考研模电·零基础讲义 第14讲（下）｜模拟乘法器及其应用

考研模电·零基础讲义 · 第 14 讲（下）｜模拟乘法器及其应用 学完这一讲，你能说清模拟乘法器"为什么能相乘"、四象限是什么意思，会用"乘法器 + 运放"搭平方、除法、开平方电路并写出输出表达式，还能用三角公式解释调幅、解调和鉴相。预计用时 2～2.5 小时。

本讲地图#

• 乘法器是什么：输出电压正比于两个输入电压的乘积，$v_O=Kv_Xv_Y$⁠。$K$叫增益系数（标定因子），单位是$\text{V}^{-1}$⁠。
• 它怎么做出来：差分放大电路的放大倍数正比于跨导$g_m$⁠，而$g_m$正比于尾电流——让一个输入电压控制尾电流，另一个电压去被放大，乘积就出来了（变跨导原理）。
• 运算应用：平方（倍频）、除法、开平方。核心套路：乘法器放在运放的反馈回路里，同时必须保证是负反馈。
• 信号处理应用：压控放大器、调幅（调制）、解调（检波）、鉴相，本质都是三角函数的积化和差。
• 华师怎么考：考纲原文"信号的运算和滤波：有源滤波器和模拟乘法器"。常见题型是写乘法器组合电路的输出表达式、说明输入电压的极性要求。
• 教材对应：第 7 章 7.7 节（7.7.1 原理、7.7.2 应用）。
• 重要度：⭐⭐⭐ 必考核心 / ⭐⭐ 理解 / ⭐ 了解。最该练熟的是第三节"乘法器 + 运放"的输出表达式和极性要求；吉尔伯特单元的 th 推导、集成芯片参数了解即可。

前置知识#

• 理想运放的虚短、虚断、虚地，反相比例电路的电流平衡（见第 12 讲（上））。
• 差分放大电路、差模电压、尾电流源（见第 11 讲（中））。
• BJT 跨导$g_m=\frac{I_{CQ}}{V_T}$的概念（见第 05 讲（下））。
• 负反馈的判断：瞬时极性法（见第 13 讲（二））。
• 三角公式：$\cos A\cos B=\frac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$⁠，$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$⁠。

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一、乘法器是什么 ⭐⭐⭐#

1.1 大白话：一个"按两个旋钮决定音量"的盒子#

普通放大器像一个音量旋钮固定的喇叭：输入大一倍，输出大一倍，放大倍数是常数。

乘法器则有两个输入：$v_X$是"声音"，$v_Y$是"音量旋钮"。旋钮拧到 2，声音放大 2 倍；拧到 0，声音没了；拧到负的，声音反相。这样输出就是"声音 × 旋钮"——两个电压的乘积。

1.2 符号与公式#

$$v_O=Kv_Xv_Y$$

• $v_X$⁠、$v_Y$⁠：两个输入电压，单位 V；
• $v_O$⁠：输出电压，单位 V；
• $K$⁠：增益系数（也叫标定因子、比例系数）。因为$v_Xv_Y$的单位是$\text{V}^2$⁠，要得到 V，$K$的单位只能是$\text{V}^{-1}$（"每伏"）。常见值$0.1\,\text{V}^{-1}$⁠。教材提到的集成乘法器 MLT04，$v_O=\frac{v_Xv_Y}{2.5\,\text{V}}$⁠，即$K=0.4\,\text{V}^{-1}$⁠；
• $K>0$叫同相乘法器，$K<0$叫反相乘法器。

图 1：(a) 乘法器符号；(b) 把乘法器接在反相运放的反馈回路里构成除法电路（本讲第三节详解）

1.3 象限：两个输入能不能取负#

把$v_X$当横轴、$v_Y$当纵轴，平面被分成四个象限。

• 四象限乘法器：$v_X$⁠、$v_Y$都可正可负，输出符号严格按"正正得正、正负得负、负负得正"；
• 二象限乘法器：只有一个输入可以正负，另一个只能是正（或只能是负）；
• 单象限：两个都只能是单一极性。

例题 1：$K=0.1\,\text{V}^{-1}$的四象限乘法器，$v_X=\pm2\,\text{V}$⁠、$v_Y=\pm1.5\,\text{V}$四种组合：

⚠️ 别忘了乘$K$⁠：$2\times1.5=3$⁠，再乘 0.1 才是 0.3 V。

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二、乘法器为什么能相乘：变跨导原理 ⭐⭐#

2.1 大白话#

回忆差分放大电路：两只 BJT 发射极接在一起，下面挂一个尾电流源。差模电压增益大约是$g_mR_c$⁠，而跨导$g_m$又正比于管子的电流。

所以：尾电流大，放大倍数就大；尾电流小，放大倍数就小。

现在不用固定的电流源，改用一个受$v_Y$控制的电流源：$v_Y$越大，尾电流越大，差分对对$v_X$的放大倍数越大。于是输出 ∝（⁠$v_Y$决定的增益）×$v_X$ ∝ $v_Xv_Y$⁠。因为是靠改变跨导实现的，所以叫变跨导式乘法器。

2.2 二象限变跨导乘法器（教材图 7.7.1）#

推导三步：

1. 差分对的输出：$v_{O1}=-g_mR_cv_X$⁠；
2. 跨导：每只管子分到一半尾电流，$i_{E1}=\frac{i_{EE}}{2}$⁠，$g_m=\frac{i_{E1}}{V_T}=\frac{i_{EE}}{2V_T}$⁠；
3. 尾电流受$v_Y$控制：$v_Y\gg V_{BE}$时$i_{EE}\approx\frac{v_Y}{R}$⁠。

代入得

$$v_{O1}=-\frac{R_c}{2RV_T}v_Xv_Y=-Kv_Xv_Y,\qquad K=\frac{R_c}{2RV_T}$$

逐项拆解：

• $V_T$⁠：热电压，室温约 26 mV；
• $R_c$⁠：集电极电阻；$R$⁠：把$v_Y$变成电流的电阻；
• 为什么是"二象限"？$v_Y$要产生尾电流，电流不能反向，所以 $v_Y$必须为正；而$v_X$是差模输入，可正可负。另外$v_Y$很小时$i_{EE}\approx\frac{v_Y}{R}$不准（还要扣掉$V_{BE}$⁠），所以精度差。

例题 2：$R_c=R=10\,\text{k}\Omega$⁠，$V_T=26\,\text{mV}$⁠。$K=\frac{10\,\text{k}}{2\times10\,\text{k}\times0.026\,\text{V}}\approx19.2\,\text{V}^{-1}$⁠。若$v_X=5\,\text{mV}$⁠、$v_Y=2\,\text{V}$⁠，$v_{O1}=-19.2\times0.005\times2\approx-0.192\,\text{V}$⁠。

2.3 四象限：双平衡（吉尔伯特）乘法器（⭐ 了解即可）#

为了让两个输入都能正负，教材图 7.7.2 用三对差分管（T1～T6）交叉连接。精确推导得到（⁠$\text{th}$是双曲正切函数$\tanh$⁠）：

$$v_{O1}=R_cI_{EE}\,\text{th}\frac{v_X}{2V_T}\,\text{th}\frac{v_Y}{2V_T}$$

当$|x|\ll1$时$\text{th}\,x\approx x$⁠，所以$v_X$⁠、$v_Y$都远小于$2V_T\approx52\,\text{mV}$时

$$v_{O1}\approx\frac{R_cI_{EE}}{4V_T^2}v_Xv_Y=Kv_Xv_Y,\qquad K=\frac{R_cI_{EE}}{4V_T^2}$$

图 2：按$\text{th}(v_X/2V_T)$算出的差分对传输特性（蓝）与线性近似（橙虚线）；只有在绿色小信号区两者才接近

例题 3（看线性范围）：$R_c=10\,\text{k}\Omega$⁠，$I_{EE}=1\,\text{mA}$⁠，$K=\frac{10^4\times10^{-3}}{4\times0.026^2}\approx3698\,\text{V}^{-1}$⁠。令$v_X=v_Y$⁠：

结论：基本的吉尔伯特单元只能处理几毫伏到十几毫伏的信号。实际集成乘法器（如 AD534、MLT04）在内部加了"预失真"等线性化电路，输入范围能扩大到几伏（MLT04 为 ±2.5 V）。

⚠️ 易错点：考试默认用理想乘法器 $v_O=Kv_Xv_Y$⁠，不需要考虑 th 的非线性；只有问"为什么只能小信号""为什么叫变跨导"时才用到这一节。

2.4 实际的集成乘法器长什么样（⭐ 了解即可）#

教材列举了 AD534、AD634、AD734、MLT04、超高频的 AD834 等型号。以 MLT04 为例（教材给出的参数）：

用于调制解调、载波频率较高时，教材提到常选用开关速度较高的 MC1596 型乘法器。

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三、运算电路：平方、除法、开平方 ⭐⭐⭐#

3.1 平方运算（以及倍频）#

两个输入接同一个信号：

$$v_O=Kv_I^2$$

例题 4：$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠，$v_I=2\sin\omega t\,\text{V}$⁠。

$$v_O=0.1\times4\sin^2\omega t=0.4\times\frac{1-\cos2\omega t}{2}=0.2-0.2\cos2\omega t\,\text{(V)}$$

输出 = 0.2 V 的直流 + 幅度 0.2 V、频率翻倍的交流。把直流用电容隔掉，就得到 2 倍频的正弦——这叫倍频。

多个乘法器串联可以做$n$次方：$v_{On}=K^{n-1}v_I^n$⁠。但串联超过 3 个误差累积太大，实际很少用。

3.2 除法运算#

大白话：运放的特点是"想尽办法让两个输入端电位相等"。把乘法器放进反馈回路，运放就会自动调节输出，使"乘法器的输出"去抵消"输入"——这就逼出了一个除法。

电路见图 1(b)：$v_{X1}$经$R_1$接反相端；运放输出$v_O$和另一个输入$v_{X2}$送入乘法器，乘法器输出$v_2=Kv_Ov_{X2}$经$R_2$回到反相端；同相端接地。

推导：

1. 虚地：反相端电位$v_N\approx0$⁠；虚断：流进运放的电流为 0。
2. 反相端 KCL：流过$R_1$的电流全部从$R_2$流走，

$$\frac{v_{X1}}{R_1}+\frac{v_2}{R_2}=0$$

3. 乘法器：$v_2=Kv_Ov_{X2}$⁠。代入：

$$v_O=-\frac{R_2}{KR_1}\cdot\frac{v_{X1}}{v_{X2}}$$

例题 5：$R_1=R_2=10\,\text{k}\Omega$⁠，$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠，$v_{X1}=0.5\,\text{V}$⁠，$v_{X2}=2\,\text{V}$⁠。

$$v_O=-\frac{10}{0.1\times10}\times\frac{0.5}{2}=-10\times0.25=-2.5\,\text{V}$$

验证：$v_2=Kv_Ov_{X2}=0.1\times(-2.5)\times2=-0.5\,\text{V}$⁠；$\frac{0.5}{10\,\text{k}}+\frac{-0.5}{10\,\text{k}}=0$⁠，KCL 成立 ✓。

极性要求（重要）：要让运放工作，反馈必须是负反馈。用瞬时极性看：设$v_O$升高，$v_2=Kv_Ov_{X2}$也要跟着把反相端"往上拉"，运放（反相端输入）才会把$v_O$往下压——这要求$Kv_{X2}>0$⁠。$K>0$时就是 $v_{X2}$必须为正。若$v_{X2}<0$⁠，就成了正反馈，输出直接撞到电源轨，电路失效。

从电流角度看也一样：$i_1=\frac{v_{X1}}{R_1}$和$i_2=\frac{v_2}{R_2}$必须一正一负才能"抵消"，即$v_{X1}$与$v_2$极性相反。

所以：$v_{X1}$可正可负，$v_{X2}$只能为正——二象限除法器。如果$v_{X2}$一定为负，可以在反馈回路里再串一个反相器。

3.3 开平方运算#

把除法电路里的乘法器换成平方电路（两个输入都接$v_O$⁠）：

1. 反相端 KCL（⁠$R_1=R_2=R$⁠）：$\frac{v_I}{R}+\frac{v_2}{R}=0\Rightarrow v_2=-v_I$⁠；
2. 乘法器：$v_2=Kv_O^2$⁠；
3. 所以$Kv_O^2=-v_I$⁠：

$$v_O=\sqrt{-\frac{v_I}{K}}$$

例题 6：$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠，$v_I=-0.4\,\text{V}$⁠，则$v_O=\sqrt{\frac{0.4}{0.1}}=2\,\text{V}$⁠。检验：$Kv_O^2=0.1\times4=0.4=-v_I$ ✓。

极性要求：$Kv_O^2$恒为正（⁠$K>0$⁠），所以$v_2$恒为正，要抵消它，$v_I$必须为负。若想对正电压开方，在乘法器输出后加一级反相器再送回去（或用$K<0$的反相乘法器）。

⚠️ 还有一个隐藏陷阱：$v_O$取正还是取负？方程$v_O^2=-v_I/K$有两个根，实际电路只稳定在使反馈为负的那个根上。按教材电路取正根即可，考试一般不深究。

同理，反馈回路里串两个乘法器（得到$K^2v_O^3$⁠）就能开立方。

3.4 答题模板（⭐⭐⭐）#

① 找结构：乘法器在运放的哪条支路？（反馈支路 → 反运算；输入支路 → 正运算） ② 列方程：反相端虚地、虚断，KCL：$\frac{\text{输入支路电压}}{R_1}+\frac{\text{乘法器输出}}{R_2}=0$⁠。 ③ 代乘法器关系：$v_2=Kv_Ov_{X2}$或$Kv_O^2$⁠…… ④ 解出$v_O$，写成最终表达式。 ⑤ 检查负反馈（瞬时极性法），写出输入的极性要求（如"$v_{X2}>0$""$v_I<0$"），并说明是几象限。

变式（乘法器在输入支路）：若乘法器接在输入侧，输出$Kv_{X}v_{Y}$经$R_1$进反相端，反馈只有$R_f$⁠，那就是普通反相比例：$v_O=-\frac{R_f}{R_1}Kv_Xv_Y$⁠，没有极性限制（四象限乘法器时）。所以先看乘法器"在哪儿"，是这类题的第一步。

3.5 一个统一的观点：放进反馈回路的运算会被"反过来"#

把除法和开方两个电路放在一起看，会发现同一个规律：

反相端虚地。输入支路把$v_I$变成电流$i_1$⁠，反馈支路必须产生一个等大反向的电流$i_2=-i_1$⁠。如果反馈支路里"由$v_O$产生电流"的关系是某个运算$h$⁠，那么运放会自动把$v_O$调到满足$h(v_O)=-i_1$的值——也就是对$h$做了反运算。

套到本讲：

所以记住一句话：想要某个运算的反运算，就把这个运算放进运放的反馈回路——前提是它构成负反馈。教材也强调："乘法器通常接在运放电路的反馈回路中，同时保证电路必须引入负反馈。"

3.6 例题：用乘法器测交流功率（⭐⭐）#

题：用电压互感器得到$v_X=V_m\cos\omega t$（正比于负载电压），用电流采样电阻$r$得到$v_Y=I_mr\cos(\omega t-\varphi)$（正比于负载电流）。乘法器后面接低通滤波器，能得到什么？

解：

$$Kv_Xv_Y=\frac{KV_mI_mr}{2}\left[\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi)\right]$$

低通滤波后只剩直流$\frac{KV_mI_mr}{2}\cos\varphi$⁠。负载的平均功率$P=\frac{V_mI_m}{2}\cos\varphi$（⁠$\cos\varphi$叫功率因数），所以输出直流正比于平均功率——这就是电子式功率表的原理。它和 5.4 节的鉴相器是同一个数学式，只是"读法"不同：一个读功率，一个读相位。

代数例：$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠，$V_m=2\,\text{V}$⁠，$I_mr=1\,\text{V}$⁠，$\varphi=60^\circ$⁠，直流输出$=\frac{0.1\times2\times1}{2}\times0.5=0.05\,\text{V}$⁠。

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四、压控放大器 ⭐⭐#

乘法器一个输入接直流控制电压$V_C$⁠，另一个接信号$v_s$⁠：

$$v_O=KV_Cv_s$$

相当于一个增益为$KV_C$⁠、可以用电压调节的放大器（VCA）。

例题 7：$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠，$V_C$从 2 V 调到 10 V，增益从 0.2 变到 1.0。

用途：自动增益控制（AGC）——收音机电台信号忽强忽弱，检测输出幅度去调$V_C$⁠，就能让音量基本稳定。

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五、调制、解调与鉴相 ⭐⭐#

5.1 大白话：为什么要"调制"#

声音信号只有几十 Hz 到几 kHz，直接用天线发射效率极低（天线要做到几十公里长）。办法是把声音"装"到一个高频信号上运出去：高频信号叫载波，像一辆卡车；声音叫调制信号，像货物。装货的过程叫调制，卸货叫解调。

5.2 调幅：乘法器一乘就行#

设调制信号$v_s=V_s\cos\omega_st$⁠，载波$v_c=V_c\cos\omega_ct$（⁠$\omega_c\gg\omega_s$⁠）。送进乘法器：

$$v_{O1}=KV_sV_c\cos\omega_st\cdot\cos\omega_ct=\frac{KV_sV_c}{2}\left[\cos(\omega_c+\omega_s)t+\cos(\omega_c-\omega_s)t\right]$$

逐项拆解：

• 第一种看法（时域）：$v_{O1}=\left(KV_c\cdot V_s\cos\omega_st\right)\cos\omega_ct$⁠，即"载波的振幅随声音变化"——调幅（AM）；
• 第二种看法（频域）：输出里没有原来的$\omega_s$⁠，也没有$\omega_c$⁠，只有两个新频率$\omega_c+\omega_s$（上边频）和$\omega_c-\omega_s$（下边频）。这种只含两个边频、不含载波的叫抑制载波双边带调幅；
• 再用带通滤波器滤掉一个边频，只剩一个，就是单边带调幅，例如只留下边频：$v_O=\frac{KV_sV_c}{2}\cos(\omega_c-\omega_s)t$⁠。

图 3：按$v_O=Kv_sv_c$实际计算的波形（为看清形状，第三行纵向放大了 5 倍）：输出的包络跟随调制信号（红色扫描线循环移动，动画循环播放）

例题 8：$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠，$V_s=1\,\text{V}$⁠、$f_s=1\,\text{kHz}$⁠，$V_c=2\,\text{V}$⁠、$f_c=100\,\text{kHz}$⁠。输出含哪些频率？幅度多大？

解：$\frac{KV_sV_c}{2}=\frac{0.1\times1\times2}{2}=0.1\,\text{V}$⁠。输出是两个幅度 0.1 V 的正弦，频率分别是$100+1=101\,\text{kHz}$和$100-1=99\,\text{kHz}$⁠。（用 FFT 对计算出的波形做频谱分析，确实只在 99 kHz 和 101 kHz 有 0.1 V 的峰。）

5.3 解调（相乘检波）#

把收到的单边带信号$v_1=V_1\cos(\omega_c-\omega_s)t$和本地产生的同频载波$V_c\cos\omega_ct$再乘一次：

$$v_{O2}=\frac{KV_cV_1}{2}\left[\cos\omega_st+\cos(2\omega_c-\omega_s)t\right]$$

$\omega_s$是我们要的声音，$2\omega_c-\omega_s$是很高的频率，后面接一个低通滤波器（第 14 讲（上））滤掉它，得到

$$v_O=\frac{KV_cV_1}{2}\cos\omega_st$$

接例题 8：$V_1=0.1\,\text{V}$（下边频），$V_c=2\,\text{V}$⁠，$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠，解调输出幅度$\frac{0.1\times2\times0.1}{2}=0.01\,\text{V}$⁠，频率 1 kHz；另一个分量在 199 kHz，被低通滤掉。

5.4 鉴相：两个同频信号相乘看相位差#

把两个同频正弦$V_1\cos\omega t$和$V_2\cos(\omega t-\varphi)$相乘：

$$v_O=\frac{KV_1V_2}{2}\left[\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi)\right]$$

经低通滤波后只剩直流$\frac{KV_1V_2}{2}\cos\varphi$⁠，它的大小反映相位差$\varphi$——这就是鉴相器，锁相环里的核心部件。

例题 9：$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠，$V_1=V_2=2\,\text{V}$⁠。$\varphi=0^\circ$时直流 0.2 V；$\varphi=60^\circ$时 0.1 V；$\varphi=90^\circ$时 0。

5.5 易错点 ⚠️#

• 两个余弦相乘，系数是$\frac12$⁠，别漏。
• 乘法器相乘后不含原来的频率，而是和频、差频——这是"非线性"的体现，普通放大器（线性电路）永远产生不了新频率。
• 解调必须用同频同相的本地载波，相位差$\varphi$会让输出乘上$\cos\varphi$（⁠$90^\circ$时什么都解不出来）。

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六、综合例题：把电路"拼"起来 ⭐⭐⭐#

题：手头有两个$K=0.1\,\text{V}^{-1}$的四象限乘法器、一个运放和若干 10 kΩ 电阻。

(1) 想对正电压$v_I$（0～1 V）开平方，教材的开方电路要求$v_I<0$⁠，怎么改？写出输出表达式。 (2) 若$v_I=0.9\,\text{V}$⁠，输出是多少？

解：

(1) 问题出在：$Kv_O^2>0$无法与正输入产生的电流抵消。办法有两个：

• 在乘法器输出与$R_2$之间串一个反相器（增益 −1），于是送回反相端的是$-Kv_O^2$⁠；
• 或把乘法器接成反相乘法器（⁠$K<0$⁠）。

以第一种为例：反相端 KCL $\frac{v_I}{R}+\frac{-Kv_O^2}{R}=0$⁠，得$Kv_O^2=v_I$⁠，

$$v_O=\sqrt{\frac{v_I}{K}}$$

但还要用瞬时极性法检查哪一个根是稳定的：

• 若$v_O>0$⁠：$v_O$升高 → $v_O^2$增大 → 反相器输出$-Kv_O^2$更负 → 反相端电位下降 → 运放输出上升 → $v_O$更高。这是正反馈，不能稳定。
• 若$v_O<0$⁠：$v_O$升高（向 0 靠近）→ $v_O^2$减小 → $-Kv_O^2$变得不那么负（上升）→ 反相端电位上升 → 运放输出下降，把$v_O$拉回去。这是负反馈，能稳定。

所以这个改法的输出是负的根：

$$v_O=-\sqrt{\frac{v_I}{K}}$$

(2) $v_O=-\sqrt{\frac{0.9}{0.1}}=-3\,\text{V}$⁠。若需要正的结果，后面再接一级反相器即可。

这道题告诉你：开方这类"平方在反馈里"的电路，输出取正根还是负根，由负反馈决定，不能想当然。判断方法就是瞬时极性法。

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速记卡#

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自测练习#

1.（基础）MLT04 的$K=0.4\,\text{V}^{-1}$⁠。$v_X=1.5\,\text{V}$⁠，$v_Y=-2\,\text{V}$⁠，输出是多少？

答案与提示

$v_O=0.4\times1.5\times(-2)=-1.2\,\text{V}$⁠。

2.（基础）为什么叫"变跨导式"乘法器？图 7.7.1 那种简单电路为什么只能做二象限乘法？

答案与提示

差分对的电压增益正比于跨导$g_m=\frac{i_{EE}}{2V_T}$⁠，而尾电流$i_{EE}$受$v_Y$控制，相当于用$v_Y$改变跨导，所以叫变跨导。$v_Y$要产生尾电流，电流方向不能反，所以$v_Y$只能为正；$v_X$是差模输入可正可负，故为二象限。

3.（中等）除法电路中$R_1=10\,\text{k}\Omega$⁠，$R_2=20\,\text{k}\Omega$⁠，$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠，$v_{X1}=-0.3\,\text{V}$⁠，$v_{X2}=1.5\,\text{V}$⁠。求$v_O$⁠。若$v_{X2}$换成$-1.5\,\text{V}$会怎样？

答案与提示

$v_O=-\frac{R_2}{KR_1}\cdot\frac{v_{X1}}{v_{X2}}=-\frac{20}{0.1\times10}\times\frac{-0.3}{1.5}=-20\times(-0.2)=4\,\text{V}$⁠。 若$v_{X2}<0$⁠，$Kv_{X2}<0$⁠，反馈变成正反馈，运放输出饱和，电路不能做除法（需要在反馈回路中再加反相器）。

4.（中等）开平方电路中$R_1=R_2$⁠，$K=0.25\,\text{V}^{-1}$⁠，$v_I=-1\,\text{V}$⁠。求$v_O$⁠。若$v_I=+1\,\text{V}$呢？

答案与提示

$v_O=\sqrt{-\frac{v_I}{K}}=\sqrt{\frac{1}{0.25}}=2\,\text{V}$⁠。$v_I>0$时$Kv_O^2$恒正，无法与正的输入电流抵消，负反馈条件破坏，电路不能工作。

5.（中等）平方电路$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠，输入$v_I=3\cos\omega t\,\text{V}$⁠。输出含哪些成分？

答案与提示

$v_O=0.1\times9\cos^2\omega t=0.9\times\frac{1+\cos2\omega t}{2}=0.45+0.45\cos2\omega t\,\text{(V)}$⁠：0.45 V 直流 + 幅度 0.45 V 的 2 倍频分量。

6.（中等）用两个$K=0.1\,\text{V}^{-1}$的乘法器串联做立方运算，$v_I=2\,\text{V}$⁠，输出是多少？

答案与提示

第一级$Kv_I^2=0.4\,\text{V}$⁠，第二级$K\times0.4\times2=0.08\,\text{V}$⁠；即$K^2v_I^3=0.01\times8=0.08\,\text{V}$⁠。

7.（华师风格·分析题）一个调幅系统：调制信号$v_s=0.5\cos(2\pi\times2000t)\,\text{V}$⁠，载波$v_c=4\cos(2\pi\times500\times10^3t)\,\text{V}$⁠，乘法器$K=0.1\,\text{V}^{-1}$⁠。(1) 写出输出表达式，指出包含的频率和幅度；(2) 要得到单边带（只留上边频），后面应接什么电路？中心频率大约多少？(3) 接收端怎样把 2 kHz 信号还原出来？

答案与提示

(1) $v_O=0.1\times0.5\times4\cos\omega_st\cos\omega_ct=0.1[\cos(\omega_c+\omega_s)t+\cos(\omega_c-\omega_s)t]$⁠，即 502 kHz 和 498 kHz 两个分量，幅度各 0.1 V。 (2) 接一个带通滤波器，中心频率约 502 kHz，通带要窄到能挡住 498 kHz。 (3) 把收到的信号与本地 500 kHz 同频同相载波再相乘，得到 2 kHz 与约 1 MHz 两个分量，再用低通滤波器滤掉高频，留下 2 kHz。

8.（略提高）在第六节的"加反相器"开方电路中，若希望直接得到正的平方根而不在输出端再加反相器，还可以怎么做？说明理由。

答案与提示

把输入换成负电压的处理方式：先用一个反相器把正的$v_I$变成$-v_I$⁠，再送入教材的开方电路（乘法器直接平方、不加反相器），此时反相端 KCL 为$\frac{-v_I}{R}+\frac{Kv_O^2}{R}=0$⁠，稳定的是正根$v_O=+\sqrt{v_I/K}$⁠。理由与 3.3 节相同：教材电路中$v_O>0$那一支是负反馈。总之，反相器加在输入侧还是反馈侧，决定了稳定在正根还是负根。

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下一讲预告#

第 15 讲（上）进入"波形的发生"：没有输入也能有输出——正弦波振荡的条件，以及最常考的 RC 桥式振荡电路。

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