考研模电·零基础讲义 第12讲（上）｜理想运放与“虚短、虚断”，同相/反相放大电路

考研模电·零基础讲义 · 第 12 讲（上）｜理想运放与"虚短、虚断"，同相/反相放大电路 学完这一讲，你能说清运放是什么、为什么能把它当"理想器件"，会用"虚短、虚断"两句话秒解同相放大、反相放大、电压跟随器，并能判断输出会不会"顶到电源"。预计用时 100 分钟。

本讲地图#

• 运放是什么：一个"放大两个输入端电压之差"的集成块，开环增益$A_{vo}$极大（⁠$10^{4}\sim10^{6}$甚至更高），输入电阻极大，输出电阻极小。
• 传输特性：线性区极窄（几十到一百多微伏），两侧是饱和区（输出顶到电源电压）。
• 理想运放与两条"万能钥匙"：虚短$v_{P}\approx v_{N}$⁠、虚断$i_{P}=i_{N}\approx 0$⁠；反相电路里还有"虚地"。
• 两个基本电路：同相放大$A_{v}=1+\dfrac{R_{2}}{R_{1}}$（⁠$R_{i}\to\infty$⁠）、反相放大$A_{v}=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}$（⁠$R_{i}=R_{1}$⁠），以及电压跟随器$A_{v}=1$⁠。
• 华师怎么考：考纲原文"集成运算放大器：理想运放组成的基本运算电路"。核心就是用虚短虚断列 KCL，求$v_{o}$的表达式或数值；本讲是下一讲（求和、求差、积分、微分）和第 13 讲（反馈）的地基。
• 教材对应：第 2 章 2.1～2.3 节（集成运放、理想运放、同相/反相放大电路）。

前置知识#

• 电压、电流、电阻、欧姆定律、KCL（节点电流定律）、分压公式：见第 01 讲（上）。
• 放大电路模型：电压增益$A_{v}$⁠、输入电阻$R_{i}$⁠、输出电阻$R_{o}$的含义：见第 01 讲（下）。
• 差分放大"放大两个输入之差"的思想：见第 11 讲（中）（没学也不影响本讲，本讲把运放当黑盒子用）。

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一、运放是什么 ⭐⭐#

1.1 大白话#

前面几讲我们用一只三极管、一只 MOS 管搭放大电路，要算静态工作点、画小信号模型、算$r_{be}$⁠……很累。集成运算放大器（简称运放）就是工厂把几十只管子（差分输入级 + 中间放大级 + 输出级 + 偏置电流源）做在一小块硅片上，封装成一个"黑盒子"。

这个黑盒子只干一件事：比较两个输入端的电压，把"差"放大很多很多倍。

打个比方：运放像一个极其敏感的天平。左右两个秤盘就是两个输入端，指针就是输出。两边只要差一根头发丝的重量，指针就"啪"地打到头。正因为它太敏感，单独用它几乎没法"放大"什么，必须配上外部电阻、让输出"回头管住"输入（这叫负反馈，第 13 讲细讲），它才能稳定、精确地工作。

"运算"两个字来自历史：早年它被用来在模拟计算机里做加、减、积分等数学运算。今天它是模拟电路里用得最多的器件。

1.2 电路符号与引脚#

图 1：运放的电路符号（左）与简化电路模型（右）

逐个认识：

⚠️ 注意："+""−"只是输入端的名字（同相、反相），不是说那个端子电压一定为正或为负。另外，每个端子的电压都是对地的电压。

1.3 运放的简化模型 ⭐（了解即可：内部结构见第 11 讲（下），考试只用理想模型）#

把运放看成第 01 讲（下）学过的"电压放大模型"：

• 输入端口：P、N 之间一个输入电阻 $r_{i}$（读作"r 下标 i"，小写 i 表示 input），通常$10^{6}\,\Omega$或更高；
• 输出端口：一个受控电压源 $A_{vo}(v_{P}-v_{N})$⁠，再串一个输出电阻 $r_{o}$⁠，通常$100\,\Omega$或更低；
• $A_{vo}$读作"A 下标 v o"，叫开环电压增益："开环"指运放外面没有任何反馈元件时的增益，至少$10^{4}$⁠，通常可达$10^{6}$⁠。

核心公式只有一行：

$$v_{O}=A_{vo}\,(v_{P}-v_{N})$$

• $v_{P}-v_{N}$⁠：两个输入端的电压差，叫差模输入电压（也常写$v_{id}$⁠，d 是 difference，差）；
• 运放只放大"差"：两端同时升高 1 V（差不变），理想情况下输出不变。

1.4 电压传输特性：线性区窄得可怜 ⭐⭐#

输出电压不可能超过电源电压（运放里的管子靠电源供电，"巧妇难为无米之炊"）。所以：

• 当$A_{vo}(v_{P}-v_{N})$落在$V_{-}$和$V_{+}$之间时，$v_{O}=A_{vo}(v_{P}-v_{N})$⁠，这叫线性区；
• 当$A_{vo}(v_{P}-v_{N})\geqslant V_{+}$时，$v_{O}=+V_{om}$（正饱和）；
• 当$A_{vo}(v_{P}-v_{N})\leqslant V_{-}$时，$v_{O}=-V_{om}$（负饱和）。

$V_{om}$读作"V 下标 o m"，是输出能达到的最大幅值（m 是 maximum）。教材理想化地取$+V_{om}=V_{+}$⁠、$-V_{om}=V_{-}$⁠；实际运放一般比电源低 1～2 V，题目会给。

图 2：运放的电压传输特性（按$A_{vo}=10^{5}$⁠、输出限幅 ±12 V 计算；橙点沿特性曲线来回移动，动画循环播放）

1.5 例题 1：线性区到底有多窄#

题：某运放$A_{vo}=10^{5}$⁠，输入电阻$r_{i}=2\,\text{M}\Omega$⁠，电源 ±12 V，输出最大 ±12 V。（1）运放工作在线性区时，$v_{P}-v_{N}$的范围是多少？此时输入电流最大多大？（2）若$v_{P}-v_{N}=1\,\text{mV}$⁠，输出是多少？

解：

（1）线性区的边界是输出刚好到 ±12 V：

$$|v_{P}-v_{N}|=\frac{V_{om}}{A_{vo}}=\frac{12\,\text{V}}{10^{5}}=1.2\times10^{-4}\,\text{V}=120\,\mu\text{V}$$

即$-120\,\mu\text{V}<v_{P}-v_{N}<+120\,\mu\text{V}$⁠。

此时流过$r_{i}$的电流最大为

$$i_{I}=\frac{v_{P}-v_{N}}{r_{i}}=\frac{120\times10^{-6}\,\text{V}}{2\times10^{6}\,\Omega}=6\times10^{-11}\,\text{A}=60\,\text{pA}$$

（1 pA = $10^{-12}$ A，皮安。）

（2）$A_{vo}(v_{P}-v_{N})=10^{5}\times10^{-3}\,\text{V}=100\,\text{V}$⁠，远超 12 V，所以输出饱和在$+12\,\text{V}$⁠。

结论：在线性区里，两个输入端的电压差只有一百多微伏、输入电流只有几十皮安——跟电路里其他动辄几百毫伏、几毫安的量比，几乎就是 0。这正是下一节"虚短、虚断"的来源。

1.6 易错点 ⚠️#

• 运放开环（不接反馈）时几乎只能工作在饱和区，因为一点点输入差就把它推到头。想让它稳定地工作在线性区，必须引入负反馈（输出端通过元件接回反相端 N）。
• 不要把"输出最大 ±12 V"和"增益"混为一谈：增益再大，输出也出不了电源范围。

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二、理想运放与"虚短、虚断" ⭐⭐⭐#

2.1 大白话#

既然实际运放的$A_{vo}$已经大到$10^{5}$⁠、$r_{i}$大到兆欧、$r_{o}$小到百欧以下，那么分析电路时干脆把它们当成无穷大或零，算出来的结果误差往往不到千分之一（例 2 会验证）。这样理想化后的运放叫理想运放。

2.2 理想运放的条件#

2.3 两条推论：虚短与虚断#

（1）虚短：在线性区，$v_{O}=A_{vo}(v_{P}-v_{N})$⁠，而$v_{O}$是有限值（出不了电源范围），$A_{vo}\to\infty$⁠，所以

$$v_{P}-v_{N}=\frac{v_{O}}{A_{vo}}\approx 0\quad\Longrightarrow\quad v_{P}\approx v_{N}$$

两个输入端的电位几乎相等，好像用导线短接了一样，但它们并没有真的连在一起——所以叫"虚短"（假的短路）。

（2）虚断：既然$v_{P}-v_{N}\approx 0$⁠，又$r_{i}\to\infty$⁠，流进运放输入端的电流

$$i_{P}=-i_{N}=\frac{v_{P}-v_{N}}{r_{i}}\approx 0$$

两个输入端几乎不取电流，好像断开了一样，但它们也没有真断——所以叫"虚断"。

记忆口诀："两端电压一样高（虚短），两端电流都为零（虚断）"。

（3）虚地：如果同相端 P 接地（⁠$v_{P}=0$⁠），由虚短得$v_{N}\approx 0$⁠：反相端的电位也约为 0，像接了地，却并没有接地——叫"虚地"。虚地是反相输入类电路的标志。

2.4 用虚短虚断的前提 ⚠️#

• 虚断：只要输入电阻足够大就成立，线性区、饱和区都可以用（理想运放的输入电流总是 0）。
• 虚短：只在线性区成立，而线性区要靠负反馈来保证。没有负反馈（开环）或引入的是正反馈（第 16 讲的比较器）时，运放工作在饱和区，$v_{P}$和$v_{N}$可以差很多，不能用虚短。
• 判断方法：输出端经元件接回反相端 N → 一般是负反馈 → 可用虚短。（严格的判断方法见第 13 讲（二））

2.5 一套解题"三步法"#

后面所有运放线性电路都按这三步来：

1. 找$v_{P}$：同相端接的是什么？由虚断，P 端没有电流流入运放，所以常常可以用分压直接求$v_{P}$⁠。
2. 虚短：$v_{N}=v_{P}$⁠。
3. 对 N 节点列 KCL：由虚断，流进 N 节点的电流之和 = 流出 N 节点的电流之和（运放不吃电流），解出$v_{O}$⁠。

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三、同相放大电路 ⭐⭐⭐#

3.1 大白话#

信号从同相端 P 进去；输出电压经过$R_{2}$⁠、$R_{1}$ 分压后送回反相端 N。运放要"让两端一样高"，就会自动调整输出，直到"分压后的那一份"正好等于输入。输出一定比输入大（因为分压只取了一部分），而且同方向——所以是"同相放大"。

类比：你拉着一根橡皮筋（⁠$R_{2}$⁠、$R_{1}$串联），只能看见橡皮筋上某个刻度点（N 点）的位置，你要让这个刻度点对准目标$v_{i}$⁠，手（输出）就必须伸得比目标更远。

图 3：同相放大电路（左，$R_{1}=2\,\text{k}\Omega$⁠、$R_{2}=18\,\text{k}\Omega$⁠）与反相放大电路（右，$R_{1}=10\,\text{k}\Omega$⁠、$R_{2}=200\,\text{k}\Omega$⁠）。右图橙点表示：$i_{1}$流到虚地节点后，因为运放不吃电流，只能全部流过$R_{2}$（动画循环播放）

3.2 推导闭环电压增益#

教材符号：$R_{1}$接在 N 端与地之间，$R_{2}$接在输出与 N 端之间（叫反馈电阻）。

第 1 步，找$v_{P}$⁠：$v_{P}=v_{i}$⁠。

第 2 步，虚短：$v_{N}\approx v_{P}=v_{i}$⁠。

第 3 步，对 N 节点列 KCL。由虚断，N 端不流入运放，所以流过$R_{1}$和$R_{2}$的是同一个电流$i_{R}$⁠：

$$i_{R}=\frac{v_{N}-0}{R_{1}}=\frac{v_{i}}{R_{1}},\qquad v_{o}=v_{N}+i_{R}R_{2}=v_{i}+\frac{v_{i}}{R_{1}}R_{2}$$

换个角度看：$R_{1}$⁠、$R_{2}$就是一个分压器，

$$v_{i}\approx v_{N}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\,v_{o}$$

所以闭环电压增益

$$A_{v}=\frac{v_{o}}{v_{i}}=\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}}=1+\frac{R_{2}}{R_{1}}$$

逐项拆解：

• $A_{v}$叫闭环电压增益（接上反馈电阻、"闭合了回路"之后的增益），区别于运放自身的开环增益$A_{vo}$⁠；
• $A_{v}>0$⁠：输出与输入同相；
• $A_{v}\geqslant 1$⁠：同相放大不能缩小信号；
• $A_{v}$ 只由两个电阻决定，与运放的$A_{vo}$⁠、$r_{i}$⁠、$r_{o}$无关——这就是负反馈的魅力：电阻比管子稳定得多，增益就稳定（第 13 讲（三））。

3.3 输入电阻与输出电阻#

• 输入电阻 $R_{i}=\dfrac{v_{i}}{i_{i}}$⁠：信号直接加在 P 端，由虚断$i_{i}=i_{P}\approx 0$⁠，所以$R_{i}\to\infty$⁠。这是同相放大的最大优点——几乎不从信号源"抽"电流。
• 输出电阻 $R_{o}$⁠：理想运放$r_{o}=0$⁠，输出端相当于理想电压源，$R_{o}\to 0$——带多重的负载，输出电压都不变。

3.4 例题 2：同相放大的计算与饱和#

题：同相放大电路如图 3 左，$R_{1}=2\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{2}=18\,\text{k}\Omega$⁠，运放为理想运放，输出最大 ±12 V。 （1）求$A_{v}$和线性工作时$v_{i}$的允许范围； （2）$v_{i}=0.3\,\text{V}$时，求$v_{N}$⁠、流过$R_{1}$的电流$i_{R}$⁠、$R_{2}$上的电压和$v_{o}$⁠； （3）$v_{i}=1.5\,\text{V}$时$v_{o}$是多少？此时虚短还成立吗？ （4）若运放实际$A_{vo}=10^{5}$⁠，闭环增益比理想值差多少？

解：

（1）

$$A_{v}=1+\frac{R_{2}}{R_{1}}=1+\frac{18\,\text{k}\Omega}{2\,\text{k}\Omega}=10$$

线性区要求$|v_{o}|<12\,\text{V}$⁠，即$|v_{i}|<\dfrac{12\,\text{V}}{10}=1.2\,\text{V}$⁠。

（2）虚短：$v_{N}\approx v_{P}=0.3\,\text{V}$⁠。

$$i_{R}=\frac{v_{N}}{R_{1}}=\frac{0.3\,\text{V}}{2\,\text{k}\Omega}=0.15\,\text{mA}$$

虚断：这 0.15 mA 全部来自$R_{2}$⁠，$R_{2}$上的电压$=0.15\,\text{mA}\times18\,\text{k}\Omega=2.7\,\text{V}$（输出端高、N 端低）。

$$v_{o}=v_{N}+2.7\,\text{V}=0.3\,\text{V}+2.7\,\text{V}=3\,\text{V}$$

与$A_{v}v_{i}=10\times0.3\,\text{V}=3\,\text{V}$一致。

（3）按公式$10\times1.5=15\,\text{V}$⁠，超过了 12 V，所以运放饱和，$v_{o}=+12\,\text{V}$⁠。此时$v_{N}=\dfrac{2}{2+18}\times12\,\text{V}=1.2\,\text{V}$⁠，而$v_{P}=1.5\,\text{V}$⁠，两端差了 0.3 V——虚短不成立了（这正说明虚短只在线性区有效）。

（4）有限开环增益时（第 13 讲会推这个公式），闭环增益为$\dfrac{A_{vo}}{1+A_{vo}F}$⁠，其中$F=\dfrac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}=0.1$⁠：

$$A_{v}=\frac{10^{5}}{1+10^{5}\times0.1}=\frac{10^{5}}{10001}\approx 9.999$$

和理想值 10 只差万分之一。用电路仿真（⁠$A_{vo}=10^{5}$⁠、$r_{i}=2\,\text{M}\Omega$⁠、$r_{o}=100\,\Omega$⁠）核对，$v_{i}=0.3\,\text{V}$时$v_{o}\approx2.9997\,\text{V}$⁠。理想化完全够用。

3.4′ 变式：信号经分压后再进同相端 ⭐⭐⭐#

考题很少给"光秃秃"的同相放大，常在 P 端前面加一对分压电阻。套路不变：先用虚断求$v_{P}$⁠，再乘$\left(1+\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)$⁠。

题：$v_{i}$经$R_{3}=10\,\text{k}\Omega$接到 P 端，P 端再经$R_{4}=40\,\text{k}\Omega$接地；N 端$R_{1}=10\,\text{k}\Omega$接地，反馈电阻$R_{2}=40\,\text{k}\Omega$⁠。求$v_{o}$与$v_{i}$的关系；$v_{i}=0.5\,\text{V}$时$v_{o}$等于多少？

解：

第 1 步，求$v_{P}$⁠。虚断：P 端不吃电流，$R_{3}$⁠、$R_{4}$中是同一电流，就是普通分压：

$$v_{P}=\frac{R_{4}}{R_{3}+R_{4}}v_{i}=\frac{40}{10+40}v_{i}=0.8\,v_{i}$$

第 2 步，虚短：$v_{N}=v_{P}$⁠。

第 3 步，N 节点看成同相放大：

$$v_{o}=\left(1+\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)v_{P}=5\times0.8\,v_{i}=4\,v_{i}$$

$v_{i}=0.5\,\text{V}$时$v_{o}=2\,\text{V}$⁠。

⚠️ 常见错误：直接写$v_{o}=(1+R_{2}/R_{1})v_{i}=2.5\,\text{V}$⁠，忘了 P 端前面的分压。

3.5 电压跟随器 ⭐⭐⭐#

把同相放大的$R_{2}$换成导线（⁠$R_{2}=0$⁠）、$R_{1}$去掉（⁠$R_{1}=\infty$⁠），输出直接接回 N 端：

$$v_{o}=v_{N}\approx v_{P}=v_{i},\qquad A_{v}=1+\frac{0}{\infty}=1$$

输出"跟着"输入走，所以叫电压跟随器。增益只有 1，有什么用？它的$R_{i}\to\infty$⁠、$R_{o}\to0$——它是一个缓冲器（隔离级），像"中间人"：前面对信号源几乎不要电流，后面却能给负载提供足够电流。

3.6 例题 3：跟随器的缓冲作用#

题：信号源$v_{s}$内阻$R_{s}=100\,\text{k}\Omega$⁠，负载$R_{L}=1\,\text{k}\Omega$⁠。（1）直接把负载接到信号源上，$v_{o}$是$v_{s}$的多少倍？（2）中间插一个电压跟随器呢？

解：

（1）$R_{s}$与$R_{L}$串联分压：

$$v_{o}=\frac{R_{L}}{R_{s}+R_{L}}v_{s}=\frac{1}{100+1}v_{s}\approx 0.0099\,v_{s}$$

信号几乎全"丢"在内阻上了。

（2）跟随器$R_{i}\to\infty$⁠，由虚断$i_{P}=0$⁠，$R_{s}$上没有压降，$v_{P}=v_{s}$⁠；又$v_{o}=v_{P}=v_{s}$⁠，$R_{o}\to0$不受负载影响：

$$v_{o}=v_{s}$$

（仿真核对：$A_{vo}=10^{5}$⁠、$r_{i}=2\,\text{M}\Omega$⁠、$r_{o}=100\,\Omega$时$v_{o}\approx0.99999\,v_{s}$⁠。）从 0.0099 倍提高到 1 倍，这就是"缓冲"。

3.7 易错点 ⚠️#

• 同相放大公式是$1+\dfrac{R_{2}}{R_{1}}$⁠，$R_{1}$是接地的那个电阻，$R_{2}$是跨接在输出和 N 端之间的反馈电阻。题目字母常换，认准"位置"而不是"名字"。
• 同相放大电路里 N 端不是虚地：$v_{N}\approx v_{P}=v_{i}$⁠，不是 0。
• 同相放大的两个输入端都跟着$v_{i}$一起升降（共模电压$=v_{i}$⁠），所以对运放的共模抑制能力有要求——这是同相电路的一个缺点（教材原话的意思：两输入端电压大小接近相等、相位相同）。

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四、反相放大电路 ⭐⭐⭐#

4.1 大白话#

信号经$R_{1}$从反相端 N 进去，同相端 P 接地，反馈电阻$R_{2}$跨在输出和 N 之间。由于 P 接地，N 成了虚地（电位约 0）。

想象 N 点是一个跷跷板的支点，钉死在 0 V 高度：$R_{1}$一侧压下$v_{i}$⁠，$R_{2}$另一侧就翘起相反方向，翘起多少由两段"臂长"之比$R_{2}/R_{1}$决定——输出与输入反相，大小按电阻比例缩放。

4.2 推导#

第 1 步：$v_{P}=0$⁠。第 2 步，虚短：$v_{N}\approx 0$（虚地）。

第 3 步，对 N 节点列 KCL。由虚断，流进运放的电流$i_{N}=0$⁠，所以从$R_{1}$流过来的电流$i_{1}$全部流向$R_{2}$⁠：$i_{1}=i_{2}$⁠。

$$\frac{v_{i}-v_{N}}{R_{1}}=\frac{v_{N}-v_{o}}{R_{2}}\quad\xrightarrow{v_{N}=0}\quad\frac{v_{i}}{R_{1}}=-\frac{v_{o}}{R_{2}}$$ $$A_{v}=\frac{v_{o}}{v_{i}}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}$$

• 负号：输出与输入反相（相位差 180°）；
• $|A_{v}|$可以大于 1，也可以小于 1：$R_{2}=R_{1}$时$v_{o}=-v_{i}$⁠，叫反相器。

输入电阻：信号源"看进去"，由于 N 是虚地，信号源只看到一个接地的$R_{1}$⁠：

$$R_{i}=\frac{v_{i}}{i_{1}}=\frac{v_{i}}{v_{i}/R_{1}}=R_{1}$$

反相放大的输入电阻不大（就是$R_{1}$⁠），而$R_{1}$又不能取太大（否则$R_{2}$要更大，大电阻精度差、噪声大）。这是它相对同相放大的缺点。

输出电阻：同样$R_{o}\to 0$⁠。

4.3 例题 4：设计一个反相放大电路#

题：要求$A_{v}=-20$⁠，输入电阻$R_{i}=10\,\text{k}\Omega$⁠，输出最大 ±12 V。（1）选$R_{1}$⁠、$R_{2}$⁠；（2）$v_{i}=0.2\,\text{V}$时求$i_{1}$⁠、$v_{o}$⁠；（3）$v_{i}$的线性范围是多少？

解：

（1）$R_{i}=R_{1}$⁠，所以$R_{1}=10\,\text{k}\Omega$⁠；由$\dfrac{R_{2}}{R_{1}}=20$得$R_{2}=200\,\text{k}\Omega$⁠。

（2）

$$i_{1}=\frac{v_{i}-0}{R_{1}}=\frac{0.2\,\text{V}}{10\,\text{k}\Omega}=20\,\mu\text{A}$$

$i_{2}=i_{1}=20\,\mu\text{A}$⁠，从 N 流向输出，所以$v_{o}=0-i_{2}R_{2}=-20\,\mu\text{A}\times200\,\text{k}\Omega=-4\,\text{V}$⁠。也可直接$v_{o}=-20\times0.2\,\text{V}=-4\,\text{V}$⁠。

（3）$|v_{i}|<\dfrac{12\,\text{V}}{20}=0.6\,\text{V}$⁠。

补充（工程常识）：实际电路常在 P 端与地之间串一个平衡电阻 $R'=R_{1}/\!/R_{2}=\dfrac{10\times200}{10+200}\,\text{k}\Omega\approx9.52\,\text{k}\Omega$⁠，让两个输入端对地的直流电阻相等，减小运放输入偏置电流带来的误差。理想运放分析时，P 端电流为 0，$R'$上没有压降，不影响上面的计算结果。（用有限参数仿真：接$R'$后$v_{o}\approx-3.9992\,\text{V}$⁠，虚地电位约$40\,\mu\text{V}$⁠，$R_{i}\approx10.002\,\text{k}\Omega$⁠。）

4.4 例题 5：T 形反馈网络（高增益又不用大电阻）⭐⭐#

题：反相放大要$A_{v}=-50$⁠，$R_{1}=10\,\text{k}\Omega$⁠。（1）若只用一个反馈电阻，$R_{2}$要多大？（2）改用 T 形网络：从 N 端经$R_{2}$到节点 M，M 经$R_{4}$接地，M 经$R_{3}$到输出。取$R_{2}=R_{3}=100\,\text{k}\Omega$⁠，求$R_{4}$⁠。

解：

（1）$R_{2}=50\times10\,\text{k}\Omega=500\,\text{k}\Omega$⁠。

（2）N 是虚地。对 N 节点：$i_{1}=i_{2}$⁠，即$\dfrac{v_{i}}{R_{1}}=\dfrac{0-v_{M}}{R_{2}}$⁠，得$v_{M}=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}v_{i}$⁠。

对 M 节点：流入 M 的电流 = 流出 M 的电流。从 N 经$R_{2}$流到 M 的电流是$\dfrac{0-v_{M}}{R_{2}}$⁠，从 M 流出去的有经$R_{4}$到地的$\dfrac{v_{M}}{R_{4}}$和经$R_{3}$到输出的$\dfrac{v_{M}-v_{o}}{R_{3}}$⁠：

$$\frac{-v_{M}}{R_{2}}=\frac{v_{M}}{R_{4}}+\frac{v_{M}-v_{o}}{R_{3}} \;\Longrightarrow\; v_{o}=v_{M}\,R_{3}\left(\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}+\frac{1}{R_{4}}\right)$$

代入$v_{M}$⁠，整理得

$$A_{v}=\frac{v_{o}}{v_{i}}=-\frac{R_{2}+R_{3}+R_{2}R_{3}/R_{4}}{R_{1}}$$

令$A_{v}=-50$⁠：

$$100+100+\frac{100\times100}{R_{4}}=500\quad(\text{单位 k}\Omega)\;\Longrightarrow\;\frac{10000}{R_{4}}=300\;\Longrightarrow\;R_{4}\approx33.3\,\text{k}\Omega$$

用三个 100 kΩ 量级的电阻就得到了需要 500 kΩ 单电阻才能实现的增益（仿真核对$A_{v}\approx-49.997$⁠）。

4.5 易错点 ⚠️#

• 反相放大的负号不能丢；求$v_{o}$数值时，记得检查是否超出$\pm V_{om}$⁠。
• 反相放大的$R_{i}=R_{1}$⁠，不是无穷大；只有"从虚地往运放里看"的那一小段才是无穷大。
• "虚地"只在 P 端接地（或经电阻接地且该电阻上无电流）时才有；同相放大没有虚地。
• 列 KCL 时电流方向随便设，但同一个电流的方向前后要一致，算出负值说明实际方向相反。

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五、同相与反相放大对比 ⭐⭐⭐#

5.1 例题 6：两级串联（真题风格的小综合）#

题：第一级是同相放大（⁠$R_{1}=10\,\text{k}\Omega$⁠、$R_{2}=20\,\text{k}\Omega$⁠），第二级是反相放大（⁠$R_{1}'=10\,\text{k}\Omega$⁠、$R_{2}'=50\,\text{k}\Omega$⁠），第一级输出直接接第二级输入。$v_{i}=0.1\,\text{V}$⁠，求$v_{o}$及总电压增益。

解：运放输出电阻$R_{o}\to0$⁠，后级的输入电阻$R_{1}'$不会"拉低"前级输出，所以各级增益直接相乘。

• 第一级：$A_{v1}=1+\dfrac{20}{10}=3$⁠，$v_{o1}=0.3\,\text{V}$⁠；
• 第二级：$A_{v2}=-\dfrac{50}{10}=-5$⁠，$v_{o}=-5\times0.3\,\text{V}=-1.5\,\text{V}$⁠；
• 总增益$A_{v}=A_{v1}A_{v2}=-15$⁠。

这里正好用上第 08 讲多级放大"总增益 = 各级增益之积"，而运放电路的$R_{o}\to0$让"级间负载效应"消失了，算起来比 BJT 多级电路简单得多。

六、考场答题模板 ⭐⭐⭐#

遇到"求运放电路输出电压/电压增益"的题，按下面格式写，步骤分一分不丢：

1. 判断工作区：指出输出经$R_{f}$（或导线）接回反相端，引入负反馈，运放工作在线性区，可用虚短、虚断。
2. 写虚断：$i_{P}=i_{N}=0$⁠，据此求$v_{P}$（同相端常是分压或直接等于输入；接地则$v_{P}=0$⁠）。
3. 写虚短：$v_{N}=v_{P}$（反相电路注明"虚地$v_{N}=0$"）。
4. N 节点 KCL：流入 = 流出，每一项写成"(高端电位 − 低端电位)/电阻"。
5. 解出$v_{o}$，写出$A_{v}$⁠；有数值时代入并检查 $|v_{o}|<V_{om}$⁠，超出则写"运放饱和，$v_{o}=\pm V_{om}$"。
6. 题目问$R_{i}$⁠、$R_{o}$时：同相$R_{i}\to\infty$⁠，反相$R_{i}=R_{1}$⁠；两者$R_{o}\to0$⁠。

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速记卡#

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自测练习#

1. 同相放大电路，$R_{1}=5\,\text{k}\Omega$（接地），$R_{2}=45\,\text{k}\Omega$（反馈），$v_{i}=0.4\,\text{V}$⁠，运放理想且不饱和。求$A_{v}$和$v_{o}$⁠。

答案与提示

$A_{v}=1+\dfrac{45}{5}=10$⁠，$v_{o}=10\times0.4\,\text{V}=4\,\text{V}$⁠。

2. 反相放大电路，$R_{1}=20\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{2}=100\,\text{k}\Omega$⁠，$v_{i}=-0.6\,\text{V}$⁠。求$A_{v}$⁠、$R_{i}$⁠、$v_{o}$⁠。

答案与提示

$A_{v}=-\dfrac{100}{20}=-5$⁠；$R_{i}=R_{1}=20\,\text{k}\Omega$⁠；$v_{o}=-5\times(-0.6\,\text{V})=+3\,\text{V}$（负负得正，别丢符号）。

3. 设计一个反相放大电路，要求$A_{v}=-30$⁠、$R_{i}=5\,\text{k}\Omega$⁠，求$R_{1}$⁠、$R_{2}$及平衡电阻$R'$⁠。

答案与提示

$R_{1}=R_{i}=5\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{2}=30R_{1}=150\,\text{k}\Omega$⁠，$R'=R_{1}/\!/R_{2}=\dfrac{5\times150}{155}\,\text{k}\Omega\approx4.84\,\text{k}\Omega$⁠。

4. 同相放大$A_{v}=11$⁠，运放电源 ±15 V（输出最大 ±15 V），$v_{i}=2\,\text{V}$⁠。$v_{o}$是多少？此时$v_{P}$与$v_{N}$相等吗？

答案与提示

按公式应为$22\,\text{V}$⁠，超过 15 V，运放饱和，$v_{o}=+15\,\text{V}$⁠。此时$v_{N}=\dfrac{15}{11}\,\text{V}\approx1.36\,\text{V}\neq v_{P}=2\,\text{V}$⁠，虚短不成立。

5. 判断对错：（1）理想运放的任何电路都满足虚短；（2）反相放大电路的反相输入端是虚地；（3）同相放大电路的反相输入端也是虚地；（4）虚断在饱和区也成立。

答案与提示

（1）错：虚短只在线性区（有负反馈）成立。（2）对。（3）错：$v_{N}\approx v_{i}$⁠。（4）对：理想运放输入电流始终为 0。

6.（真题风格）信号源内阻$R_{s}=50\,\text{k}\Omega$⁠，负载$R_{L}=2\,\text{k}\Omega$⁠。（1）直接相连时$v_{o}/v_{s}$为多少？（2）为了让负载上得到几乎全部的$v_{s}$⁠，应在中间加什么电路？说明理由。

答案与提示

（1）$\dfrac{2}{50+2}\approx0.0385$⁠。（2）加电压跟随器：其$R_{i}\to\infty$⁠，不从信号源取电流，$R_{s}$上无压降；$R_{o}\to0$⁠，输出不受负载影响，$v_{o}\approx v_{s}$⁠。

7. 某运放$A_{vo}=2\times10^{5}$⁠，输出最大 ±10 V，开环使用。$v_{P}-v_{N}$在什么范围内输出才不饱和？

答案与提示

$\lvert v_{P}-v_{N}\rvert<\dfrac{10\,\text{V}}{2\times10^{5}}=50\,\mu\text{V}$⁠。

8.（略提高）同相放大取$R_{2}/R_{1}=99$（理想增益 100），但运放开环增益只有$A_{vo}=10^{4}$⁠。用$A_{v}=\dfrac{A_{vo}}{1+A_{vo}F}$（⁠$F=\dfrac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}$⁠）估算实际闭环增益和相对误差。

答案与提示

$F=\dfrac{1}{100}=0.01$⁠，$A_{v}=\dfrac{10^{4}}{1+100}\approx99.0$⁠，相对误差$\dfrac{100-99.0}{100}\approx1\%$⁠。可见闭环增益越大、$A_{vo}$越小，理想化误差越大；$A_{vo}F\gg1$时理想化才精确（第 13 讲（四）"深度负反馈"）。

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下一讲预告#

第 12 讲（下）用同一套"虚短、虚断 + KCL"，搭出会做加法、减法、积分、微分的运算电路，并认识测量用的仪用放大器。

👉 点击进入下一讲：第12讲（下）｜求和、求差、仪用放大、积分与微分电路