考研模电·零基础讲义 第15讲（下）｜LC 振荡电路与石英晶体振荡

考研模电·零基础讲义 · 第 15 讲（下）｜LC 振荡电路与石英晶体振荡 学完这一讲，你能算 LC 并联谐振回路的谐振频率和品质因数，会用"同名端"判断变压器反馈式振荡器、用"射同基反"判断三点式振荡器能否振荡，会算电感三点式、电容三点式的振荡频率，并说清石英晶体为什么频率最稳、在电路里起什么作用。预计用时 2.5 小时。

本讲地图#

• LC 并联谐振回路：$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$⁠；谐振时阻抗最大且为纯电阻$Z_0=\frac{L}{RC}$⁠；$Q=\frac{\omega_0L}{R}$越大选频越尖锐。
• 变压器反馈式：用同名端判断正反馈。
• 三点式：电感三点式$f_0\approx\frac{1}{2\pi\sqrt{(L_1+L_2+2M)C}}$⁠，电容三点式$f_0\approx\frac{1}{2\pi\sqrt{L\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}}}$⁠；判断口诀"射同基反"。
• 石英晶体：两个谐振频率$f_s$⁠、$f_p$⁠，靠得极近；$f_s\sim f_p$之间呈感性。并联型晶振中晶体当电感用，串联型中晶体在$f_s$处当一根"导线"用。频率稳定度：石英 > LC > RC。
• 华师怎么考：考纲"正弦波振荡电路"。最常见的是判断能否振荡（画交流通路、标瞬时极性）和求振荡频率。
• 教材对应：第 10 章 10.7 节。
• 重要度：⭐⭐⭐ 必考核心 / ⭐⭐ 理解 / ⭐ 了解。最该练熟：三点式的判断与频率公式、LC 振荡电路的分析步骤；变压器反馈式起振条件的推导、晶体频率微调公式了解即可。

前置知识#

• 振荡的相位条件、幅值条件、起振条件，判断步骤四步法（见第 15 讲（上））。
• BJT 共射放大电路的反相作用（输入$+$ → 集电极$-$⁠），共基电路同相（见第 05 讲、第 07 讲）。
• 直流通路与交流通路的画法：电容对直流开路、对交流短路（见第 05 讲（上））。
• 瞬时极性法（见第 13 讲（二））。

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一、LC 并联谐振回路 ⭐⭐⭐#

1.1 大白话：秋千#

电感像"惯性"（电流不肯突变），电容像"弹簧"（储存电荷）。把它们并联，能量会在电容的电场和电感的磁场之间来回倒腾，就像荡秋千：只要每次在合适的时刻轻推一下，秋千就能一直荡。这个"天然的摆动频率"就是谐振频率。

为什么高频要用 LC？RC 振荡器要做到几 MHz，R、C 得非常小，难以实现；而 LC 回路在高频时 L、C 都是很容易做的值（几 μH、几百 pF）。所以 LC 振荡器主要用于 1 MHz 以上。

1.2 谐振频率与谐振阻抗#

LC 并联回路中 R 表示电感线圈的损耗电阻（通常$R\ll\omega L$⁠）。教材推得

$$Z\approx\frac{L/C}{R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}$$

三个结论：

1. 谐振频率：分母虚部为 0，即$\omega L=\frac{1}{\omega C}$⁠：

$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

2. 谐振时阻抗最大，且为纯电阻：

$$Z_0=\frac{L}{RC}=Q\omega_0L=\frac{Q}{\omega_0C}$$

3. 品质因数：

$$Q=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{\omega_0CR}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac LC}$$

一般几十到几百。$Q$越大，损耗越小，谐振曲线越尖，选频越好。

逐行拆解：

• $L$⁠：电感，单位 H（亨），常用 μH；$C$⁠：电容，常用 pF；$R$⁠：回路损耗电阻，单位 Ω。
• $Z_0$⁠：谐振阻抗，单位 Ω。用作放大管的集电极负载时，谐振频率处增益最大。
• 回路电流是输入电流的$Q$倍：谐振时$|\dot I_C|\approx|\dot I_L|=Q|\dot I_s|$⁠。$Q\gg1$时外电路电流可以忽略，回路两端近似纯电阻——这是后面分析三点式"两端点相位"的依据。
• 偏离谐振：$f<f_0$时感抗小，并联后呈感性**（阻抗角为正）；$f>f_0$时容抗小，呈容性**（阻抗角为负）。

图 1：按$\frac{Z}{Z_0}=\frac{1}{1+jQ\left(\frac{f}{f_0}-\frac{f_0}{f}\right)}$计算的 LC 并联回路频率响应：Q 越大越尖锐；谐振点相角为 0

1.3 例题 1#

题：LC 并联回路$L=10\,\mu\text{H}$⁠，$C=470\,\text{pF}$⁠，线圈损耗电阻$R=2\,\Omega$⁠。求$f_0$⁠、$Q$⁠、$Z_0$⁠；若用 1 mA 的电流源激励，谐振时回路两端电压和电容电流各多大？

解：

1. $\sqrt{LC}=\sqrt{10\times10^{-6}\times470\times10^{-12}}\approx6.856\times10^{-8}\,\text{s}$⁠，

$$f_0=\frac{1}{2\pi\times6.856\times10^{-8}}\approx2.32\,\text{MHz}$$

2. $\omega_0L=2\pi\times2.3215\times10^6\times10\times10^{-6}\approx145.9\,\Omega$⁠，$Q=\frac{145.9}{2}\approx72.9$⁠。
3. $Z_0=\frac{L}{RC}=\frac{10\times10^{-6}}{2\times470\times10^{-12}}\approx10.6\,\text{k}\Omega$（⁠$=Q\omega_0L$ ✓）。
4. $V_o=I_sZ_0=1\,\text{mA}\times10.6\,\text{k}\Omega\approx10.6\,\text{V}$⁠；$I_C=QI_s\approx72.9\,\text{mA}$——回路内部电流是外部的约 73 倍。

（用精确阻抗公式数值扫描，最大值也是 10.6 kΩ，出现在 2.3215 MHz。）

1.4 易错点 ⚠️#

• 公式里是$\sqrt{LC}$⁠，别忘了开方；RC 振荡器是$\frac{1}{2\pi RC}$没有根号，两者别混。
• pF、μH 换算：$1\,\text{pF}=10^{-12}\,\text{F}$⁠，$1\,\mu\text{H}=10^{-6}\,\text{H}$⁠。

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二、LC 选频放大与变压器反馈式振荡电路 ⭐⭐#

2.1 选频放大电路#

把 LC 并联回路作为共射放大电路的集电极负载：只有$f_0$附近，负载阻抗最大（⁠$Z_0$⁠）、增益最大，且负载为纯电阻、共射电路相移正好$180^\circ$⁠。这就是选频放大电路，LC 振荡器的基础。

2.2 变压器反馈式：用同名端判断#

在选频放大的基础上，用变压器的一个次级线圈把集电极回路的信号"耦合"回基极（或 FET 的栅极），就构成变压器反馈式 LC 振荡电路。

同名端：变压器两个线圈上标"·"的端子，瞬时极性相同。

判断步骤（以共射电路为例）：

1. 断开反馈，在基极加$(+)$⁠；
2. 共射电路，集电极（回路一端）为$(-)$⁠；回路另一端接电源（交流地）；
3. 按同名端找出反馈线圈送回基极那一端的极性；
4. 若回到基极是$(+)$ → 正反馈，满足相位条件。

振荡频率：

$$f_0\approx\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

教材以 JFET 电路推导了严格的起振条件$g_m>\frac{\mu RC}{\mu M-L}$（⁠$M$为互感，$\mu=g_mr_{ds}$⁠）和振荡频率$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\sqrt{1+\frac{R}{r_{ds}}}$⁠，$R\ll r_{ds}$时就是$\frac{1}{\sqrt{LC}}$⁠。推导了解即可，记住结论：频率由 LC 决定；起振要求跨导（⁠$\beta$⁠）足够大、互感$M$足够大。

例题 2：变压器反馈式振荡器回路$L=100\,\mu\text{H}$⁠，$C=1000\,\text{pF}$⁠，则$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-4}\times10^{-9}}}\approx503\,\text{kHz}$⁠。若发现不起振，最常见的原因是反馈线圈接反（同名端错），把它的两端对调即可。

2.3 振荡怎样稳定下来#

LC 振荡器的放大管工作在接近线性区，幅度变大后管子进入非线性区（甚至部分时间截止），平均增益下降，自动达到$|\dot A\dot F|=1$⁠。电流虽然不是正弦，但 LC 回路的选频作用把谐波滤掉，输出电压仍接近正弦。教材 JFET 电路中$R_g$⁠、$C_g$还形成"自给偏压"：振荡越强，栅极负偏压越大，$g_m$越小，起到稳幅作用。

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三、三点式 LC 振荡电路 ⭐⭐⭐#

3.1 大白话#

不用变压器，直接把 LC 回路"抽出三个点"，分别接晶体管的三个电极——这就叫三点式。

• 电感分成两段（中间抽头）：电感三点式（哈特莱 Hartley）；
• 电容分成两个串联：电容三点式（考毕兹 Colpitts）。

图 2：两种三点式振荡电路的交流通路（发射极交流接地）。红色圆圈是瞬时极性：基极$\oplus$ → 集电极$\ominus$ → 经回路"翻转"回到基极为$\oplus$

3.2 相位条件的判断（以电感三点式为例）#

1. 断开反馈，在基极 b 加$(+)$⁠；
2. 共射电路倒相：集电极 c（回路的 1 端）为$(-)$⁠；
3. 发射极 e（中间抽头 2 端）交流接地。谐振时回路中电流远大于外电路电流，回路的 1 端与 3 端以 2 端为参考是反相的（像跷跷板，中间是支点）；
4. 所以 3 端（接基极）为$(+)$⁠，与原假设同相 → 正反馈 ✓。

电容三点式完全相同，只是"跷跷板"由两个电容组成。

3.3 "射同基反"口诀（考场神器）#

对 BJT 三点式振荡器（场效应管把 e、b、c 换成 s、g、d）：

与发射极相连的两个电抗元件必须同性质（同为电感或同为电容）；接在集电极与基极之间的电抗必须与它们性质相反。

为什么成立？要谐振，三个电抗之和为零：$X_{ce}+X_{be}+X_{cb}=0$⁠；回路电流$I$在$X_{ce}$和$X_{be}$上产生的电压（以 e 为参考）分别为$jIX_{ce}$和$-jIX_{be}$（一个从 e 到 c，一个从 e 到 b，方向相反）。共射电路要求$v_b$与$v_c$反相，所以$X_{ce}$与$X_{be}$同号（同性质），而$X_{cb}=-(X_{ce}+X_{be})$必然异号。

⚠️ 口诀以"发射极"为中心，不管电路画成共射还是共基，只要找准哪个点是发射极即可。

3.4 电感三点式（哈特莱）#

$$f_0\approx\frac{1}{2\pi\sqrt{(L_1+L_2+2M)C}}$$

• $M$是$L_1$⁠、$L_2$之间的互感（同一个线圈抽头，互感不可忽略）；
• 反馈电压取自$L_2$⁠，增大$L_2$（或减小$L_1$⁠）有利于起振；
• 优点：容易起振，改变 C 就能调频率，频率范围数百 kHz 到数十 MHz；
• 缺点：反馈取自电感，电感对高次谐波阻抗大，反馈中谐波多，输出波形较差。

例题 3：$L_1=20\,\mu\text{H}$⁠，$L_2=5\,\mu\text{H}$⁠，$M=2\,\mu\text{H}$⁠，$C=200\,\text{pF}$⁠。

$$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{(20+5+4)\times10^{-6}\times200\times10^{-12}}}\approx2.09\,\text{MHz}$$

⚠️ 别漏了$2M$⁠；题目说"忽略互感"时才写$L_1+L_2$⁠。

3.5 电容三点式（考毕兹）#

$$f_0\approx\frac{1}{2\pi\sqrt{L\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}}}$$

• $\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$是$C_1$⁠、$C_2$ 串联后的总电容（回路中两个电容是串联的）；
• 反馈电压取自$C_2$（b–e 之间），反馈系数$F\approx\frac{C_1}{C_2}$（容抗与电容成反比）；
• 优点：电容对高次谐波阻抗小，谐波被滤掉，输出波形好；频率可做得很高（可到 100 MHz 以上）；
• 缺点：调频率要同时改$C_1$⁠、$C_2$⁠，不方便；实际常在 L 两端并一个小可调电容微调。晶体管的极间电容并在$C_1$⁠、$C_2$上，会影响频率稳定。

例题 4：$L=50\,\mu\text{H}$⁠，$C_1=200\,\text{pF}$（c–e），$C_2=1000\,\text{pF}$（b–e）。

1. 串联电容$C=\frac{200\times1000}{200+1000}\approx166.7\,\text{pF}$⁠；
2. $f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{50\times10^{-6}\times166.7\times10^{-12}}}\approx1.74\,\text{MHz}$⁠；
3. 反馈系数$F\approx\frac{C_1}{C_2}=0.2$⁠，起振要求放大倍数大于约 5（实际还要考虑负载，取$\beta$为几十的管子即可）。

改进型（克拉泼电路）⭐：在 L 支路中再串一个很小的电容$C_3$（⁠$C_3\ll C_1,C_2$⁠），总电容$\frac{1}{\frac1{C_1}+\frac1{C_2}+\frac1{C_3}}\approx C_3$⁠，频率主要由 L 和$C_3$决定，晶体管极间电容的影响大大减小，频率更稳。例：上题再串$C_3=50\,\text{pF}$⁠，总电容约 38.5 pF，$f_0\approx3.63\,\text{MHz}$（只按$C_3$估算约 3.18 MHz，$C_3$越小越接近）。这是了解内容。

3.6 判断 LC 振荡电路能否振荡：答题模板 ⭐⭐⭐#

① 组成：有无放大、正反馈、选频（LC）、稳幅（靠管子非线性）。 ② 直流通路：画直流通路（电容开路、电感短路），检查静态工作点是否合适——典型错误有：电感把基极和集电极直流短接、基极没有偏置、发射极旁路电容缺失导致增益太小。 ③ 交流通路 + 相位：画交流通路（耦合/旁路电容短路，电源接地），判断组态，用瞬时极性法或"射同基反"判断是否正反馈。 ④ 幅值：一般$\beta$足够大即可，说明"适当选取$L_2/L_1$或$C_1/C_2$可满足起振"。 ⑤ 频率：写出$f_0$公式并代数。

例题 5（判断题）：一个电容三点式电路，回路的电感 L 两端直接接在基极和集电极之间，没有隔直电容，问能否振荡？

解：画直流通路——电感对直流短路，基极与集电极被 L 直接连通，$V_B=V_C$⁠，管子无法建立合适的静态工作点（集电结不能反偏，进入饱和），放大电路不能正常工作，不能振荡。改正：在 L 支路中串一个隔直电容（对振荡频率近似短路）。这正是教材图 10.7.8 中$C_{b1}$⁠、$C_{b2}$的作用；集电极再经高频扼流圈$L_c$接电源，它对直流短路、对高频开路（教材复习思考题 10.7.3 问"若$L_c$短接会怎样"：集电极交流接地，回路被短路，不能振荡）。

例题 6：交流通路中，c–e 之间接电容，b–e 之间接电感，c–b 之间接电容，能否振荡？

解：与发射极相连的两个元件一个是 C、一个是 L，不同性质，违反"射同"，不能振荡。

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四、石英晶体振荡电路 ⭐⭐#

4.1 为什么要石英晶体#

振荡频率的稳定度用$\frac{\Delta f}{f_0}$衡量。LC 振荡器的频率受 L、C 随温度变化、晶体管参数、负载变化影响，稳定度一般只有$10^{-4}$～$10^{-5}$⁠。电子表、电脑时钟、通信电台需要更稳的频率——用石英晶体，稳定度可达$10^{-9}$～$10^{-11}$⁠。

稳定的根本原因：$Q$极高。教材给出一个 4 MHz 晶体的典型参数：$L=100\,\text{mH}$⁠，$C=0.015\,\text{pF}$⁠，$C_0=5\,\text{pF}$⁠，$R=100\,\Omega$⁠，$Q$约 25000（一般$10^4$～$5\times10^5$⁠），比 LC 回路的几十到几百高出几个数量级。

4.2 压电效应与等效电路#

压电效应：在晶片两极加电场，晶片会变形；反过来给晶片施加机械力，又会产生电场。加交变电压时，晶片机械振动，振动又产生交变电场。当外加频率等于晶片的固有机械振动频率时，振幅最大——压电谐振。

等效电路：$C_0$是两极板间的静电电容（几 pF～几十 pF）；$L$⁠、$C$⁠、$R$串联支路分别模拟晶片的质量（惯性）、弹性和摩擦损耗。

4.3 两个谐振频率#

串联谐振（R、L、C 支路）：

$$f_s=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

此时晶体等效为很小的纯电阻 R。

并联谐振（⁠$f_s<f<f_p$时 RLC 支路呈感性，与$C_0$并联谐振）：

$$f_p=f_s\sqrt{1+\frac{C}{C_0}}$$

因为$C\ll C_0$⁠，$f_p$只比$f_s$高一点点。

图 3：石英晶体的符号、等效电路，以及按等效电路计算的电抗—频率曲线（为看清形状把$C/C_0$取大了）。只有在$f_s$与$f_p$之间的窄带内晶体呈感性

例题 7（用教材的典型参数）：

1. $f_s=\frac{1}{2\pi\sqrt{0.1\times0.015\times10^{-12}}}\approx4.109\,\text{MHz}$⁠；
2. $f_p=f_s\sqrt{1+\frac{0.015}{5}}=f_s\sqrt{1.003}\approx4.1155\,\text{MHz}$⁠，$f_p-f_s\approx6.2\,\text{kHz}$⁠，只差约 0.15%；
3. $Q=\frac{2\pi f_sL}{R}=\frac{2\pi\times4.109\times10^6\times0.1}{100}\approx2.58\times10^4$⁠。

电抗特性（考试常问"晶体呈什么性"）：

4.4 频率微调（⭐ 了解即可）#

晶体产品的标称频率一般是串联一个小电容$C_s$后校正的频率：

$$f_s'=f_s\sqrt{1+\frac{C}{C_0+C_s}}\approx f_s\left[1+\frac{C}{2(C_0+C_s)}\right]$$

$C_s\to0$时$f_s'\to f_p$⁠，$C_s\to\infty$时$f_s'\to f_s$⁠，所以调$C_s$能让频率在$f_s\sim f_p$的窄范围内微调。按教材参数取$C_s=3\,\text{pF}$⁠：$\Delta f=f_s\cdot\frac{0.015}{2\times8}\approx3.9\,\text{kHz}$（教材正文印作"约 4 Hz"，按公式计算应为约 4 kHz）。

4.5 两类晶体振荡器#

1. 并联型晶体振荡器（教材图 10.7.12）：晶体代替电容三点式中的电感 L，工作在$f_s\sim f_p$之间，晶体起电感作用。振荡频率主要由晶体与$C_s$决定，非常接近晶体的固有频率。判断时把晶体当电感，再用"射同基反"。
2. 串联型晶体振荡器：晶体串在正反馈支路中，只有在$f=f_s$时晶体阻抗最小（近似短路）、相移为零，正反馈最强，电路才满足振荡条件。晶体起（很小的）电阻作用，振荡频率$f_0=f_s$⁠。

教材复习思考题 10.7.5 的答案就是这两句话：并联型——电感；串联型——电阻（短路线）。

4.6 三种正弦波振荡器比较#

稳定度排序的根本原因：选频网络的$Q$值——RC 网络等效$Q$很低，LC 回路几十到几百，晶体上万。

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速记卡#

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自测练习#

1.（基础）LC 并联回路$L=100\,\mu\text{H}$⁠，$C=100\,\text{pF}$⁠，求谐振频率。

答案与提示

$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-4}\times10^{-10}}}=\frac{1}{2\pi\times10^{-7}}\approx1.59\,\text{MHz}$⁠。

2.（基础）石英晶体在并联型晶体振荡器中起什么作用？在串联型中呢？

答案与提示

并联型：工作在$f_s$与$f_p$之间，晶体呈感性，起电感作用；串联型：工作在$f_s$⁠，晶体阻抗最小且为纯阻性，相当于一根短路线（小电阻）。

3.（基础）电容三点式振荡电路$L=25\,\mu\text{H}$⁠，$C_1=C_2=400\,\text{pF}$⁠，求振荡频率。

答案与提示

串联电容$C=200\,\text{pF}$⁠，$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{25\times10^{-6}\times200\times10^{-12}}}\approx2.25\,\text{MHz}$⁠。

4.（中等）电感三点式$L_1=L_2=10\,\mu\text{H}$⁠，互感忽略，$C=100\,\text{pF}$⁠。求$f_0$⁠；若要把频率提高一倍，C 应改为多少？

答案与提示

$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{20\times10^{-6}\times100\times10^{-12}}}\approx3.56\,\text{MHz}$⁠。频率与$\sqrt C$成反比，频率提高一倍，C 变为原来的$\frac14$⁠，即 25 pF。

5.（中等）$L=10\,\mu\text{H}$⁠、$C=1\,\text{nF}$⁠、损耗电阻$R=5\,\Omega$的回路，求$f_0$和$Q$⁠。若 R 增大，选频特性怎样变化？

答案与提示

$f_0\approx1.59\,\text{MHz}$⁠；$Q=\frac1R\sqrt{\frac LC}=\frac15\sqrt{\frac{10^{-5}}{10^{-9}}}=\frac{100}{5}=20$⁠。R 增大，Q 减小，谐振曲线变宽变平，选频变差，频率稳定度下降。

6.（中等）下列交流通路能否振荡（发射极为交流地）？ (a) c–e：$C_1$⁠，b–e：$C_2$⁠，c–b：$L$⁠； (b) c–e：$L_1$⁠，b–e：$C$⁠，c–b：$L_2$⁠； (c) c–e：$L_1$⁠，b–e：$L_2$⁠，c–b：$C$⁠。

答案与提示

(a) 能（电容三点式）；(b) 不能（与 e 相连的是 L 和 C，不同性质）；(c) 能（电感三点式）。

7.（华师风格·分析题）一个电容三点式振荡电路：BJT 采用分压式偏置，发射极接$R_e$和旁路电容$C_e$⁠，集电极经高频扼流圈$L_c$接$V_{CC}$⁠，$C_1$⁠、$C_2$串联后与 L 构成回路，b 端经耦合电容接到$C_2$上端。(1) 说明$C_e$⁠、$L_c$⁠、耦合电容各起什么作用；(2) 用瞬时极性法说明满足相位条件；(3) 若$L=20\,\mu\text{H}$⁠，$C_1=300\,\text{pF}$⁠，$C_2=600\,\text{pF}$⁠，求$f_0$⁠；(4) 若$L_c$被短接会怎样？

答案与提示

(1) $C_e$⁠：交流旁路，使发射极交流接地、提高增益（直流仍有$R_e$稳定 Q 点）；$L_c$⁠：对直流短路给集电极供电，对高频开路，防止回路被电源"短路"；耦合电容：隔直，避免回路电感把基极、集电极直流短接，对振荡频率短路。 (2) 基极$(+)$ → 共射倒相，集电极$(-)$ → $C_1$⁠、$C_2$中点（e）交流接地，回路两端反相 → $C_2$上端（接 b）为$(+)$⁠，与假设同相，正反馈。 (3) $C=\frac{300\times600}{900}=200\,\text{pF}$⁠，$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{20\times10^{-6}\times200\times10^{-12}}}\approx2.52\,\text{MHz}$⁠。 (4) 集电极交流接地，选频回路两端被短路，没有反馈信号，不能振荡。

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下一讲预告#

第 16 讲（上）运放不再工作在线性区：电压比较器——单门限、滞回（迟滞）和窗口比较器，它们是产生方波、三角波的"开关"。

👉 点击进入下一讲：第16讲（上）｜电压比较器：单门限、滞回比较器、窗口比较器