考研模电·零基础讲义 第12讲（下）｜求和、求差、仪用放大、积分与微分电路

考研模电·零基础讲义 · 第 12 讲（下）｜求和、求差、仪用放大、积分与微分电路 学完这一讲，你能用"虚短、虚断 + KCL + 叠加原理"写出求和、求差、积分、微分电路的输出表达式，会按要求设计"$v_{o}=av_{1}+bv_{2}$"这类运算电路，并能画出积分电路在方波输入下的输出波形。预计用时 120 分钟。

本讲地图#

• 反相求和 ⭐⭐⭐：$v_{o}=-\left(\dfrac{R_{f}}{R_{1}}v_{i1}+\dfrac{R_{f}}{R_{2}}v_{i2}+\cdots\right)$⁠，各路互不干扰。
• 求差（差分放大） ⭐⭐⭐：$R_{4}/R_{1}=R_{3}/R_{2}$时$v_{o}=\dfrac{R_{4}}{R_{1}}(v_{i2}-v_{i1})$⁠；一般情况用叠加原理。
• 仪用放大器 ⭐⭐：三运放结构，$A_{v}=-\dfrac{R_{4}}{R_{3}}\left(1+\dfrac{2R_{2}}{R_{1}}\right)$⁠，输入电阻极高、共模抑制强。
• 积分与微分 ⭐⭐⭐ / ⭐⭐：$v_{O}=-\dfrac{1}{RC}\displaystyle\int v_{I}\,\mathrm{d}t$⁠、$v_{O}=-RC\dfrac{\mathrm{d}v_{I}}{\mathrm{d}t}$⁠；方波→三角波、三角波→方波。
• 华师怎么考：考纲"理想运放组成的基本运算电路"——求输出表达式、按给定运算关系选电阻、画积分波形是最典型的题型。
• 教材对应：第 2 章 2.4 节（求差、仪用放大器、求和、积分和微分）。

前置知识#

• 虚短、虚断、虚地，同相/反相放大的公式与"三步法"：见第 12 讲（上）。
• 叠加原理（多个电源共同作用 = 各自单独作用之和）：见第 01 讲（上）。
• 电容的电流$i=C\dfrac{\mathrm{d}v_{C}}{\mathrm{d}t}$⁠、电压是电流的积分：见第 01 讲（上）。

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一、反相求和电路 ⭐⭐⭐#

1.1 大白话#

反相放大的 N 端是"虚地"，像一个电位永远为 0 的汇流池。现在往这个池子里接好几根进水管（每路输入一个电阻），每根管子的水流只由自己的"水压"$v_{ik}$和"管子粗细"$R_{k}$决定——因为池子水位钉死在 0，谁也影响不了谁。所有水流汇合后只能从唯一的出口$R_{f}$流走，$R_{f}$上的压降就是总和。于是输出 = 各路输入按比例加起来（再带一个负号）。

图 1：反相求和电路（左）与求差电路（右），图中数值对应例题 1 和例题 2

1.2 推导#

$v_{P}=0$⁠，虚短得$v_{N}=0$（虚地）。对 N 节点列 KCL（虚断，流进运放的电流为 0）：

$$\frac{v_{i1}-0}{R_{1}}+\frac{v_{i2}-0}{R_{2}}+\frac{v_{i3}-0}{R_{3}}=\frac{0-v_{o}}{R_{f}}$$ $$v_{o}=-\left(\frac{R_{f}}{R_{1}}v_{i1}+\frac{R_{f}}{R_{2}}v_{i2}+\frac{R_{f}}{R_{3}}v_{i3}\right)$$

逐项拆解：

• $R_{f}$⁠：反馈电阻（f 是 feedback），跨在输出和 N 端之间；
• 第$k$路的权重是$R_{f}/R_{k}$⁠：想让哪一路系数大，就把它的输入电阻取小；
• 若$R_{1}=R_{2}=R_{3}=R_{f}$⁠，则$v_{o}=-(v_{i1}+v_{i2}+v_{i3})$⁠；
• 想去掉负号：后面再接一级反相器（⁠$A_{v}=-1$⁠）。
• 每路的输入电阻就是$R_{k}$（因为另一端是虚地）。

1.3 例题 1：按运算关系设计电阻#

题：用一个运放实现$v_{o}=-(2v_{i1}+5v_{i2}+0.5v_{i3})$⁠，取$R_{f}=100\,\text{k}\Omega$⁠。（1）求$R_{1}$⁠、$R_{2}$⁠、$R_{3}$⁠；（2）$v_{i1}=0.5\,\text{V}$⁠、$v_{i2}=-0.2\,\text{V}$⁠、$v_{i3}=1\,\text{V}$时求$v_{o}$⁠。

解：

（1）由$\dfrac{R_{f}}{R_{k}}=$系数：

$$R_{1}=\frac{100\,\text{k}\Omega}{2}=50\,\text{k}\Omega,\quad R_{2}=\frac{100\,\text{k}\Omega}{5}=20\,\text{k}\Omega,\quad R_{3}=\frac{100\,\text{k}\Omega}{0.5}=200\,\text{k}\Omega$$

（2）

$$v_{o}=-(2\times0.5+5\times(-0.2)+0.5\times1)\,\text{V}=-(1-1+0.5)\,\text{V}=-0.5\,\text{V}$$

（实际电路常在 P 端接平衡电阻$R'=R_{1}/\!/R_{2}/\!/R_{3}/\!/R_{f}$⁠，理想分析中不影响结果。）

1.4 变式：信号源有内阻时 ⭐⭐#

话筒、传感器这类信号源本身有内阻$R_{si}$⁠，它和该路的输入电阻串联，所以这一路的权重变成$\dfrac{R_{f}}{R_{si}+R_{k}}$⁠。

题：三个话筒内阻都是$R_{si}=500\,\Omega$⁠，接入反相求和电路，$R_{f}=100\,\text{k}\Omega$⁠。要求两个伴唱支路增益都是$-50$⁠、领唱支路增益是$-100$⁠，求三个输入电阻；若三个话筒都输出 10 mV，$v_{o}$是多少？

解：伴唱：$R_{si}+R_{1}=\dfrac{100\,\text{k}\Omega}{50}=2\,\text{k}\Omega$⁠，所以$R_{1}=R_{2}=1.5\,\text{k}\Omega$⁠；领唱：$R_{si}+R_{3}=1\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{3}=0.5\,\text{k}\Omega$⁠。

$v_{o}=-(50+50+100)\times10\,\text{mV}=-2\,\text{V}$⁠。

⚠️ 忽略内阻直接取$R_{1}=2\,\text{k}\Omega$⁠，增益会变成$-\dfrac{100}{2.5}=-40$⁠，偏小 20%。

1.5 同相求和（了解即可 ⭐）#

把几路输入经电阻接到 P 端，N 端做成同相放大，也能求和，但各路系数会相互牵连，调一个电阻会改变所有系数，所以用得少。

例：$v_{1}=0.3\,\text{V}$⁠、$v_{2}=0.5\,\text{V}$分别经$20\,\text{k}\Omega$接 P 端（P 端无对地电阻）；N 端$R=10\,\text{k}\Omega$接地，$R_{f}=10\,\text{k}\Omega$⁠。

由虚断，P 端两路电流之和为 0：$\dfrac{v_{1}-v_{P}}{20}+\dfrac{v_{2}-v_{P}}{20}=0$⁠，得$v_{P}=\dfrac{v_{1}+v_{2}}{2}=0.4\,\text{V}$⁠；

$v_{o}=\left(1+\dfrac{R_{f}}{R}\right)v_{P}=2\times0.4\,\text{V}=0.8\,\text{V}=v_{1}+v_{2}$⁠。

1.6 易错点 ⚠️#

• 反相求和的负号不要丢；系数是$R_{f}/R_{k}$⁠，不是$R_{k}/R_{f}$。
• 设计题给出的系数若有正有负（如$3v_{1}-2v_{2}$⁠），单用反相求和做不到，需要求差结构（例题 3）或两级电路（例题 8）。

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二、求差电路 ⭐⭐⭐#

2.1 大白话#

一个运放两只手：$v_{i1}$从反相端进去，被"倒过来"放大；$v_{i2}$从同相端进去，被"正着"放大。两者相加，就是"$v_{i2}$的若干倍 减去$v_{i1}$的若干倍"。只要电阻比例配得好，两路倍数相同，输出就只跟差 $v_{i2}-v_{i1}$有关——两路共同的部分（共模干扰）被抵消。

2.2 推导：叠加原理（最通用的方法）#

电路见图 1 右：$v_{i1}$经$R_{1}$接 N 端，$R_{4}$跨接输出与 N 端；$v_{i2}$经$R_{2}$接 P 端，P 端经$R_{3}$接地。

① 只让$v_{i1}$作用（⁠$v_{i2}$置 0，即接地）：P 端经$R_{2}$⁠、$R_{3}$接地，无电流，$v_{P}=0$⁠，电路就是反相放大：

$$v_{o}'=-\frac{R_{4}}{R_{1}}v_{i1}$$

② 只让$v_{i2}$作用（⁠$v_{i1}$接地）：$R_{1}$变成 N 端对地电阻，电路是"P 端分压 + 同相放大"：

$$v_{o}''=\left(1+\frac{R_{4}}{R_{1}}\right)\frac{R_{3}}{R_{2}+R_{3}}v_{i2}$$

③ 相加：

$$v_{o}=\left(1+\frac{R_{4}}{R_{1}}\right)\frac{R_{3}}{R_{2}+R_{3}}v_{i2}-\frac{R_{4}}{R_{1}}v_{i1}$$

若满足$\dfrac{R_{4}}{R_{1}}=\dfrac{R_{3}}{R_{2}}$（最常见的是$R_{1}=R_{2}$⁠、$R_{3}=R_{4}$⁠），第一项系数化简为$\dfrac{R_{4}}{R_{1}}$⁠：

$$v_{o}=\frac{R_{4}}{R_{1}}(v_{i2}-v_{i1}),\qquad A_{vd}=\frac{v_{o}}{v_{i2}-v_{i1}}=\frac{R_{4}}{R_{1}}$$

• $v_{i2}-v_{i1}=v_{id}$叫差模输入电压，$A_{vd}$叫差模电压增益；
• 两端加相同电压$v_{ic}$（共模输入）时，输出为 0——干扰被抑制。
• 输入电阻：差模信号源看进去，$R_{i}=R_{1}+R_{2}$（⁠$R_{1}=R_{2}$时为$2R_{1}$⁠）。它不大，想提高$R_{i}$就得加大$R_{1}$⁠，又会降低增益——这是求差电路的缺点，仪用放大器解决了它。

2.3 例题 2：求差电路计算 + 电阻失配的后果#

题：$R_{1}=R_{2}=10\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{3}=R_{4}=50\,\text{k}\Omega$⁠。 （1）$v_{i1}=1.2\,\text{V}$⁠、$v_{i2}=1.5\,\text{V}$⁠，求$v_{o}$⁠； （2）$v_{i1}=v_{i2}=2\,\text{V}$⁠，求$v_{o}$⁠； （3）若$R_{3}$误用了$45\,\text{k}\Omega$⁠，重做（2）； （4）求差模输入电阻。

解：

（1）满足$R_{4}/R_{1}=R_{3}/R_{2}=5$⁠，$v_{o}=5\times(1.5-1.2)\,\text{V}=1.5\,\text{V}$⁠。

（2）差为 0，$v_{o}=0$⁠。

（3）比例不再相等，用一般式：

$$v_{o}=\left(1+\frac{50}{10}\right)\frac{45}{10+45}\times2\,\text{V}-\frac{50}{10}\times2\,\text{V}=6\times0.818\times2\,\text{V}-10\,\text{V}\approx-0.18\,\text{V}$$

只差 10% 的电阻，共模 2 V 就漏出 0.18 V 的输出——所以求差电路的电阻必须严格匹配（集成差分放大模块就是为此而生）。

（4）$R_{i}=R_{1}+R_{2}=20\,\text{k}\Omega$⁠。

（以上结果均用节点电压法仿真核对一致。）

2.4 例题 3：一个运放实现$v_{o}=3v_{1}-2v_{2}$（设计题模板）⭐⭐⭐#

思路：带负号的$v_{2}$走反相端，带正号的$v_{1}$走同相端。

解：

① 反相部分：$-\dfrac{R_{f}}{R_{1}}=-2$⁠，取$R_{1}=10\,\text{k}\Omega$⁠、$R_{f}=20\,\text{k}\Omega$⁠。

② 同相部分：$v_{1}$经$R_{2}$接 P 端，P 端经$R_{3}$接地，系数为$\left(1+\dfrac{R_{f}}{R_{1}}\right)\dfrac{R_{3}}{R_{2}+R_{3}}=3\times\dfrac{R_{3}}{R_{2}+R_{3}}$⁠。要求它等于 3，则$\dfrac{R_{3}}{R_{2}+R_{3}}=1$⁠，即 $R_{3}$开路（不接）。取$R_{2}=10\,\text{k}\Omega$（⁠$R_{2}$上无电流，理想时取多少都行，常取与 N 端对地电阻平衡的值）。

③ 验证：$v_{1}=0.4\,\text{V}$⁠、$v_{2}=0.3\,\text{V}$时，$v_{o}=3\times0.4-2\times0.3=0.6\,\text{V}$（仿真一致）。

模板：同相端系数$=\left(1+\dfrac{R_{f}}{R_{N}}\right)\times$（P 端分压比），其中$R_{N}$是 N 端所有输入电阻的并联值。同相系数最大只能到 $1+\dfrac{R_{f}}{R_{N}}$⁠；要更大，得换两级方案。

2.5 变式：高输入电阻的减法电路（两级）⭐⭐#

求差电路输入电阻不高，一个常见改进是让"被减数一侧"先经过同相放大：

题：A1 为同相放大，$v_{i1}$接 A1 的 P 端，A1 的 N 端对地电阻与反馈电阻都为$10\,\text{k}\Omega$⁠；A2 为匹配的求差电路（⁠$R_{2}=10\,\text{k}\Omega$⁠、$R_{22}=50\,\text{k}\Omega$⁠），$v_{o1}$从 A2 反相端经$R_{2}$进入，$v_{i2}$从 A2 同相端经$R_{2}$进入、P 端经$R_{22}$接地。求$v_{o}$⁠；$v_{i1}=0.1\,\text{V}$⁠、$v_{i2}=0.5\,\text{V}$时等于多少？两个输入端的输入电阻各多大？

解：

① A1：$v_{o1}=\left(1+\dfrac{10}{10}\right)v_{i1}=2v_{i1}$⁠。

② A2 是匹配求差：$v_{o}=\dfrac{R_{22}}{R_{2}}(v_{i2}-v_{o1})=5(v_{i2}-2v_{i1})$⁠。

③ 代入：$v_{o}=5\times(0.5-0.2)\,\text{V}=1.5\,\text{V}$⁠。

④ 输入电阻：$v_{i1}$直接进 A1 的同相端，$R_{i1}\to\infty$⁠；$v_{i2}$看到的是$R_{2}+R_{22}=60\,\text{k}\Omega$（P 端不吃电流，两电阻串联到地）。若想两端都是无穷大，就用仪用放大器。

2.6 易错点 ⚠️#

• 叠加时"置零"一个电压源是把它接地（短路），不是断开。
• 只让$v_{i2}$作用时，$R_{1}$是 N 端的对地电阻，别把它漏了。
• 公式$v_{o}=\dfrac{R_{4}}{R_{1}}(v_{i2}-v_{i1})$只在电阻比例相等时成立；题目给的电阻不对称，就老老实实用一般式。
• 哪个是被减数：从同相端进的是"正"的那个。

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三、仪用放大器 ⭐⭐#

3.1 大白话#

传感器（应变片、热电偶、心电电极）给出的信号往往是"一个很小的差值骑在一个很大的共模电压上"，而且信号源内阻大。我们要：输入电阻极高（不吸电流）、差模增益可调、共模彻底抵消。办法是在求差电路前面加两个同相放大做"前哨"。

图 2：三运放仪用放大器（数值对应例题 4）

3.2 推导#

由 A1、A2 的虚短：$R_{1}$上端电位$=v_{1}$⁠，下端电位$=v_{2}$⁠，所以$R_{1}$上的电压就是$v_{1}-v_{2}$⁠，电流$i=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{R_{1}}$⁠。由虚断，这个电流全程流过 $R_{2}$⁠、$R_{1}$⁠、$R_{2}$三个串联电阻，于是

$$v_{3}-v_{4}=i(R_{2}+R_{1}+R_{2})=\left(1+\frac{2R_{2}}{R_{1}}\right)(v_{1}-v_{2})$$

第二级 A3 是$R_{3}$⁠、$R_{4}$对称的求差电路，输出$=\dfrac{R_{4}}{R_{3}}(v_{4}-v_{3})$⁠：

$$v_{o}=-\frac{R_{4}}{R_{3}}\left(1+\frac{2R_{2}}{R_{1}}\right)(v_{1}-v_{2}),\qquad A_{v}=-\frac{R_{4}}{R_{3}}\left(1+\frac{2R_{2}}{R_{1}}\right)$$

• 只改一个电阻$R_{1}$（常用外接可变电阻）就能调增益。教材举的集成仪用放大器例子中$R_{2}=25\,\text{k}\Omega$⁠、$R_{3}=R_{4}=40\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{1}$在$50\,\text{k}\Omega\sim5\,\Omega$之间调节，$1+\dfrac{2R_{2}}{R_{1}}$可从 2 调到 10001。
• 信号都从同相端进，$R_{i}\to\infty$⁠；
• 共模电压$v_{ic}$让$v_{1}$⁠、$v_{2}$同时升高，$R_{1}$上无电流，第一级对共模的增益只有 1，然后被第二级抵消。

3.3 例题 4#

题：图 2 中$R_{1}=1\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{2}=24.5\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{3}=R_{4}=10\,\text{k}\Omega$⁠，$v_{1}=2.005\,\text{V}$⁠，$v_{2}=1.995\,\text{V}$⁠。求$v_{3}$⁠、$v_{4}$⁠、$v_{o}$和$A_{v}$⁠。

解：$v_{1}-v_{2}=10\,\text{mV}$⁠，$i=\dfrac{10\,\text{mV}}{1\,\text{k}\Omega}=10\,\mu\text{A}$⁠。

$$v_{3}=v_{1}+iR_{2}=2.005\,\text{V}+10\,\mu\text{A}\times24.5\,\text{k}\Omega=2.250\,\text{V},\qquad v_{4}=v_{2}-iR_{2}=1.750\,\text{V}$$ $$A_{v}=-\frac{10}{10}\left(1+\frac{2\times24.5}{1}\right)=-50,\qquad v_{o}=-50\times10\,\text{mV}=-0.5\,\text{V}$$

可以看到：2 V 的共模电压在$v_{3}$⁠、$v_{4}$中原样保留（两者平均仍是 2 V），差值从 10 mV 放大到 0.5 V，最后 A3 把共模减掉。

3.4 为什么仪用放大器的共模抑制特别好（理解 ⭐⭐）#

设两个输入同时含有共模电压$v_{ic}$⁠：$v_{1}=v_{ic}+\dfrac{v_{id}}{2}$⁠，$v_{2}=v_{ic}-\dfrac{v_{id}}{2}$⁠。

• 第一级：$R_{1}$两端电压只等于$v_{1}-v_{2}=v_{id}$⁠，跟$v_{ic}$毫无关系，所以流过$R_{2}$⁠、$R_{1}$⁠、$R_{2}$的电流只由差模决定。结果是：差模被放大了$\left(1+\dfrac{2R_{2}}{R_{1}}\right)$倍，共模只"原样通过"（增益为 1）。
• 第二级：求差电路把剩下的共模减掉。

对比一下：单用一个求差电路，共模能否消掉完全靠四个电阻的匹配精度；仪用放大器先把差模放大几十上百倍、共模不放大，再交给求差电路，就算第二级电阻有点失配，漏出的共模相对于已被放大的差模信号也小得多。这就是测量电路（心电图、电子秤）都用它的原因。

3.5 易错点 ⚠️#

• 增益公式里是$2R_{2}$（上下两个$R_{2}$⁠），$R_{1}$是中间那一个电阻，别把位置看反。
• 公式的负号取决于第二级哪一路进反相端；图 2 中$v_{3}$进 A3 的反相端，所以是$-(v_{1}-v_{2})$⁠。题图若相反，符号也相反。
• $v_{3}$⁠、$v_{4}$本身含有共模电压，它们不能超出运放的输出范围——共模电压太大时第一级也会饱和。

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四、积分电路 ⭐⭐⭐#

4.1 大白话#

把反相放大的反馈电阻换成电容。虚地让输入电流$i=v_{I}/R$只由输入决定，这个电流全部灌进电容。电容像一个水桶：进水速度恒定，水位就匀速上升；水位（电容电压）就是流量对时间的累积——积分。输出电压$v_{O}=-v_{C}$（电容一端接虚地）。

4.2 推导#

虚地$v_{N}=0$⁠，虚断$i_{1}=i_{C}=\dfrac{v_{I}}{R}$⁠。电容电压$v_{C}=v_{N}-v_{O}=-v_{O}$⁠，且$v_{C}=\dfrac{1}{C}\displaystyle\int i_{C}\,\mathrm{d}t$⁠，设$v_{C}(0)=0$⁠：

$$v_{O}=-\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}v_{I}\,\mathrm{d}t$$

• $\tau=RC$叫积分时间常数，单位秒（⁠$\Omega\times\text{F}=\text{s}$⁠）；
• 负号：反相积分器；
• 输入为恒定电压 $V_{I}$时，$v_{O}=-\dfrac{V_{I}}{RC}t$⁠，输出随时间线性变化，斜率$-\dfrac{V_{I}}{RC}$⁠；直到撞上$\pm V_{om}$饱和，停止积分。
• 若$t_{0}$时刻已有输出$v_{O}(t_{0})$⁠，则$v_{O}(t)=v_{O}(t_{0})-\dfrac{1}{RC}\displaystyle\int_{t_{0}}^{t}v_{I}\,\mathrm{d}t$——分段计算的公式。

4.3 例题 5：阶跃输入#

题：$R=10\,\text{k}\Omega$⁠，$C=0.1\,\mu\text{F}$⁠，$v_{C}(0)=0$⁠，$t=0$时加$V_{I}=+1\,\text{V}$⁠，输出最大 ±12 V。求$t=1\,\text{ms}$时$v_{O}$⁠，以及多久后输出饱和。

解：$\tau=RC=10^{4}\,\Omega\times10^{-7}\,\text{F}=10^{-3}\,\text{s}=1\,\text{ms}$⁠。

$v_{O}=-\dfrac{1\,\text{V}}{1\,\text{ms}}t$⁠，每毫秒下降 1 V：$t=1\,\text{ms}$时$v_{O}=-1\,\text{V}$⁠。

降到$-12\,\text{V}$需$t=12\,\text{ms}$⁠，之后保持$-12\,\text{V}$（饱和）。

4.4 例题 6：方波输入 → 三角波输出（画波形题模板）⭐⭐⭐#

题：$R=10\,\text{k}\Omega$⁠，$C=0.2\,\mu\text{F}$⁠，$v_{C}(0)=0$⁠。$v_{I}$在$0\sim2\,\text{ms}$为$-2\,\text{V}$⁠，$2\sim6\,\text{ms}$为$+1\,\text{V}$⁠，然后周期重复。画$v_{O}$波形并标出幅值。

解：$\tau=RC=10^{4}\times0.2\times10^{-6}\,\text{s}=2\,\text{ms}$⁠。

第 1 段（⁠$0\sim2\,\text{ms}$⁠，$v_{I}=-2\,\text{V}$⁠）：斜率$-\dfrac{-2\,\text{V}}{2\,\text{ms}}=+1\,\text{V/ms}$⁠，

$$v_{O}(2\,\text{ms})=0-\frac{(-2\,\text{V})\times2\,\text{ms}}{2\,\text{ms}}=+2\,\text{V}$$

第 2 段（⁠$2\sim6\,\text{ms}$⁠，$v_{I}=+1\,\text{V}$⁠）：斜率$-\dfrac{1\,\text{V}}{2\,\text{ms}}=-0.5\,\text{V/ms}$⁠，

$$v_{O}(6\,\text{ms})=2\,\text{V}-\frac{1\,\text{V}\times4\,\text{ms}}{2\,\text{ms}}=0\,\text{V}$$

一个周期后回到 0，以后重复：输出是在$0\sim+2\,\text{V}$之间的三角波（上升段 1 V/ms，下降段 0.5 V/ms）。

图 3：积分电路与例题 6 的输入、输出波形（按分段积分计算；绿色扫描线循环移动）

画波形模板：① 算$\tau=RC$⁠；② 每段算斜率$-V_{I}/\tau$（注意符号）；③ 用"上一段终点 + 斜率 × 时长"求本段终点；④ 检查是否超过$\pm V_{om}$⁠，超了就画成水平削顶；⑤ 标出转折点坐标。

4.5 正弦输入：积分器的"移相"作用（⭐⭐）#

$v_{I}=V_{m}\sin\omega t$时，

$$v_{O}=-\frac{1}{RC}\int V_{m}\sin\omega t\,\mathrm{d}t=\frac{V_{m}}{\omega RC}\cos\omega t$$

输出仍是正弦，幅值$\dfrac{V_{m}}{\omega RC}$⁠，相位超前 90°。例：$V_{m}=1\,\text{V}$⁠、$f=1\,\text{kHz}$⁠、$R=10\,\text{k}\Omega$⁠、$C=0.1\,\mu\text{F}$⁠，幅值$\dfrac{1}{2\pi\times1000\times10^{-3}}\approx0.159\,\text{V}$⁠；频率降到 100 Hz 时变成 1.59 V——频率越低输出越大，积分器是一种低通特性。

4.6 变式：积分求和（设计题）⭐⭐#

把反相求和的$R_{f}$换成电容，就得到"先加再积分"的电路：

$$v_{O}=-\frac{1}{C}\int\left(\frac{v_{I1}}{R_{1}}+\frac{v_{I2}}{R_{2}}\right)\mathrm{d}t$$

题：用一个运放实现$v_{O}=-10\displaystyle\int_{0}^{t}v_{I1}\,\mathrm{d}t-2\int_{0}^{t}v_{I2}\,\mathrm{d}t$（时间以秒计），给定$C=1\,\mu\text{F}$⁠、$v_{O}(0)=0$⁠，求$R_{1}$⁠、$R_{2}$⁠。

解：系数$\dfrac{1}{R_{k}C}$⁠：

$$\frac{1}{R_{1}C}=10\,\text{s}^{-1}\Rightarrow R_{1}=\frac{1}{10\times10^{-6}}\,\Omega=100\,\text{k}\Omega,\qquad \frac{1}{R_{2}C}=2\,\text{s}^{-1}\Rightarrow R_{2}=500\,\text{k}\Omega$$

若$v_{I1}=0.1\,\text{V}$⁠、$v_{I2}=-0.2\,\text{V}$均为恒定值，则$v_{O}=-(10\times0.1-2\times0.2)t=-0.6t\,\text{V}$⁠，$t=1\,\text{s}$时$v_{O}=-0.6\,\text{V}$⁠。

4.7 易错点 ⚠️#

• 别忘了$v_{O}=-v_{C}$和初始值；分段计算时每段起点是上一段的终点。
• 输入有一点直流（哪怕是运放自己的失调）也会被不停积分，最终饱和。实际电路常给$C$ 并联一个大电阻，提供直流负反馈，限制低频增益。
• 单位：$\mu\text{F}=10^{-6}\,\text{F}$⁠，$\text{nF}=10^{-9}\,\text{F}$⁠，算$\tau$时最容易错。

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五、微分电路 ⭐⭐#

5.1 大白话#

电容"只认变化不认大小"：电压不变时电容里没有电流，电压变得越快电流越大。把电容放在输入端，流进虚地的电流就正比于输入的变化快慢，这个电流流过$R$变成输出电压——这就是"求导数"。打个比方：积分电路像记账本（累计存了多少），微分电路像测速仪（此刻变得多快）。

5.2 推导#

把积分电路的$R$和$C$对调：输入经电容接 N 端，$R$做反馈。虚地，电容电流$i=C\dfrac{\mathrm{d}v_{I}}{\mathrm{d}t}$全部流过$R$⁠：

$$v_{O}=-RC\frac{\mathrm{d}v_{I}}{\mathrm{d}t}$$

输出正比于输入的变化率。输入不变时输出为 0；输入变化越快，输出越大。

5.3 例题 7：三角波 → 方波#

题：$R=10\,\text{k}\Omega$⁠、$C=0.01\,\mu\text{F}$⁠，输入是峰值 ±1 V、周期 4 ms 的对称三角波。求输出。

解：$RC=10^{4}\times10^{-8}\,\text{s}=0.1\,\text{ms}$⁠。上升段 2 ms 内从 −1 V 升到 +1 V，斜率$\dfrac{2\,\text{V}}{2\,\text{ms}}=1\,\text{V/ms}$⁠，

$$v_{O}=-0.1\,\text{ms}\times1\,\text{V/ms}=-0.1\,\text{V}$$

下降段斜率 −1 V/ms，$v_{O}=+0.1\,\text{V}$⁠。输出是 ±0.1 V 的方波（与积分正好互逆）。

5.4 微分电路的毛病（了解即可 ⭐）#

正弦输入$V_{m}\sin\omega t$时输出幅值$\omega RCV_{m}$⁠，随频率线性增大——高频噪声和干扰被放大得最厉害，还容易自激，所以微分电路比积分电路用得少；实际常在输入电容上串一个小电阻改善。在数字电路中，常用它把矩形波变成尖顶脉冲。

5.5 一般化：用阻抗表示（了解即可 ⭐）#

把反相电路的$R_{1}$⁠、$R_{2}$换成一般阻抗$Z_{1}$⁠、$Z_{2}$⁠：$V_{o}(s)=-\dfrac{Z_{2}(s)}{Z_{1}(s)}V_{i}(s)$⁠。$Z_{2}=\dfrac{1}{sC}$⁠、$Z_{1}=R$即积分；$Z_{1}=\dfrac{1}{sC}$⁠、$Z_{2}=R$即微分。这是第 14 讲有源滤波器的起点。

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六、多级组合与考场模板 ⭐⭐⭐#

6.1 例题 8：两级实现$v_{o}=2v_{1}-v_{2}$#

题：A1 为反相放大（⁠$R_{1}=10\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{f1}=20\,\text{k}\Omega$⁠），输入$v_{1}$⁠；A2 为反相求和，两路输入$v_{o1}$和$v_{2}$⁠，电阻都是$10\,\text{k}\Omega$⁠，反馈电阻$10\,\text{k}\Omega$⁠。求$v_{o}$⁠；$v_{1}=0.4\,\text{V}$⁠、$v_{2}=0.3\,\text{V}$时等于多少？

解：$v_{o1}=-2v_{1}$⁠；$v_{o}=-(v_{o1}+v_{2})=2v_{1}-v_{2}$⁠。代入：$v_{o}=0.8-0.3=0.5\,\text{V}$⁠。

运放$R_{o}\to0$⁠，后级不影响前级，可以逐级代入。

6.2 运算电路答题模板#

1. 指出各运放均引入负反馈，工作在线性区，可用虚短、虚断。
2. 识别每一级：反相（比例/求和）、同相、求差、积分、微分、跟随器；单级写出$v_{ok}$表达式。
3. 一个运放两端都有输入 → 用叠加原理分别算再相加。
4. 多级 → 逐级代入，写出总表达式，最后代数值、查饱和。
5. 含电容的 → 写积分/微分式，分段画波形，标转折点。

6.3 一眼认出运算电路（识图口诀）⭐⭐⭐#

考试的图常常画得"七拐八绕"，先别急着列方程，按下面几条认电路：

认不出来也不要紧：任何线性运放电路都能用"虚断求$v_{P}$ → 虚短 → N 节点 KCL"硬解出来，口诀只是帮你更快。

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速记卡#

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自测练习#

1. 反相求和，$R_{f}=60\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{1}=20\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{2}=30\,\text{k}\Omega$⁠，$v_{i1}=0.5\,\text{V}$⁠，$v_{i2}=-1\,\text{V}$⁠。求$v_{o}$⁠。

答案与提示

$v_{o}=-(3\times0.5+2\times(-1))\,\text{V}=-(1.5-2)\,\text{V}=+0.5\,\text{V}$⁠。

2. 求差电路$R_{1}=R_{2}=5\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{3}=R_{4}=20\,\text{k}\Omega$⁠，$v_{i1}=0.8\,\text{V}$⁠，$v_{i2}=1.1\,\text{V}$⁠。求$v_{o}$和差模输入电阻。

答案与提示

$v_{o}=\dfrac{20}{5}(1.1-0.8)\,\text{V}=1.2\,\text{V}$⁠；$R_{i}=R_{1}+R_{2}=10\,\text{k}\Omega$⁠。

3.（设计）用一个运放实现$v_{o}=-(v_{1}+4v_{2})$⁠，取$R_{f}=40\,\text{k}\Omega$⁠，求各输入电阻。

答案与提示

$R_{1}=40\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{2}=10\,\text{k}\Omega$（反相求和，$R_{k}=R_{f}/\text{系数}$⁠）。

4. 积分电路$R=20\,\text{k}\Omega$⁠，$C=0.5\,\mu\text{F}$⁠，$v_{C}(0)=0$⁠，$t=0$起加$V_{I}=-0.5\,\text{V}$⁠。输出以什么斜率变化？多长时间后$v_{O}=+10\,\text{V}$⁠？

答案与提示

$\tau=RC=10\,\text{ms}$⁠，斜率$-\dfrac{-0.5\,\text{V}}{10\,\text{ms}}=+0.05\,\text{V/ms}$⁠；到 10 V 需$\dfrac{10}{0.05}=200\,\text{ms}$（若$V_{om}$大于 10 V）。

5. 微分电路$R=100\,\text{k}\Omega$⁠，$C=0.1\,\mu\text{F}$⁠，$v_{I}=0.5\sin(2\pi\times100t)\,\text{V}$⁠。写出$v_{O}$⁠。

答案与提示

$RC=0.01\,\text{s}$⁠，$v_{O}=-RC\cdot0.5\cdot\omega\cos\omega t=-0.01\times0.5\times628.3\cos\omega t\approx-3.14\cos(2\pi\times100t)\,\text{V}$⁠。

6. 仪用放大器$R_{1}=5\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{2}=50\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{3}=10\,\text{k}\Omega$⁠，$R_{4}=20\,\text{k}\Omega$⁠，$v_{1}-v_{2}=20\,\text{mV}$⁠。求$A_{v}$和$v_{o}$⁠。

答案与提示

$A_{v}=-\dfrac{20}{10}\left(1+\dfrac{100}{5}\right)=-42$⁠，$v_{o}=-42\times20\,\text{mV}=-0.84\,\text{V}$⁠。

7.（概念）为什么积分电路的电容两端常并联一个大电阻？为什么微分电路容易受噪声干扰？

答案与提示

并联电阻给直流提供负反馈通路，防止失调电压等直流量被持续积分导致输出饱和（低频增益被限制为$-R_{f}/R$⁠）。微分电路输出幅值与频率成正比，高频噪声被大大放大，且易自激。

8.（真题风格）用一个运放实现$v_{o}=3v_{1}-2v_{2}$⁠，要求反相端输入电阻为$10\,\text{k}\Omega$⁠，画出电路并求各电阻；$v_{1}=0.4\,\text{V}$⁠、$v_{2}=0.3\,\text{V}$时$v_{o}$为多少？

答案与提示

见例题 3：$v_{2}$经$R_{1}=10\,\text{k}\Omega$接 N 端，$R_{f}=20\,\text{k}\Omega$⁠；$v_{1}$经$R_{2}$（如$10\,\text{k}\Omega$⁠）直接接 P 端，P 端不接对地电阻，同相系数$=1+20/10=3$⁠。$v_{o}=3\times0.4-2\times0.3=0.6\,\text{V}$⁠。

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下一讲预告#

第 13 讲（一）揭开运放电路"为什么这么听话"的秘密——反馈：什么是反馈、反馈分哪几类、闭环增益$A_{f}=\dfrac{A}{1+AF}$怎么来。

👉 点击进入下一讲：第13讲（一）｜反馈的基本概念与分类