考研数电·零基础讲义 第01讲（下）｜二进制运算与常用编码

考研数电·零基础讲义 · 第 01 讲（下）｜二进制运算与常用编码 学完本讲，你能写出一个数的原码、反码、补码，会用补码做加减法并判断溢出；能认出并转换 8421BCD、2421、余 3 码、格雷码、奇偶校验码和 ASCII 码。预计用时：2–2.5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：二进制的加减乘除；负数在电路里怎么表示（原码、反码、补码）；为什么"减法可以变成加补码"；几种常用代码：BCD 码（8421、2421、余 3）、格雷码、奇偶校验码、ASCII 码。
• 华师怎么考：考纲"数制和码制"里的"码制"就是本讲。补码是加法器、比较器（第 11 讲）的基础；格雷码在卡诺图（第 04 讲）和计数器设计里反复出现；2026 回忆题第 6 题"设计 4 位奇校验器"直接用到本讲的奇偶校验概念。
• 教材对应：阎石第六版 第 1 章 1.4 节（二进制算术运算，反码、补码和补码运算）、1.5 节（几种常用的编码）。奇偶校验电路的设计在第 4 章组合逻辑里出现。

前置知识#

• 会二进制和十进制、十六进制的互相转换，知道"$n$位二进制最大是$2^n-1$"（见第 01 讲（上））。

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一、二进制的四则运算#

大白话#

二进制的加减乘除和十进制的竖式规则完全一样，唯一区别是"逢二进一、借一当二"，而不是"逢十进一、借一当十"。

加法规则（必背）#

例题 1#

计算$1001+0101$和$1001-0101$⁠。

加法（从右往左逐位）：

最右一位$1+1=10$⁠，写 0 进 1；第二位$0+0+1=1$⁠；第三位$0+1=1$⁠；第四位$1+0=1$⁠。结果$1110$⁠。验算：$9+5=14=(1110)_2$ ✓。

减法：最右一位$1-1=0$⁠；第二位$0-0=0$⁠；第三位$0-1$不够减，向第四位借 1（借来的 1 在本位当 2 用），$2-1=1$⁠；第四位被借走后剩 0，$0-0=0$⁠。结果$0100$⁠。验算：$9-5=4$ ✓。

乘法和除法#

二进制乘法其实就是"被乘数左移 + 相加"：乘数某位是 1，就把被乘数左移相应位数加进来；是 0 就不加。除法是"右移 + 相减"。

这说明一件很重要的事：只要能把减法也变成加法，那么加减乘除就全部可以用"移位"和"加法"两种操作完成，电路就会简单很多。怎样把减法变成加法？这就是补码要解决的问题。

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二、负数怎么表示：原码#

大白话#

电路里只有 0 和 1，没有"负号"这个符号。怎么办？在数的最前面专门留一位当"符号位"：0 表示正，1 表示负。后面的位照常写绝对值。这种写法叫原码。

定义#

原码 = 符号位 + 绝对值的二进制。符号位：0 为正，1 为负。

例如用 8 位（1 位符号 + 7 位数值）：

• $+26$⁠：$26=(0011010)_2$⁠，原码$\mathbf{0}0011010$⁠；
• $-26$⁠：原码$\mathbf{1}0011010$⁠。

原码的麻烦#

原码人看着直观，但电路算起来很麻烦：做减法时要先比较两个数绝对值谁大，用大的减小的，再决定结果的符号。这需要比较电路和加减法电路，结构复杂。另外原码里 0 有两种写法：$+0=00000000$⁠，$-0=10000000$⁠，也很别扭。

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三、补码的原理：钟表上的"减法变加法"#

大白话#

你的手表停在 10 点，现在实际是 5 点，要拨回去。有两种拨法：

• 往回拨 5 格：$10-5=5$⁠；
• 往前拨 7 格：$10+7=17$⁠，表盘只有 12 个格，超过 12 的部分自动"转一圈消失"，$17-12=5$⁠，同样到 5 点。

所以在表盘上，减 5 和加 7 效果一样。因为$5+7=12$⁠，正好是表盘转一圈的数（叫模）。我们说 7 是$-5$对模 12 的补码（补数）。

结论：在"超出部分自动丢掉"的条件下，减去一个数 = 加上它的补码。

换到二进制#

4 位二进制一共 16 个码（0000–1111），超过 1111 再加 1 就会产生第 5 位的进位，如果电路只有 4 位，这个进位就"丢掉"了——这正好就是一个"模 16 的表盘"。

图 1：4 位二进制码排成一圈。从 1011 往前走 9 格（加 1001）到达 0100，和往回走 7 格（减 0111）结果相同（动画循环播放）。

所以$1011-0111$可以改成$1011+1001$⁠：

$$1011+1001=1\,0100$$

最高位的 1 是溢出表盘的进位，扔掉，得$0100$⁠。验算：$11-7=4$ ✓。这里$1001$（9）就是$-0111$（⁠$-7$⁠）对模 16 的补码，因为$7+9=16$⁠。

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四、反码和补码的定义与求法#

正式定义（教材口径）#

对于带符号位的二进制数，设数值部分（不含符号位）有$n$位：

$$\text{反码}=\begin{cases}\text{原码} & \text{正数}\\ \text{符号位不变，数值位逐位取反} & \text{负数}\end{cases}$$ $$\text{补码}=\begin{cases}\text{原码} & \text{正数}\\ \text{反码}+1 & \text{负数}\end{cases}$$

逐行拆解#

• 正数的原码、反码、补码三者完全相同，不用做任何变化。这一点最容易被忽略——不要对正数也去"取反加一"！
• "取反"：1 变 0，0 变 1。
• 负数的补码 = 反码 + 1：这个"+1"加在最低位，可能会一路进位。
• 为什么这样求出来就是补码？对负数$-N$⁠，数值部分取反得到的是$(2^n-1)-N$（因为$N$加上它的取反正好是$n$个 1，即$2^n-1$⁠），再加 1 就是$2^n-N$——正好是"凑满模的那个补数"。

例题 2#

用 8 位（1 位符号 + 7 位数值）写出$+26$⁠、$-26$⁠、$+45$⁠、$-45$的原码、反码、补码。

以$-26$为例一步步来：

1. 绝对值 26 = $0011010$（7 位数值）；
2. 原码：前面加符号位 1 → $10011010$⁠；
3. 反码：符号位 1 不动，后 7 位$0011010$取反 → $1100101$⁠，合起来$11100101$⁠；
4. 补码：反码加 1 → $11100101+1=11100110$⁠。

快捷法：从右往左找第一个 1#

求负数补码时，可以对原码的数值部分这样做：从最右边往左找到第一个 1，这个 1 和它右边的 0 都不变，它左边的数值位全部取反，符号位保持 1。

拿$-26$试：数值部分$0011010$⁠，从右往左第一个 1 在倒数第二位，保留"10"，左边的$00110$取反成$11001$⁠，得$1100110$⁠，加上符号位：$11100110$⁠。和上面一样 ✓。

补码 → 原码（或十进制）#

对补码再求一次补码就回到原码（符号位不动，数值位取反加 1）。

例：补码$11110110$表示多少？符号位 1，是负数；数值位$1110110$取反$0001001$⁠，加 1 得$0001010=10$⁠，所以是$-10$⁠。

还有一个更快的看法：把补码最高位的权当成负的。8 位补码最高位权是$-2^7=-128$⁠：

$$11110110\to-128+64+32+16+4+2=-10$$

4 位补码对照表（含符号位共 4 位）#

注意最后一格：补码里 0 只有一种写法（0000），省下来的 1000 规定表示$-8$⁠。所以 4 位补码的范围是$-8\sim+7$，一般地，$n$位（含符号位）补码范围是$-2^{n-1}\sim2^{n-1}-1$⁠。8 位就是$-128\sim+127$⁠。

易错点 ⚠️#

• 正数不变！只有负数才"取反加一"。
• 符号位不参与取反（教材口径）。
• 位数要先定好：同样是$-5$⁠，4 位补码是 1011，8 位补码是 11111011（前面补的是 1，不是 0）。负数扩展位数时高位补符号位。

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五、补码加减法与溢出#

方法#

1. 选够位数，把两个数都写成补码（减法$A-B$看成$A+(-B)$⁠）；
2. 符号位和数值位一起按普通二进制加法相加；
3. 最高位（符号位）产生的进位直接丢掉；
4. 结果就是和的补码。如果结果符号位是 1，要换回原码才能读出数值。

例题 3#

用 8 位补码计算$25+18$⁠、$25-18$⁠、$-25+18$⁠、$-25-18$⁠。

先写补码：$+25=00011001$⁠，$-25=11100111$⁠，$+18=00010010$⁠，$-18=11101110$⁠。

(1) $25+18$

$$00011001+00010010=00101011$$

符号位 0，正数，$32+8+2+1=43$ ✓。

(2) $25-18=25+(-18)$

$$00011001+11101110=\mathbf{1}\,00000111$$

最高位进位丢掉，得$00000111=+7$ ✓。

(3) $-25+18$

$$11100111+00010010=11111001$$

符号位 1，是负数。数值位$1111001$取反加 1 得$0000111=7$⁠，所以结果是$-7$ ✓。

(4) $-25-18=(-25)+(-18)$

$$11100111+11101110=\mathbf{1}\,11010101$$

丢掉进位得$11010101$⁠。符号位 1，数值位取反加 1：$0101010+1=0101011=43$⁠，结果$-43$ ✓。

你看，四种情况全部只用了加法，也不需要比较谁大谁小——这就是计算机里用补码的原因。

溢出：结果装不下#

8 位补码最大只能表示$+127$⁠。如果算$100+50=150$会怎样？

$$01100100+00110010=10010110$$

结果符号位变成 1，读出来是$-106$——两个正数相加得了负数，显然错了。这叫溢出：真实结果超出了位数能表示的范围。

同理$(-100)+(-50)$⁠：$10011100+11001110=\mathbf{1}\,01101010$⁠，丢进位后是$+106$⁠，两个负数加出了正数，也溢出了。

判断溢出的简单办法：

• 一正一负相加，永远不会溢出；
• 两个同号数相加，如果结果的符号和它们不同，就溢出了。

解决办法：增加位数。比如用 9 位或 16 位补码重新算。所以题目做补码运算前，要先估计结果大小，选够位数（教材例题里算$\pm13\pm10$时，因为绝对值之和 23 需要 5 位数值，就选了 1 位符号 + 5 位数值 = 6 位）。

易错点 ⚠️#

• 进位丢掉，不是"加到结果里去"。
• 结果是补码：符号位为 1 时不能直接按二进制读数，要先转回原码。
• 同号相加前先估算是否超范围；超了就要加位数。

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六、编码：数码不再表示"大小"#

大白话#

运动会上给运动员发号码牌，"035 号"并不表示这个人比"012 号"大，只是个代号。二进制码也一样：当一组 0/1 用来代表某个事物（一个十进制数字、一个字母、一个状态）时，它叫"代码"，编码的规则叫码制。

前面讲的"数制"关心数值大小，"码制"只关心对应关系。

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七、十进制代码（BCD 码）#

为什么需要#

人习惯十进制，机器习惯二进制。比如计算器、电子表，按键输入和数码管显示都是十进制，每一位十进制数字 0–9 需要单独用二进制代码表示。0–9 共 10 个状态，至少要 4 位二进制（3 位只有 8 种）。4 位有 16 种组合，挑哪 10 种、怎么对应，就形成了不同的 BCD 码（Binary Coded Decimal，二–十进制编码）。

常见 BCD 码对照表#

（教材表 1.5.1 还列了 5211 码和余 3 循环码，了解即可。）

1. 8421 码（最常用，常说的"BCD 码"一般就指它）#

• 4 位从左到右的权是 8、4、2、1，和普通二进制一样，所以 0–9 的 8421 码就是它们的 4 位二进制。
• 1010–1111 这 6 个码不用（叫"伪码"或"禁用码"）。
• 每位的权固定不变，叫有权码（恒权码）。

2. 2421 码#

• 权是 2、4、2、1，也是有权码。例：$7=(1101)_{2421}$⁠，验证$2+4+0+1=7$⁠。
• 特点：0 和 9、1 和 8、2 和 7、3 和 6、4 和 5 的代码互为反码（逐位取反）。例如 2 = 0010，7 = 1101。这种性质叫"自补"，做十进制减法（求 9 的补数）时很方便。

3. 余 3 码#

• 规则：8421 码再加 3（⁠$0011$⁠）。所以 0 是 0011，9 是 1100。
• 不是有权码。
• 也有自补性：0 和 9（0011 / 1100）、1 和 8 等互为反码。
• 两个余 3 码相加，和会比真实值的二进制多 6，于是十进制和为 10 时恰好等于二进制 16，能自动产生进位。了解即可。

例题 4：BCD 码和二进制数不是一回事#

把十进制 93 分别写成二进制数和 8421BCD 码。

• 二进制数：$93=64+16+8+4+1=(1011101)_2$⁠，这是把整个数当作一个数值来转换。
• 8421BCD 码：一位十进制对应 4 位，9 → 1001，3 → 0011，所以$93=(1001\ 0011)_{8421BCD}$⁠。

两者完全不同！BCD 码是"逐位翻译"，二进制是"整体换算"。

再练两个：

• $2026=(0010\ 0000\ 0010\ 0110)_{8421BCD}$（每一位都要写满 4 位，0 写成 0000）；
• $59=(1000\ 1100)_{\text{余3码}}$（5+3=8 → 1000，9+3=12 → 1100）。

反过来，$(0111\ 1000\ 0101)_{8421BCD}$逐组翻译：0111=7，1000=8，0101=5，即 785。$(0100\ 1010)_{\text{余3码}}$⁠：0100−0011=1，1010−0011=7，即 17。

易错点 ⚠️#

• BCD 码 ≠ 二进制数。题目要 BCD 码，就 4 位一组逐位翻译；要二进制数，就整体除 2 取余。
• BCD 码每组必须写满 4 位，前导 0 不能省。
• 8421BCD 码里不会出现 1010–1111 这样的组。看到了要么是写错，要么题目说的是别的码。

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八、格雷码（循环码）#

大白话#

想象一个旋转编码盘（比如音量旋钮）在两个位置之间转动。用普通二进制编码时，从 3（0011）转到 4（0100），三个位要同时变化。现实中几根线不可能完全同时变，哪怕差几纳秒，中间也可能短暂出现 0101、0111、0001 之类的错误码，下游电路可能误动作。

格雷码的设计思想就是：相邻的两个码只差一位。每次只变一位，就不会出现中间错码。

图 2：从 3 到 4，二进制要变 3 位，可能产生"过渡噪声"；格雷码只变 1 位。

4 位格雷码表#

观察规律：

• 任意上下相邻两行的格雷码只差一位；连最后一个 1000 和第一个 0000 也只差一位，首尾相接成环，所以叫循环码。
• 后 8 个是前 8 个"镜像"过来再把最高位改成 1（0100 ↔ 1100，0101 ↔ 1101……），所以也叫反射码。按这个办法，可以由$n$位格雷码造出$n+1$位格雷码。
• 格雷码没有固定的权，不能按权展开求值。

二进制 ↔ 格雷码的转换公式#

这里用到一种运算"异或"，记作$\oplus$⁠：两位相同得 0，不同得 1（⁠$0\oplus0=0$⁠，$0\oplus1=1$⁠，$1\oplus0=1$⁠，$1\oplus1=0$⁠）。异或会在第 02 讲（上）正式讲，这里先会用就行。

设二进制为$B_3B_2B_1B_0$⁠，格雷码为$G_3G_2G_1G_0$⁠：

二进制 → 格雷码：最高位照抄，其余每位 = 本位与左边一位异或。

$$G_3=B_3,\quad G_i=B_{i+1}\oplus B_i\ (i=2,1,0)$$

格雷码 → 二进制：最高位照抄，其余每位 = 刚求出的左边那位二进制与本位格雷码异或。

$$B_3=G_3,\quad B_i=B_{i+1}\oplus G_i\ (i=2,1,0)$$

例题 5#

(1) 把二进制$1011$转成格雷码。

• $G_3=B_3=1$⁠；
• $G_2=B_3\oplus B_2=1\oplus0=1$⁠；
• $G_1=B_2\oplus B_1=0\oplus1=1$⁠；
• $G_0=B_1\oplus B_0=1\oplus1=0$⁠。

得格雷码$1110$（查表：序号 11 对应 1110 ✓）。

(2) 把格雷码$1101$转成二进制。

• $B_3=G_3=1$⁠；
• $B_2=B_3\oplus G_2=1\oplus1=0$⁠；
• $B_1=B_2\oplus G_1=0\oplus0=0$⁠；
• $B_0=B_1\oplus G_0=0\oplus1=1$⁠。

得二进制$1001$（即 9，查表：序号 9 的格雷码是 1101 ✓）。

易错点 ⚠️#

• 格雷码 → 二进制时，异或的是二进制的上一位（刚算出来的$B_{i+1}$⁠），不是格雷码的上一位。这是最常见的错误。
• 格雷码不是有权码，不能"按权展开"。

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九、奇偶校验码#

大白话#

数据在线路上传输时可能被干扰，某一位 0 变成 1 或 1 变成 0。怎么让接收方知道"可能出错了"？最简单的办法：发送方在数据后面多加一位"校验位"，事先约定好"整串码里 1 的个数必须是奇数"（或偶数）。接收方数一数 1 的个数，不符合约定就说明出错了。

就像寄快递时在单子上写"共 5 件"，收件人一数只有 4 件，就知道少了。

定义#

奇偶校验码 = 信息位 + 1 位校验位。

• 奇校验：使整个码（信息位 + 校验位）中 1 的个数为奇数；
• 偶校验：使整个码中 1 的个数为偶数。

例题 6#

信息位为$1011010$（7 位），分别求奇校验位和偶校验位。

数 1 的个数：1, 0, 1, 1, 0, 1, 0 → 共 4 个（偶数）。

• 奇校验：要凑成奇数，校验位取 1，整码$1011010\,\mathbf{1}$⁠，共 5 个 1；
• 偶校验：已经是偶数，校验位取 0，整码$1011010\,\mathbf{0}$⁠。

再看 4 位信息$1101$⁠：有 3 个 1（奇数），奇校验位取 0，偶校验位取 1。

图 3：奇校验传输示意。发送 1101 配校验位 0；途中一位被干扰翻转，接收端数出偶数个 1，判定出错（动画循环播放）。

检错能力#

• 能发现1 位错误（更一般地，奇数个位同时出错都能发现）；
• 2 位同时出错就发现不了（1 的个数奇偶性没变）；
• 只能"检错"，不能纠错——它只知道错了，不知道错在哪一位。

它的优点是简单：只多一位，电路也只需要几个异或门。

用异或门产生校验位（2026 真题的伏笔）#

异或有个妙用：多个位连续异或，结果为 1 当且仅当其中 1 的个数为奇数。比如$1\oplus1\oplus0\oplus1=1$（3 个 1，奇数）。

所以对 4 位数据$b_3b_2b_1b_0$⁠：

$$b_3\oplus b_2\oplus b_1\oplus b_0=\begin{cases}1 & \text{有奇数个 }1\\ 0 & \text{有偶数个 }1\end{cases}$$

• 偶校验位$P_{\text{偶}}=b_3\oplus b_2\oplus b_1\oplus b_0$（数据有奇数个 1 时补 1，凑成偶数）；
• 奇校验位$P_{\text{奇}}=\overline{b_3\oplus b_2\oplus b_1\oplus b_0}$（就是上式取反）。

2026 回忆题第 6 题："设计 4 位奇校验器：4 位中有奇数个 1 输出 1，否则输出 0，用异或门实现。" 注意题目自己定义了输出：奇数个 1 输出 1——这正好就是上面那个 4 位连续异或。怎样画真值表、写表达式、画出用异或门搭的电路，在学完异或门（第 02 讲（上））和组合电路设计（第 08 讲）后会完整地做一遍。现在你只要记住："数 1 的个数是奇是偶"这类问题，第一反应就是异或。

易错点 ⚠️#

• 奇校验是让"包括校验位在内"的 1 的总数为奇数，不是让信息位的 1 为奇数。
• "奇校验位"和"检测到奇数个 1 输出 1"是两回事：前者是让整体凑成奇数的那一位，后者是一个检测电路的输出。做题时以题目的文字定义为准。

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十、ASCII 码#

是什么#

ASCII（美国信息交换标准代码）用 7 位二进制（⁠$b_7b_6b_5b_4b_3b_2b_1$⁠）表示 128 个字符：数字 0–9、大小写英文字母、标点符号和一些控制字符（如回车、换行）。计算机键盘上每个键基本都有对应的 ASCII 码。

几个要记住的"锚点"#

记住这几个就能推出其他：比如 '7' = 30H + 7 = 37H = 011 0111；'M' 是第 13 个字母，41H + 12 = 4DH = 100 1101。大小写之间正好差 20H（只差$b_6$这一位）。

例题 7#

写出字符串 "Hi!" 的 ASCII 码。

• 'H' = 48H = 100 1000；
• 'i' = 69H = 110 1001；
• '!' = 21H = 010 0001。

所以 "Hi!" = 1001000 1101001 0100001。

实际传输时，常在 7 位 ASCII 码前面再加 1 位奇偶校验位凑成 8 位（一个字节），这就把上一节的校验码用上了。

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速记卡#

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自测练习#

1. 用 8 位（含符号位）写出$-37$的原码、反码和补码。

答案与提示

$37=0100101$（7 位）。原码$10100101$⁠；反码$11011010$（符号位不变，数值位取反）；补码$11011011$（反码加 1）。

2. 8 位补码$11101100$表示的十进制数是多少？

答案与提示

符号位 1，负数。方法一：数值位$1101100$取反$0010011$⁠，加 1 得$0010100=20$⁠，所以是$-20$⁠。

方法二：$-128+64+32+8+4=-20$⁠。

3. 用 8 位补码计算$19-27$⁠，写出过程。

答案与提示

$+19=00010011$⁠，$-27=11100101$⁠。

$00010011+11100101=11111000$⁠，无进位。

符号位 1，数值位$1111000$取反加 1 得$0001000=8$⁠，结果$-8$ ✓。

4. 用 8 位补码计算$(-64)+(-70)$⁠，结果正确吗？为什么？

答案与提示

$-64=11000000$⁠，$-70=10111010$⁠。相加得$\mathbf{1}\,01111010$⁠，丢进位后为$01111010=+122$⁠。

两个负数相加得正数，溢出了。因为真实结果$-134$小于 8 位补码的下限$-128$⁠。需要用 9 位或更多位重新计算。

5. 把十进制数 409 分别写成 8421BCD 码和余 3 码。

答案与提示

8421BCD：$0100\ 0000\ 1001$⁠。

余 3 码：每位加 3，4+3=7 → 0111，0+3=3 → 0011，9+3=12 → 1100，即$0111\ 0011\ 1100$⁠。

6. (1) 把二进制$0111$转为格雷码；(2) 把格雷码$1111$转为二进制。

答案与提示

(1) $G_3=0$⁠，$G_2=0\oplus1=1$⁠，$G_1=1\oplus1=0$⁠，$G_0=1\oplus1=0$⁠，得$0100$（表中序号 7 ✓）。

(2) $B_3=1$⁠，$B_2=1\oplus1=0$⁠，$B_1=0\oplus1=1$⁠，$B_0=1\oplus1=0$⁠，得$1010$（即 10，表中序号 10 的格雷码是 1111 ✓）。

7. 信息位为$1100$⁠，求奇校验位；若接收端收到$1110\,1$（最后一位为校验位），按奇校验判断是否出错。

答案与提示

$1100$有 2 个 1（偶数），奇校验位取 1，发送$1100\,1$⁠。

收到$1110\,1$⁠：1 的个数为 4（偶数），不满足奇校验，判定出错（实际是第 3 位被翻转了，但校验码本身指不出是哪一位）。

8.（华师风格）某电路输入 4 位二进制数$b_3b_2b_1b_0$⁠，当其中有奇数个 1 时输出$Y=1$⁠，否则$Y=0$⁠。(1) 输入$1011$⁠、$0110$时$Y$各为多少？(2) 用异或运算写出$Y$的表达式。

答案与提示

(1) $1011$有 3 个 1，$Y=1$⁠；$0110$有 2 个 1，$Y=0$⁠。

(2) $Y=b_3\oplus b_2\oplus b_1\oplus b_0$⁠。验证：$1\oplus0\oplus1\oplus1=1$ ✓，$0\oplus1\oplus1\oplus0=0$ ✓。

这就是 2026 回忆题第 6 题的核心表达式，完整的设计步骤（真值表 → 表达式 → 用 3 个两输入异或门级联实现）见第 08 讲。

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下一讲预告#

第 02 讲（上）：进入逻辑代数——与、或、非三种基本运算，以及与非、或非、与或非、异或、同或这些复合逻辑，配逻辑门符号对照图。

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