考研数电·零基础讲义 第02讲（上）｜逻辑代数的三种基本运算与复合逻辑

考研数电·零基础讲义 · 第 02 讲（上）｜逻辑代数的三种基本运算与复合逻辑 学完本讲，你能说清与、或、非三种基本逻辑，认识与非、或非、与或非、异或、同或五种复合逻辑，会画它们的门符号、写真值表、算表达式的值和画输出波形。预计用时：2 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：什么是"逻辑变量"和"逻辑运算"；与、或、非的含义、真值表、表达式和门符号；五种复合逻辑；运算优先级；根据输入波形画输出波形。
• 为什么重要：后面所有电路——编码器、译码器、触发器、计数器——拆开来看都是这几种门搭起来的。门符号就是数字电路的"汉字"，认不全就看不懂电路图。
• 华师怎么考：考纲"逻辑运算和逻辑函数的化简"的第一步。2026 回忆题第 6 题要求"用异或门实现"4 位奇校验器，异或门的性质本讲会讲透；第 5 题用 74HC151 实现函数、第 7 题时序电路分析，都要求你能看懂并写出门电路的表达式。
• 教材对应：阎石第六版 第 2 章 2.1 节（概述）、2.2 节（逻辑代数中的三种基本运算）。

前置知识#

• 二进制只有 0 和 1（见第 01 讲（上））；
• 知道"异或"可以用来判断 1 的个数是奇是偶（第 01 讲（下）提前用过，本讲正式讲）。

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一、逻辑代数是什么#

大白话#

生活中很多事情只有两种结果：灯亮/灭、门开/关、考试过/不过、按钮按下/松开。如果我们用 1 和 0 来代表这两种状态，就能用"算式"来描述"在什么条件下会发生什么结果"。

比如："只有钥匙插上并且踩下刹车，汽车才能启动"——这句话里有条件（钥匙、刹车）和结果（启动），它们之间的因果关系就是一种"逻辑"。

正式说法#

• 逻辑变量：只能取 0 或 1 两个值的变量，常用大写字母$A,B,C,\dots$表示。注意：这里的 0 和 1 不表示数量大小，只表示两种对立的状态（真/假、高/低、通/断）。
• 逻辑运算：按某种因果关系，由输入变量的状态推出输出状态的运算。
• 逻辑代数：研究逻辑运算规律的数学工具，由英国数学家乔治·布尔（George Boole）在 1849 年提出，所以也叫布尔代数；因为后来大量用在开关电路里，又叫开关代数。

正逻辑约定#

在电路里，通常规定高电平 = 1，低电平 = 0，这叫正逻辑；反过来叫负逻辑。本系列如不特别说明，一律用正逻辑。

易错点 ⚠️#

• 逻辑代数里的 "+" 不是加法，"·" 不是乘法。比如逻辑运算$1+1=1$⁠，而不是 2。看到 "+" 要读成"或"。

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二、三种基本运算：与、或、非#

所有复杂的逻辑，最后都能拆成三种最基本的运算：与（AND）、或（OR）、非（NOT）。先用一个电路模型把它们看明白。

图 1：用开关和灯理解三种基本逻辑。1 表示开关合上、灯亮（动画依次切换 A、B 的四种状态）。

1. 与运算（AND）#

大白话：所有条件同时满足，结果才发生。像图 1 左边，两个开关串联在一条线上，必须 A 和 B 都合上，电流才能通过，灯才亮。生活中"刷卡并且刷脸才能进门"就是与。

表达式：

$$Y=A\cdot B\quad\text{或简写为}\quad Y=AB$$

读作"Y 等于 A 与 B"。"·"可以省略，就像普通代数里乘号可以省略。所以与运算也叫逻辑乘。

真值表（把输入的所有可能组合和对应输出全部列出来的表）：

记忆口诀："有 0 出 0，全 1 出 1"。

2. 或运算（OR）#

大白话：只要有一个条件满足，结果就发生。图 1 中间两个开关并联，A 或 B 任何一个合上（或者两个都合上），灯都亮。生活中"用钥匙或者密码都能开门"就是或。

表达式：

$$Y=A+B$$

读作"Y 等于 A 或 B"，也叫逻辑加。

真值表：

记忆口诀："有 1 出 1，全 0 出 0"。

注意最后一行：$1+1=1$⁠。两个开关都合上，灯还是亮（不会"更亮"），逻辑值只有 0 和 1。

3. 非运算（NOT）#

大白话：结果和条件相反。图 1 右边，开关和灯并联：开关断开时电流流过灯，灯亮；开关合上时把灯"短路"了，电流绕过灯走，灯反而灭。生活中"没有下雨才去跑步"就是非。

表达式：

$$Y=\overline{A}$$

读作"Y 等于 A 非"或"A 反"。变量上面的横线就是"取反"的意思。

真值表：

$A$叫原变量，$\overline{A}$叫反变量。

关于"非"的写法：本系列统一用上划线$\overline{A}$⁠。阎石教材第六版用的是右上角一撇$A'$⁠，有的书和软件也写$\sim A$或$\neg A$⁠，意思完全一样。考试时用上划线最常见。

4. 门电路与图形符号#

能实现某种逻辑运算的电路叫门电路：实现与的叫与门，实现或的叫或门，实现非的叫非门（也叫反相器）。门电路内部怎么用晶体管搭，是第 05–07 讲的内容；现在只需要认识它们的"符号"。

门符号有两套常用画法：

• 特定外形符号：形状各不相同（与门像 D 字，或门像子弹头，非门是三角形加小圆圈），国外教材和 EDA 软件常用，阎石教材也用这一套；
• 国标矩形符号（GB/T 4728，与 IEC 标准一致）：一律画成方框，在框里写限定符号：与门写 &，或门写 ≥1，非门写 1。国内很多教材和考卷用这一套。

图 2：与门、或门、非门的两套图形符号。

怎么读符号：

• 左边的线是输入端，右边的线是输出端；
• 输出端的小圆圈表示"取反"（有的国标图里画成小三角，含义相同）；
• 矩形框里的 "&" 读作"与"；"≥1" 意思是"有大于等于 1 个输入为 1，输出就为 1"，正好就是或的定义；非门框里的 "1" 表示"只有 1 个输入"。

易错点 ⚠️#

• 与运算的口诀是"有 0 出 0"，或运算是"有 1 出 1"，别记反。
• 非门符号的小圆圈不能漏，没有小圆圈的三角形是"缓冲器"（输出等于输入），不是非门。

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三、五种复合逻辑#

实际问题往往比"与、或、非"复杂，但都能用它们组合起来。最常用的组合有五种，每种都有专门的门电路。

图 3：五种复合逻辑的表达式与两套门符号。

1. 与非（NAND）：先与，再非#

表达式：

$$Y=\overline{AB}$$

注意横线是一整条盖在$AB$上，表示"先算$AB$⁠，再对结果取反"。

真值表：把与的结果全部取反。

口诀："有 0 出 1，全 1 出 0"。

符号：与门输出端加小圆圈；国标是 & 框加小圆圈。

2. 或非（NOR）：先或，再非#

$$Y=\overline{A+B}$$

口诀："有 1 出 0，全 0 出 1"。

3. 与或非（AND-OR-INVERT）：先分组与，再或，最后非#

$$Y=\overline{AB+CD}$$

大白话：把输入分成两组（⁠$A,B$一组，$C,D$一组），每组内部先"与"，两组结果再"或"，最后整体取反。

怎么判断输出：只要有任何一组全是 1，括号里的$AB+CD$就是 1，输出$Y=0$⁠；只有每一组都不全为 1 时，输出才是 1。

举几个点：

4 个输入共 16 种组合，其中$Y=0$的是$AB=11$或$CD=11$的那 7 种（⁠$ABCD$ = 0011、0111、1011、1100、1101、1110、1111），其余 9 种$Y=1$⁠。

4. 异或（XOR）：不同为 1#

大白话：两个输入不一样时输出 1，一样时输出 0。想象楼梯上下各有一个开关控制同一盏灯：任何一个开关拨一下，灯的状态就翻转——这正是异或。

表达式：

$$Y=A\oplus B=A\overline{B}+\overline{A}B$$

$\oplus$读作"异或"（圆圈里一个加号）。右边的式子说的是："A 为 1 且 B 为 0，或者 A 为 0 且 B 为 1"，正好是"不同"。

口诀："相同出 0，相异出 1"。

符号：在或门的左边多加一条弧线；国标矩形框里写 =1，意思是"恰好有 1 个输入为 1 时输出为 1"（对两输入来说就是"不同"）。

5. 同或（XNOR）：相同为 1#

$$Y=A\odot B=AB+\overline{A}\,\overline{B}$$

$\odot$读作"同或"（圆圈里一个点）。右边的意思是"两个都为 1，或两个都为 0"，即"相同"。

口诀："相同出 1，相异出 0"。

符号：异或门输出端加小圆圈；国标矩形框写 =（也有画成 "=1" 加小圆圈的）。

对比两张真值表就能看出，异或和同或互为反运算：

$$A\odot B=\overline{A\oplus B},\qquad A\oplus B=\overline{A\odot B}$$

六种两输入逻辑一览（按输入 00、01、10、11 的顺序写输出）#

这张表非常好用：题目给你一张真值表让你认是什么门，按顺序读出输出列，对一下就知道了。

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四、异或的重要性质（2026 真题第 6 题要用）#

异或在考研里出镜率很高，它的几条性质要熟到不假思索。下面每条都可以把 0、1 代进去验证。

最重要的推论：多个变量连续异或，

$$A\oplus B\oplus C\oplus D=\begin{cases}1 & \text{其中有奇数个 }1\\0 & \text{其中有偶数个 }1\end{cases}$$

为什么？ 从 0 开始，每遇到一个 1 就"取反"一次（⁠$\oplus1$是取反），遇到 0 就不变（⁠$\oplus0$不变）。取反了奇数次，结果就是 1；偶数次，就回到 0。

这就是奇偶校验电路的原理。2026 回忆题第 6 题"4 位中有奇数个 1 输出 1"，输出就是$Y=A\oplus B\oplus C\oplus D$⁠。用两输入异或门实现时，因为结合律，可以先算$A\oplus B$⁠，再和$C$异或，再和$D$异或，一共需要 3 个两输入异或门（⁠$n$个变量需要$n-1$个）。完整的设计步骤在第 08 讲做。

一个容易踩的坑：多变量同或#

两个变量时，同或是异或的反。但三个变量时：

$$A\odot B\odot C=A\oplus B\oplus C$$

它们反而相等！（四个变量时又变回相反。）原因是：每个$\odot$等于"$\oplus$再取反"，三个变量连着用了两次$\odot$⁠，取反两次就抵消了。可以把 8 种组合代进去自己验证一遍。所以不要想当然地认为"同或就是异或取反"在多变量时也成立。

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五、运算优先级与表达式求值#

规则#

和普通代数一样，逻辑运算也有先后顺序：

1. 括号最先；
2. 然后非（单个变量上的横线）；
3. 然后与；
4. 最后或。

一条长横线盖住的部分相当于带了一个括号：先把横线下面的整体算完，再取反。

例题 1：把一句话翻译成逻辑表达式#

某汽车规定：钥匙已插上（⁠$K=1$⁠）并且踩下刹车（⁠$S=1$⁠），并且档位在 P 档（⁠$P=1$⁠）或 N 档（⁠$N=1$⁠）时，按下启动键才能点火（⁠$Y=1$⁠）。写出$Y$的表达式，并判断两种情况能否点火：(1) $K=1,S=1,P=0,N=1$⁠；(2) $K=1,S=0,P=1,N=0$⁠。

第 1 步：找关键词。"并且"对应与，"或"对应或。

第 2 步：注意分组。"P 档或 N 档"是一个整体条件，它要和前面两个条件"与"起来，所以要加括号：

$$Y=K\cdot S\cdot(P+N)$$

第 3 步：代值。

• (1) $P+N=0+1=1$⁠，$Y=1\cdot1\cdot1=1$⁠，能点火；
• (2) $S=0$⁠，与运算"有 0 出 0"，$Y=0$⁠，不能点火。

如果漏写括号写成$KSP+N$⁠，意思就变成"（钥匙且刹车且 P 档）或者 N 档"——只要挂 N 档不插钥匙也能点火，显然不对。文字翻译成表达式时，括号决定了含义。

例题 2#

已知$Y=\overline{AB}+C$⁠，求$A=1,B=1,C=0$和$A=1,B=1,C=1$时$Y$的值。

第一组（⁠$A=1,B=1,C=0$⁠）：

1. 先算长横线下面：$AB=1\cdot1=1$⁠；
2. 取反：$\overline{AB}=\overline{1}=0$⁠；
3. 最后或：$Y=0+0=0$⁠。

第二组（⁠$C=1$⁠）：$\overline{AB}=0$⁠，$Y=0+1=1$⁠。

例题 3#

已知$Y=\overline{A}B+A\overline{C}$⁠，列出完整真值表。

3 个变量，共$2^3=8$种组合。按$ABC$从 000 数到 111 逐行算，中间结果也写出来，不容易错：

列真值表的好习惯：输入按二进制顺序从 000 排到 111（这样既不重复也不遗漏）；复杂一点的式子，先把每个"乘积项"单独算一列，最后再"或"起来。

易错点 ⚠️#

• $A+BC$是"$A$或（⁠$B$与$C$⁠）"，不是"（⁠$A$或$B$⁠）与$C$"。例如$A=1,B=0,C=0$时，$A+BC=1$⁠，而$(A+B)C=0$⁠。
• $\overline{AB}$（一条长横线）和$\overline{A}\,\overline{B}$（两条短横线）完全不同。$A=1,B=0$时，$\overline{AB}=\overline{0}=1$⁠，而$\overline{A}\,\overline{B}=0\cdot1=0$⁠。两者的关系要用下一讲的德·摩根定理来转换。

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六、根据输入波形画输出波形#

大白话#

真实电路里，输入信号是随时间变化的高低电平，画出来就是一条方波似的"波形"。门电路在每个时刻都按自己的真值表工作，所以把时间切成一段一段，每段读出输入的 0/1，查真值表得输出，再把输出连起来就是输出波形。

图 4：给定 A、B 的波形，逐段求与、或、异或的输出（红色扫描线动画循环播放）。

例题 4#

输入$A$⁠、$B$在 8 个时段的取值如下，画出$Y_1=AB$⁠、$Y_2=A+B$⁠、$Y_3=A\oplus B$的波形（即求每段的值）。

步骤：

1. 在所有输入发生跳变的时刻画竖虚线，把时间轴切成若干段（每一段里输入都不变）；
2. 每段读出$A$⁠、$B$⁠；
3. 按口诀求输出：与"有 0 出 0"，或"有 1 出 1"，异或"相异出 1"；
4. 把每段输出画成高（1）或低（0），相邻段之间用竖线连起来。

易错点 ⚠️#

• 一定要在任意一个输入跳变的地方都切开，漏切一处，那一段的输出就可能画错。
• 这里假设门电路没有延迟（理想情况）。实际门有传输延迟，会引起"竞争-冒险"，见第 12 讲。

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七、一点延伸：与非门可以"包打天下"#

只用与非门，就能搭出非、与、或三种基本运算：

• 非：把与非门两个输入接在一起，$\overline{A\cdot A}=\overline{A}$⁠；
• 与：与非之后再接一个与非门当非门，$\overline{\overline{AB}}=AB$⁠；
• 或：先把$A$⁠、$B$各自取反，再与非，$\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}=A+B$（这一步要用下一讲的德·摩根定理来证明）。

既然与、或、非都能搭，那么任何逻辑函数都能只用与非门实现。或非门也有同样的本领。所以与非门和或非门叫"通用门"，实际芯片中用得最多。后面第 04 讲（下）会专门讲怎么把表达式变成"全与非"的形式。

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速记卡#

• 优先级：括号 → 非 → 与 → 或；长横线相当于括号。
• 异或性质：$A\oplus0=A$⁠，$A\oplus1=\overline{A}$⁠，$A\oplus A=0$⁠；多变量异或 = 1 ⇔ 奇数个 1（奇偶校验，2026 第 6 题）。
• 两变量$A\odot B=\overline{A\oplus B}$⁠；但三变量$A\odot B\odot C=A\oplus B\oplus C$⁠。
• 两输入真值表输出列（00/01/10/11）：与 0001、或 0111、与非 1110、或非 1000、异或 0110、同或 1001。

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自测练习#

1. 列出$Y=A\overline{B}+\overline{A}B$的真值表，并说出它是哪种逻辑。

答案与提示

$A$	$B$	$A\overline{B}$	$\overline{A}B$	$Y$
0	0	0	0	0
0	1	0	1	1
1	0	1	0	1
1	1	0	0	0

输出列 0110，是异或：$Y=A\oplus B$⁠。

2. 已知$Y=\overline{A}B+A\overline{C}$⁠，求$ABC=011$⁠、$101$⁠、$100$时的$Y$⁠。

答案与提示

• 011：$\overline{A}B=1\cdot1=1$⁠，$Y=1$⁠；
• 101：$\overline{A}B=0$⁠，$A\overline{C}=1\cdot0=0$⁠，$Y=0$⁠；
• 100：$A\overline{C}=1\cdot1=1$⁠，$Y=1$⁠。

（和例题 3 的真值表对得上。）

3. 下面三张两输入真值表的输出列（按$AB$=00、01、10、11）分别是 1110、1001、1000，各是什么门？

答案与提示

1110 是与非，1001 是同或，1000 是或非。

4. 输入$A$依次为 1, 0, 1, 1, 0, 0，$B$依次为 0, 0, 1, 0, 1, 1。求与非、或非、同或三种门的输出序列。

答案与提示

• 与非（有 0 出 1）：1, 1, 0, 1, 1, 1；
• 或非（有 1 出 0）：0, 1, 0, 0, 0, 0；
• 同或（相同出 1）：0, 1, 1, 0, 0, 0。

5. 求$Y=A\oplus B\oplus C\oplus D$在$ABCD=1011$⁠、$1111$⁠、$0100$时的值。

答案与提示

数 1 的个数：1011 有 3 个（奇）→ $Y=1$⁠；1111 有 4 个（偶）→ $Y=0$⁠；0100 有 1 个（奇）→ $Y=1$⁠。

也可以逐步算：$1\oplus0=1$⁠，$1\oplus1=0$⁠，$0\oplus1=1$⁠。

6. 与或非门$Y=\overline{AB+CD}$⁠，求$ABCD=1111$和$0101$时的输出。

答案与提示

1111：$AB=1$⁠，$Y=0$⁠。0101：$AB=0$⁠，$CD=0$⁠，$Y=\overline{0}=1$⁠。

7.（华师风格）用两输入异或门实现"4 位输入$A,B,C,D$中有奇数个 1 时输出 1"，写出输出表达式，并说明至少需要几个两输入异或门、怎么连接。

答案与提示

$Y=A\oplus B\oplus C\oplus D$⁠。

利用结合律，可以连成$Y=(A\oplus B)\oplus(C\oplus D)$⁠：前两个门分别算$A\oplus B$和$C\oplus D$⁠，第三个门把两者再异或。也可以串成一条链$((A\oplus B)\oplus C)\oplus D$⁠。都需要 3 个两输入异或门。

（这正是 2026 回忆题第 6 题的核心，完整设计步骤见第 08 讲。）

8. 楼梯上下各有一个开关$A$⁠、$B$控制同一盏灯$Y$⁠。约定开关拨上为 1，灯亮为 1，且$A=B=0$时灯灭；任意拨动一个开关，灯的状态都要改变。写出真值表和$Y$的表达式。

答案与提示

从 00（灭）出发：拨一个开关变成 01 或 10，灯要亮；再拨另一个变成 11，灯又要灭。

$A$	$B$	$Y$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

$Y=A\oplus B=A\overline{B}+\overline{A}B$⁠。（如果约定$A=B=0$时灯亮，就变成同或。）

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下一讲预告#

第 02 讲（下）：逻辑代数的基本公式、常用公式（吸收律、冗余项定理等）和三个基本定理（代入、反演、对偶），它们是后面化简逻辑函数的全部"武器"。

👉 点击进入下一讲：第02讲（下）｜逻辑代数的公式与三个基本定理