路里所有东西最后都变成 0 和 1。后面的编码、逻辑代数、计数器、D/A 转换，全都建立在"会读二进制"之上。
• 华师怎么考：考纲第一条就是"数制和码制"。它很少单独出大题，但会藏在别的题里：比如 D/A 题要你把一个 10 位二进制数换成十进制再算电压，计数器题要你把"模 28"写成二进制去接反馈线。转换算错一步，后面全错。
• 教材对应：阎石《数字电子技术基础》第六版 第 1 章 1.2 节（几种常用的数制）、1.3 节（不同数制间的转换）。

前置知识#

• 只需要小学的乘除法和"个位、十位、百位"的概念。
• 不需要任何电路知识。这是整个系列的第一块砖（导读见第 00 讲）。

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一、为什么数字电路偏偏用二进制？#

大白话#

想象你家里有一盏灯，它只有两种状态：亮或灭。你没办法让一盏普通的开关灯"亮到 37%"。数字电路里的基本元件也是这样——一个晶体管要么"导通"（像开关合上），要么"截止"（像开关断开）；一根导线上的电压要么是"高电平"，要么是"低电平"。

既然每个元件天生只有两种状态，那最省事的办法就是只用两个数码：1 和 0。用 1 代表"高/通/亮"，用 0 代表"低/断/灭"。这就是二进制。

如果非要用十进制，就得让一根线能稳定地分出 10 种电压，还要不怕干扰——这非常难做，也很容易出错。而"两种状态"只要分得清"高"和"低"就行，抗干扰能力强得多。

一句话：元件只有两种状态 → 用两个数码最自然 → 二进制。

那为什么还要学八进制、十六进制？#

二进制的缺点是"太长"。比如十进制的 1000，写成二进制是 1111101000，十位数字，人眼一看就晕。八进制和十六进制可以把二进制"压缩"着写（3 位二进制 = 1 位八进制，4 位二进制 = 1 位十六进制），方便人读写。它们本质上只是二进制的"简写"。

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二、数制的通用规律：位权展开#

大白话#

我们从小用十进制，早就习惯了"逢十进一"。数一个数 143.75，你脑子里其实在做这件事：

• 1 在百位，代表 1 个 100；
• 4 在十位，代表 4 个 10；
• 3 在个位，代表 3 个 1；
• 7 在十分位，代表 7 个 0.1；
• 5 在百分位，代表 5 个 0.01。

同一个数码，放在不同位置，代表的大小不一样。 每个位置"一个单位值多少"，就叫这一位的权。

正式定义#

多位数码中，每一位怎么构成、低位向高位怎么进位，这套规则叫做数制（也叫进位计数制）。

任何一个$N$进制数都可以按下面的式子展开成十进制：

$$D=\sum_i k_i N^i$$

逐行拆解#

• $N$⁠：读作"基数"，就是"逢几进一"的那个几。十进制$N=10$⁠，二进制$N=2$⁠，八进制$N=8$⁠，十六进制$N=16$⁠。
• $k_i$⁠：第$i$位上的数码（也叫系数），它只能取$0$到$N-1$⁠。比如二进制每位只能是 0 或 1，八进制只能是 0–7。
• $N^i$⁠：第$i$位的权。
• $i$的编号规则：小数点左边第一位（个位）是$i=0$⁠，往左依次$1,2,3,\dots$⁠；小数点右边第一位是$i=-1$⁠，往右依次$-2,-3,\dots$⁠。
• $\sum$⁠：读作"求和"，意思是把每一位的"数码 × 权"全部加起来。

拿 143.75 验证一下：

$$143.75=1\times10^2+4\times10^1+3\times10^0+7\times10^{-1}+5\times10^{-2}$$

算出来确实是$100+40+3+0.7+0.05=143.75$⁠。

怎么标明"这是几进制"#

同样写 "101"，在十进制里是一百零一，在二进制里却是五。所以必须标注进制，常见两种写法：

B = Binary（二进制），O = Octal（八进制），D = Decimal（十进制），H = Hexadecimal（十六进制）。考试里两种都可能出现，要都认识。

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三、二进制、八进制、十六进制长什么样#

1. 二进制（基数 2）#

• 数码只有 0 和 1，"逢二进一"。
• 各位的权：$\dots,\ 2^3=8,\ 2^2=4,\ 2^1=2,\ 2^0=1,\ .\ 2^{-1}=0.5,\ 2^{-2}=0.25,\ 2^{-3}=0.125,\dots$

计数时这样走：0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000……注意 1 + 1 不是 2，而是"本位写 0、向前进 1"，所以$1+1=(10)_2$⁠。

建议把$2^0$到$2^{10}$背下来，后面天天用：

小数这边也记几个：$2^{-1}=0.5$⁠，$2^{-2}=0.25$⁠，$2^{-3}=0.125$⁠，$2^{-4}=0.0625$⁠。

2. 八进制（基数 8）#

• 数码 0–7，"逢八进一"。没有 8 和 9！看到八进制数里出现 8、9，一定是写错了。
• 各位的权：$8^2=64,\ 8^1=8,\ 8^0=1,\ 8^{-1}=0.125$⁠……

3. 十六进制（基数 16）#

• 需要 16 个数码，但阿拉伯数字只有 10 个，于是借用字母：

• "逢十六进一"：F 再加 1 就变成 10（读作"一零"，值是 16）。
• 各位的权：$16^2=256,\ 16^1=16,\ 16^0=1,\ 16^{-1}=0.0625$⁠……

4. 0–15 对照表（务必熟记）#

这张表是后面"分组法"的基础。熟到看见 1011 就脱口而出"B，十一"，转换速度会快很多。

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四、任意进制 → 十进制：按权展开相加#

大白话#

这是最简单的方向：每一位的"数码 × 权"加起来就行。就像数钱：几张 100、几张 10、几个 1 块，各自乘起来再相加。

图 1：二进制数 1011.01 按权展开。蓝色格子是 1，只有 1 的位才"贡献"它的权值。

例题 1（二进制 → 十进制）#

把$(1011.01)_2$化成十进制。

第 1 步：标出每一位的权。 小数点左边从右往左：$2^0,2^1,2^2,2^3$⁠；小数点右边从左往右：$2^{-1},2^{-2}$⁠。

第 2 步：数码乘权。

$$(1011.01)_2=1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0+0\times2^{-1}+1\times2^{-2}$$

第 3 步：算出来相加。

$$=8+0+2+1+0+0.25=(11.25)_{10}$$

小技巧：二进制数码只有 0 和 1，所以只把为 1 的那些位的权加起来就行，0 的位直接跳过。

例题 2（八进制、十六进制 → 十进制）#

(1) $(237)_8$

$$(237)_8=2\times8^2+3\times8^1+7\times8^0=128+24+7=(159)_{10}$$

(2) $(2A.8)_{16}$⁠。先把字母换成数值：A = 10。

$$(2A.8)_{16}=2\times16^1+10\times16^0+8\times16^{-1}=32+10+0.5=(42.5)_{10}$$

(3) $(3F)_{16}=3\times16+15=(63)_{10}$⁠。

易错点 ⚠️#

• 权的编号从 0 开始：个位是$N^0=1$⁠，不是$N^1$⁠。最常见的错误就是把整个数"多乘了一个$N$"。
• 小数部分的权是负次幂：小数点右边第一位是$N^{-1}$⁠，即$\dfrac1N$⁠。二进制就是 0.5，八进制是 0.125，十六进制是 0.0625。
• 十六进制里的字母要先换成 10–15 再算，别把 "A" 当成 1。

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五、十进制整数 → 二进制：除 2 取余，倒着读#

大白话#

想象你有 45 颗糖，要两两打包：

• 45 颗两两一包，装 22 包，剩 1 颗——这颗散糖就是二进制最低位（"1 的位"）；
• 22 包再两包一捆，装 11 捆，剩 0 包——这就是"2 的位"；
• 11 捆再两两打成大捆……

每次"除以 2 剩下的余数"，正好就是二进制从低到高的每一位。

方法#

1. 用十进制整数除以 2，记下商和余数；
2. 再用商除以 2，再记余数；
3. 一直除到商为 0 为止；
4. 把所有余数从下往上（从最后一个到第一个）排起来，就是二进制数。

为什么倒着读？因为第一次除得到的余数是最低位$k_0$⁠，最后一次得到的是最高位。而写数字时高位在左，所以要从最后一个余数开始写。

图 2：45 除 2 取余，每一行出现一个余数，最后从下往上读（动画循环播放）。

例题 3#

把$(45)_{10}$和$(156)_{10}$化成二进制。

(1) 45（过程见图 2）

从下往上读：$(45)_{10}=(101101)_2$⁠。

验算：$32+8+4+1=45$ ✓。养成习惯：转完马上按权展开回去核对一遍，花 10 秒，能救一整道题。

(2) 156

从下往上读：$(156)_{10}=(10011100)_2$⁠。验算：$128+16+8+4=156$ ✓。

另一种快速方法：凑 2 的幂（适合小数字心算）#

从不超过它的最大的 2 的幂开始减：$156-128=28$⁠，$28-16=12$⁠，$12-8=4$⁠，$4-4=0$⁠。用到了 128、16、8、4，对应$2^7,2^4,2^3,2^2$⁠，这些位写 1，其余写 0：$10011100$⁠。结果一样。

易错点 ⚠️#

• 余数顺序读反：先得到的余数是最低位！写反了，101101 就成了 101101（这个恰好对称，你换成 156 试试就知道多危险：00111001 ≠ 10011100）。
• 除到商为 0 才停：不要在商为 1 时就停下，那个最后的"1 ÷ 2 = 0 余 1"的 1 是最高位，丢了就少一位。

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六、十进制小数 → 二进制：乘 2 取整，顺着读#

大白话#

整数部分是"除"出来的，小数部分刚好反过来，是"乘"出来的。把小数乘以 2，相当于小数点往右挪一位——挪过来跨过小数点的那一位（整数部分），就是二进制小数的下一位。

方法#

1. 把十进制小数乘以 2，取出乘积的整数部分（0 或 1），记下来；
2. 把乘积的小数部分继续乘以 2，再取整数部分；
3. 重复，直到小数部分为 0，或达到题目要求的位数；
4. 把取出的整数从上往下（按先后顺序）排在小数点后面。

注意方向：整数部分"倒着读"，小数部分"顺着读"。因为第一次乘 2 得到的是紧挨小数点的$k_{-1}$⁠。

例题 4#

把$(0.6875)_{10}$化成二进制。

小数部分变成 0，停止。顺着读：$(0.6875)_{10}=(0.1011)_2$⁠。

验算：$0.5+0.125+0.0625=0.6875$ ✓。

（注意第 2 步：$1.375$取走整数 1 之后，剩下$0.375$再乘 2，不要把 1.375 整个乘 2。）

例题 5：乘不尽怎么办？#

把$(0.1)_{10}$化成二进制，保留 8 位小数。

你会发现从第 2 步起 0.2 → 0.4 → 0.8 → 0.6 → 0.2 无限循环，永远乘不到 0。所以 0.1 在二进制里是无限循环小数，只能按要求截取：

$$(0.1)_{10}\approx(0.00011001)_2=\frac{25}{256}=0.09765625$$

误差约为 0.0023。这就是为什么题目会说"保留 n 位"或"误差不大于$2^{-n}$"——很多十进制小数在二进制里写不完，位数越多越精确。这个思想后面在 D/A、A/D 转换里会再次出现：位数越多，能表示的最小变化量越小（见第 24 讲）。

例题 6：整数和小数一起#

把$(25.375)_{10}$化成二进制。

整数和小数分开转，最后用小数点拼起来。

• 整数 25：除 2 取余，余数依次为 1, 0, 0, 1, 1，倒读得$11001$⁠；
• 小数 0.375：$0.375\times2=0.75$取 0；$0.75\times2=1.5$取 1；$0.5\times2=1.0$取 1，顺读得$.011$⁠。

所以$(25.375)_{10}=(11001.011)_2$⁠。

验算：$16+8+1+0.25+0.125=25.375$ ✓。

易错点 ⚠️#

• 整数部分倒读，小数部分顺读，最容易混。记口诀："除二取余倒着排，乘二取整顺着来"。
• 带整数和小数的数必须拆开转，不能把 25.375 整个去"除以 2"。
• 乘 2 之后要扔掉整数部分再继续乘，否则数字越乘越大。

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七、二进制 ↔ 八进制、十六进制：分组法#

大白话#

$2^3=8$⁠，所以3 位二进制正好凑成 1 位八进制；$2^4=16$⁠，所以4 位二进制正好凑成 1 位十六进制。就像把一串散装的鸡蛋，3 个一盒或 4 个一盒地装起来，每盒贴一个标签（0–7 或 0–F）。

方法：二进制 → 十六进制（八进制同理，只是 3 位一组）#

1. 以小数点为界：整数部分从小数点向左每 4 位一组；小数部分从小数点向右每 4 位一组；
2. 不够 4 位的组补 0：整数部分补在最左边（高位），小数部分补在最右边（低位）；
3. 每组按对照表换成一位十六进制数码。

图 3：同一个二进制数分别按 4 位、3 位分组。橙色的 0 是补上去的。

例题 7#

把$(1101101.10111)_2$化成十六进制和八进制。

化十六进制：

• 整数部分 1101101，从右往左 4 位一组：1101 | 110，左边那组只有 3 位，左边补一个 0 → 0110 | 1101 → 6 D；
• 小数部分 10111，从左往右 4 位一组：1011 | 1，右边那组只有 1 位，右边补三个 0 → 1011 | 1000 → B 8。

所以$(1101101.10111)_2=(6D.B8)_{16}$⁠。

化八进制：

• 整数部分 1101101，从右往左 3 位一组：101 | 101 | 1 → 补成 001 | 101 | 101 → 1 5 5；
• 小数部分 10111，从左往右 3 位一组：101 | 11 → 补成 101 | 110 → 5 6。

所以$(1101101.10111)_2=(155.56)_8$⁠。

交叉验算：三者都应等于同一个十进制数。

$$(6D.B8)_{16}=6\times16+13+\frac{11}{16}+\frac{8}{256}=109.71875$$ $$(155.56)_8=64+40+5+\frac58+\frac6{64}=109.71875$$

两者一致 ✓。

反方向：十六进制（八进制）→ 二进制#

每一位十六进制数码换成 4 位二进制（八进制换 3 位），按原顺序拼起来，最后去掉最左边和最右边多余的 0。

例题 8#

$(7A3.C)_{16}$化为二进制：

拼起来是$0111\,1010\,0011.1100$⁠，去掉首尾无用的 0：$(7A3.C)_{16}=(11110100011.11)_2$⁠。

易错点 ⚠️#

• 分组方向：整数部分从小数点往左数，小数部分从小数点往右数。千万别从最左边开始 4 位一组地切整数部分。
• 补 0 的位置：整数补左边、小数补右边。小数补在左边会改变数值（⁠$0.1$和$0.0001$显然不一样）。
• 反向转换时，中间的每一组都必须写满 4 位（或 3 位）。比如 3 要写成 0011，不能写成 11，否则后面的位全错位。

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八、八进制 ↔ 十六进制，十进制 → 十六进制#

八进制 ↔ 十六进制：借道二进制#

八进制和十六进制之间没有整齐的位数对应（3 和 4 不成倍数），最稳的办法是先转二进制，再重新分组。

例题 9#

把$(365)_8$化为十六进制。

• 八 → 二：3 → 011，6 → 110，5 → 101，得$011\,110\,101$⁠，即$11110101$⁠；
• 二 → 十六：4 位一组 1111 | 0101 → F 5。

所以$(365)_8=(F5)_{16}$⁠。验算：$(365)_8=3\times64+6\times8+5=245$⁠，$(F5)_{16}=15\times16+5=245$ ✓。

十进制 → 十六进制：两种方法#

方法一：除 16 取余，倒着读（和除 2 取余完全一个道理，只是每次除以 16，余数在 0–15 之间，10–15 要写成 A–F）。

方法二：先转二进制，再 4 位一组。

例题 10#

把$(300)_{10}$化为十六进制。

方法一：

倒读：$(300)_{10}=(12C)_{16}$⁠。

方法二：$300=256+32+8+4$⁠，即$(100101100)_2$⁠；4 位一组（从右往左）：1 | 0010 | 1100 → 0001 | 0010 | 1100 → 1 2 C。两种方法结果一致 ✓。

十进制转八进制同理：除 8 取余，或先转二进制再 3 位一组。

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九、n 位二进制能表示多大的数？#

大白话#

1 位二进制能表示 0、1，两种；2 位能表示 00、01、10、11，四种；每多 1 位，种类翻一倍。

结论#

• $n$位二进制数一共有$2^n$种组合，能表示的无符号整数范围是$0\sim2^n-1$⁠。
• 例如 4 位：$0\sim15$⁠；8 位：$0\sim255$⁠；10 位：$0\sim1023$⁠。
• 反过来，要表示$0\sim M$的所有整数，需要的位数$n$满足$2^n-1\ge M$⁠。比如要表示 0–999，因为$2^9-1=511<999$⁠，$2^{10}-1=1023\ge999$⁠，所以至少要 10 位。

这个"位数 ↔ 范围"的关系在后面非常常用：

• 计数器有几个状态，需要几个触发器（第 16 讲）；
• 存储器有多少个单元，需要几根地址线（第 22 讲）；
• D/A 转换器$n$位，就把满量程分成$2^n-1$份（第 24 讲，2026 回忆题第 9 题就考了 10 位 D/A 的分辨率）。

易错点 ⚠️#

• $n$位能表示$2^n$个数，但最大值是$2^n-1$（因为从 0 开始数）。"个数"和"最大值"差 1，别混。

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速记卡#

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自测练习#

1. 把$(110101)_2$化为十进制。

答案与提示

只加为 1 的位：$32+16+4+1=53$⁠，即$(110101)_2=(53)_{10}$⁠。

2. 把$(100)_{10}$化为二进制。

答案与提示

除 2 取余：100→50 余 0，50→25 余 0，25→12 余 1，12→6 余 0，6→3 余 0，3→1 余 1，1→0 余 1。倒读得$(1100100)_2$⁠。

验算：$64+32+4=100$ ✓。

3. 把$(0.375)_{10}$化为二进制。

答案与提示

$0.375\times2=0.75$取 0；$0.75\times2=1.5$取 1；$0.5\times2=1.0$取 1。顺读得$(0.011)_2$⁠。

验算：$0.25+0.125=0.375$ ✓。

4. 把$(10111011.101)_2$分别化为十六进制和八进制。

答案与提示

• 十六进制：整数 1011 | 1011 → BB；小数 101 → 补成 1010 → A。得$(BB.A)_{16}$⁠。
• 八进制：整数从右往左 3 位一组 011 | 101 | 10 → 补成 010 | 111 | 011 → 2 7 3；小数 101 → 5。得$(273.5)_8$⁠。

交叉验算：都等于$187.625$⁠。

5. 把$(4D.6)_{16}$化为二进制和十进制。

答案与提示

• 二进制：4 → 0100，D → 1101，6 → 0110，得$0100\,1101.0110$⁠，去掉首尾 0：$(1001101.011)_2$⁠。
• 十进制：$4\times16+13+\dfrac{6}{16}=64+13+0.375=(77.375)_{10}$⁠。

6. 把$(57)_8$化为十六进制。

答案与提示

先化二进制：5 → 101，7 → 111，得$101111$⁠；再 4 位一组：0010 | 1111 → $(2F)_{16}$⁠。

验算：$(57)_8=40+7=47$⁠，$(2F)_{16}=32+15=47$ ✓。

7. 把$(0.3)_{10}$化为二进制，保留 6 位小数（直接截断），并算出截断后的值和误差。

答案与提示

$0.3\to0.6$取 0；$0.6\to1.2$取 1；$0.2\to0.4$取 0；$0.4\to0.8$取 0；$0.8\to1.6$取 1；$0.6\to1.2$取 1。得$(0.010011)_2$⁠。

它的值是$0.25+0.03125+0.015625=0.296875$⁠，误差$0.3-0.296875=0.003125$⁠，小于$2^{-6}\approx0.0156$⁠。

8.（华师风格）某 D/A 转换器输入为 10 位二进制数。(1) 它能接收的最大数字量是多少（写成二进制、十六进制和十进制）？(2) 若要让输入能区分 0–999 共 1000 个不同的十进制数，最少需要几位二进制？10 位够不够？

答案与提示

(1) 10 位全 1：$(1111111111)_2$⁠。4 位一组：11 | 1111 | 1111 → $(3FF)_{16}$⁠；十进制$2^{10}-1=1023$⁠。

(2) 需要$2^n-1\ge999$⁠。$2^9-1=511$不够，$2^{10}-1=1023$够，所以最少 10 位，10 位够用。

（D/A 的分辨率、输出电压怎么算，见第 24 讲。）

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下一讲预告#

第 01 讲（下）：二进制里的负数怎么表示？原码、反码、补码，为什么计算机用"加补码"代替减法；以及 BCD 码、格雷码、奇偶校验码、ASCII 码这些常用编码。

👉 点击进入下一讲：第01讲（下）｜二进制运算与常用编码