考研模电·零基础讲义 第14讲（上）｜有源滤波电路：一阶与二阶低通、高通、带通、带阻

考研模电·零基础讲义 · 第 14 讲（上）｜有源滤波电路：一阶与二阶低通、高通、带通、带阻 学完这一讲，你能一眼认出一个运放滤波电路是低通、高通、带通还是带阻，会算通带增益$A_0$⁠、截止频率$f_c$⁠、中心频率$f_0$⁠、品质因数$Q$和带宽$BW$⁠，还会按要求选电阻电容。预计用时 2.5～3 小时。

本讲地图#

• 滤波是什么：让"想要的频率"通过、把"不想要的频率"挡掉。按通过哪一段频率分成低通、高通、带通、带阻（还有全通）。
• 一阶有源滤波：一节 RC + 运放。记住两件事：通带增益$A_0$由运放部分决定，截止频率$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$由 RC 决定；带外衰减 −20 dB/十倍频。
• 二阶有源滤波：两节 RC + 同相比例放大。多了一个"品质因数$Q$"，$Q=\frac{1}{3-A_{vf}}$⁠，$A_{vf}$必须小于 3，否则自激振荡；带外衰减 −40 dB/十倍频。
• 带通与带阻：中心频率$f_0=\frac{1}{2\pi RC}$⁠，带宽$BW=\frac{f_0}{Q}$⁠。带阻常用"双 T 网络"，用来抑制 50 Hz 工频干扰。
• 华师怎么考：考纲原文写着"信号的运算和滤波：有源滤波器和模拟乘法器"。典型题是：判断滤波类型、写出$A_0$和$f_c$（或$f_0$⁠、$Q$⁠）、按截止频率选元件。
• 教材对应：第 10 章 10.1～10.3 节。
• 重要度：⭐⭐⭐ 必考核心 / ⭐⭐ 理解 / ⭐ 了解。本讲最该练熟的是"判类型 + 算$A_0$⁠、$f_c$⁠、$Q$"；高阶巴特沃斯多项式、全通滤波、开关电容滤波器（10.4 节）了解即可，文末用一小节点到为止。

前置知识#

• 电容的"隔直通交"、容抗$X_C=\frac{1}{2\pi fC}$随频率升高而变小（见第 01 讲（上））。
• 增益、分贝 dB 的概念：$20\lg|A|$⁠，−3 dB 对应幅度变成$0.707$倍（见第 01 讲（下））。
• RC 低通、高通电路的频率响应，上下限频率与波特图（见第 09 讲）。
• 理想运放的"虚短、虚断"，同相比例放大$A_{vf}=1+\frac{R_f}{R_1}$⁠、反相比例放大$A_{vf}=-\frac{R_f}{R_1}$（见第 12 讲（上））。

---

一、滤波电路是干什么的 ⭐⭐⭐#

1.1 大白话：一把"按频率分拣"的筛子#

想象你在淘米：米粒留下，细沙漏掉。筛子是按"颗粒大小"分拣的。

滤波电路也是一把筛子，只不过它按频率分拣信号：

• 收音机里只要某一个电台的频率，其他电台都要挡掉；
• 心电图仪只要 0.05～100 Hz 的心电信号，墙上插座窜进来的 50 Hz 干扰要挡掉；
• 音箱里低音喇叭只接低频，高音喇叭只接高频。

能顺利通过的频率范围叫通带，被挡住（大幅衰减）的范围叫阻带，两者的分界叫截止频率。

1.2 四种基本类型#

按通带在哪里，分成四种（教材还提到"全通"：所有频率都通过，只改变相位，了解即可）：

带宽：低通$BW=f_H$⁠；带通$BW=f_H-f_L$⁠。

图 1：四种滤波电路的幅频响应（纵轴是增益相对于通带增益的比值，横轴频率取对数；阴影是能通过的部分，红虚线是 0.707 也就是 −3 dB 线）

1.3 读一读"传递函数"（⭐⭐）#

教材用$A(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}$描述滤波电路，叫电压传递函数。

• $s$读作"s"，是"复频率"。零基础的同学不用害怕：算正弦稳态时，把$s$换成$j\omega$就行，$\omega=2\pi f$是角频率（单位 rad/s），$f$是频率（单位 Hz），$j$是虚数单位。
• 换完以后$A(j\omega)$是个复数：它的模 $|A(j\omega)|$表示幅度放大了几倍（幅频响应），它的辐角 $\varphi(\omega)$表示输出比输入相位超前/滞后多少（相频响应）。
• 分母里$s$的最高次数叫阶数：一次就是一阶，二次就是二阶。阶数越高，过渡带越陡，越接近"理想的砖墙"。

1.4 为什么要"有源"#

只用 R、L、C 搭的叫无源滤波，用运放加 R、C 搭的叫有源滤波。有源的好处：

1. 不用电感。低频时电感又大又重又不准，有源电路只用 R 和 C；
2. 能放大。运放可以让通带增益大于 1；
3. 带负载能力强。运放输入电阻很大、输出电阻很小，前后级互不影响，接上负载截止频率也不跑。

缺点：运放带宽有限，所以有源滤波一般用在低频（几十 kHz 以下），也不能用来滤大功率信号（比如电源滤波还是用电容，见第 18 讲（上））。

1.5 一招判断滤波类型（考场必备 ⭐⭐⭐）#

拿到一个陌生电路，不用列方程，先看两个极端：

• $f\to0$（直流）：电容相当于开路；
• $f\to\infty$（极高频）：电容相当于短路。

分别看这两种情况下输出有没有信号：

例题 0（识别题）：一个运放接成反相比例放大，输入支路是"$R_1$串联电容$C_1$"，反馈支路只有$R_f$⁠。判断类型并写出通带增益和截止频率。

解：$f\to0$⁠：$C_1$开路，输入电流为 0，输出为 0；$f\to\infty$⁠：$C_1$短路，就是普通反相比例放大，$A=-\frac{R_f}{R_1}$⁠。所以是一阶高通，$A_0=-\frac{R_f}{R_1}$⁠。截止频率由和$C_1$串联的$R_1$决定：$f_c=\frac{1}{2\pi R_1C_1}$（推导：$A(s)=-\frac{R_f}{R_1+\frac{1}{sC_1}}=-\frac{R_f}{R_1}\cdot\frac{sR_1C_1}{1+sR_1C_1}$⁠）。

变式：如果改成电容$C_1$与$R_1$ 并联作为输入支路呢？$f\to0$时增益$-\frac{R_f}{R_1}$⁠，$f\to\infty$时输入支路短路，增益趋于无穷（实际受运放带宽限制）——这已经不是一个"正常的"滤波器，而是"比例 + 微分"，考试中见到要能说出它在高频增益上升。

⚠️ 易错点：这招只能判断"类型"，不能告诉你截止频率是多少；而且带阻和全通都是"两头都有输出"，要再看中间。

---

二、一阶有源滤波电路 ⭐⭐⭐#

2.1 大白话#

一阶低通 = 一节 RC 低通 + 一个同相比例放大器。

RC 低通负责"筛"：频率越高，电容的容抗越小，信号越容易被电容"短路到地"，到达运放同相端的信号就越小。

同相放大器负责"放"和"隔离"：它输入电阻极大，不会从 RC 那里抽电流，所以 RC 的截止频率不会被后面的负载改变。

2.2 电路与公式#

电路：输入$v_I$经电阻$R$到运放同相端 P，P 点经电容$C$接地；运放接成同相比例放大，反馈电阻$R_f$⁠，接地电阻$R_1$⁠。

第一步：P 点电压（RC 分压，虚断所以 P 点不取电流）

$$V_p(s)=\frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}V_i(s)=\frac{1}{1+sRC}V_i(s)$$

第二步：同相放大

$$V_o(s)=\left(1+\frac{R_f}{R_1}\right)V_p(s)$$

合起来：

$$A(s)=\frac{A_0}{1+\frac{s}{\omega_c}},\qquad A_0=1+\frac{R_f}{R_1},\qquad \omega_c=\frac{1}{RC}$$

把$s=j\omega$代进去取模：

$$|A(j\omega)|=\frac{A_0}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{f_c}\right)^2}},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi RC}$$

2.3 逐行拆解#

• $A_0$⁠：读作"A 零"，通带电压增益。对低通来说就是直流（⁠$f=0$⁠）时的增益。它只由运放部分决定，与 R、C 无关。
• $\omega_c$⁠：读作"欧米伽 c"，特征角频率，单位 rad/s；$f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}$是对应的频率，单位 Hz。对一阶电路，它就是 −3 dB 截止频率（⁠$f=f_c$时$|A|=\frac{A_0}{\sqrt2}\approx0.707A_0$⁠）。
• 在$f\gg f_c$时，$|A|\approx A_0\frac{f_c}{f}$⁠：频率每升高 10 倍，增益降为 1/10，即 −20 dB/十倍频。这是一阶电路"不够陡"的原因。
• 想要一阶高通：把 R 和 C 的位置对调（C 串在信号路上，R 接地）。

$$A(s)=\frac{A_0\frac{s}{\omega_c}}{1+\frac{s}{\omega_c}},\qquad |A(j\omega)|=\frac{A_0}{\sqrt{1+\left(\frac{f_c}{f}\right)^2}}$$

2.4 例题 1：同相输入一阶低通#

题：一阶有源低通（RC + 同相比例），$R=10\,\text{k}\Omega$⁠，$C=0.01\,\mu\text{F}$⁠，$R_1=R_f=10\,\text{k}\Omega$⁠。求$A_0$⁠、$f_c$⁠，以及$f=10\,\text{kHz}$时的$|A|$⁠。

解：

1. 通带增益：$A_0=1+\frac{R_f}{R_1}=1+\frac{10}{10}=2$⁠，即$20\lg2\approx6.02\,\text{dB}$⁠。
2. 截止频率：$RC=10\times10^3\,\Omega\times0.01\times10^{-6}\,\text{F}=1\times10^{-4}\,\text{s}$⁠，

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi\times10^{-4}\,\text{s}}\approx1591.5\,\text{Hz}\approx1.59\,\text{kHz}$$

3. $f=10\,\text{kHz}$时：$\frac{f}{f_c}=\frac{10000}{1591.5}\approx6.28$⁠，

$$|A|=\frac{2}{\sqrt{1+6.28^2}}\approx0.314\quad(\approx-10.1\,\text{dB})$$

可见 10 kHz 的信号不但没被放大 2 倍，反而被衰减到约 0.3 倍。

追问：同样元件接成一阶高通，$f=100\,\text{Hz}$时$|A|=\frac{2}{\sqrt{1+(1591.5/100)^2}}\approx0.125$⁠。

2.5 另一种常见形式：反相输入一阶低通#

把电容$C$并在反相比例放大器的反馈电阻$R_f$上：输入经$R_1$到反相端，反馈支路是$R_f\parallel C$⁠。

大白话：低频时电容开路，就是普通反相放大$-\frac{R_f}{R_1}$⁠；频率升高，电容把$R_f$ "短路"，反馈越来越强，增益越来越小——低通。

用"虚地"（反相端电位 ≈ 0）：$\frac{V_i}{R_1}=-\frac{V_o}{Z_f}$⁠，$Z_f=\frac{R_f}{1+sR_fC}$⁠，所以

$$A(s)=-\frac{R_f}{R_1}\cdot\frac{1}{1+sR_fC},\qquad A_0=-\frac{R_f}{R_1},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi R_fC}$$

⚠️ 注意这里截止频率里的电阻是和电容并联的$R_f$，不是$R_1$⁠。

例题 2：$R_1=10\,\text{k}\Omega$⁠，$R_f=100\,\text{k}\Omega$⁠，$C=1\,\text{nF}$⁠。则$A_0=-10$（20 dB，负号表示反相），$f_c=\frac{1}{2\pi\times10^5\times10^{-9}}\approx1591.5\,\text{Hz}$⁠；在$f=f_c$处$|A|=\frac{10}{\sqrt2}\approx7.07$⁠。

2.6 易错点 ⚠️#

• 截止频率要用$2\pi$⁠：$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$⁠，而$\omega_c=\frac{1}{RC}$⁠。题目问"截止频率"一般指$f_c$（Hz）。
• 单位换算：$1\,\mu\text{F}=10^{-6}\,\text{F}$⁠，$1\,\text{nF}=10^{-9}\,\text{F}$⁠，$1\,\text{pF}=10^{-12}\,\text{F}$⁠；$0.01\,\mu\text{F}=10\,\text{nF}$⁠。
• 一阶电路过渡带只有 −20 dB/十倍频，要更陡就要用二阶。

---

三、二阶有源低通滤波电路 ⭐⭐⭐#

3.1 大白话#

一节 RC 不够陡，那就串两节：每节 −20 dB/十倍频，两节就 −40 dB/十倍频。

但简单地把两节 RC 串起来有个毛病：在截止频率附近，两节一起"打折"，衰减得太早，通带边缘塌下去一大块。解决办法很巧：把第一节的电容不接地，而是接到输出端（图 2 中的$C_1$⁠）。在截止频率附近，输出把一部分信号"送回来"补上——这是一个适度的正反馈，正好把塌下去的那块"顶起来"。顶多少，由运放增益$A_{vf}$控制。

顶得太少，边缘发软；顶得刚好，通带最平；顶得太多，边缘鼓出一个"峰"；顶过头（⁠$A_{vf}\ge3$⁠），电路自己就振荡起来了。

图 2：二阶有源低通滤波电路（教材图 10.3.1 结构；元件值为例题 3 所取）

3.2 传递函数#

对节点 A 列 KCL，再利用$V_p=\frac{V_A}{1+sRC}$⁠、$V_o=A_{vf}V_p$⁠，联立可得（教材式 10.3.4，本讲用 Python 符号运算重新推导核对过）：

$$A(s)=\frac{A_{vf}}{1+(3-A_{vf})sCR+(sCR)^2}$$

令

$$\omega_c=\frac{1}{RC},\qquad Q=\frac{1}{3-A_{vf}},\qquad A_0=A_{vf}=1+\frac{R_f}{R_1}$$

就得到二阶低通的标准形式：

$$A(s)=\frac{A_0\,\omega_c^2}{s^2+\frac{\omega_c}{Q}s+\omega_c^2}$$

3.3 逐行拆解#

• $A_{vf}$⁠：读作"A v f"，同相比例放大电路的闭环电压增益，$A_{vf}=1+\frac{R_f}{R_1}$⁠。在这个电路里它同时就是通带增益$A_0$⁠。
• $\omega_c=\frac{1}{RC}$⁠：特征角频率，$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$⁠。注意：这里两个电阻相等、两个电容相等（都是 R、C）。
• $Q$⁠：读作"Q"，等效品质因数，没有单位。它描述截止频率附近曲线的"形状"：
  • $Q$小（如 0.5）：边缘早早就开始下降，比较"软"；
  • $Q=\frac{1}{\sqrt2}\approx0.707$⁠：通带最平坦，叫**巴特沃斯（Butterworth）**响应，此时$f_c$恰好就是 −3 dB 频率；
  • $Q$大（如 2）：$f_c$附近出现峰。
• 在$f=f_c$处：把$s=j\omega_c$代入，分母只剩$j\frac{\omega_c^2}{Q}$⁠，所以

$$|A(j\omega_c)|=Q\,A_0$$

这个结论很好用：$Q=0.707$时正好是$0.707A_0$（−3 dB）；$Q=1$时等于$A_0$（0 dB，不衰减）。

• 稳定条件：分母中$s$的一次项系数$3-A_{vf}$必须大于 0，即$A_{vf}<3$⁠。$A_{vf}=3$时$Q\to\infty$⁠；$A_{vf}\ge3$时电路自激振荡，不再是滤波器。这正是第 15 讲（上）RC 桥式振荡器"放大倍数等于 3"的伏笔。

图 3：按传递函数算出的二阶低通归一化幅频响应（纵轴是$20\lg|A/A_0|$⁠）；Q 越大，$f_c$附近越"鼓"，远处都是 −40 dB/十倍频（蓝点沿 Q=0.707 曲线扫描，动画循环播放）

⚠️ 教材里一句话要看清：教材说$\omega_c$ "也是 3 dB 截止角频率"，这只在$Q\approx0.707$时严格成立。$Q$不等于 0.707 时，真正的 −3 dB 频率会偏开（见下面例题的表格）。考试中如果题目说"巴特沃斯"或给的$A_{vf}=1.586$⁠，就可以直接说$f_c$是截止频率。

3.4 例题 3：二阶低通的计算与设计#

题：二阶有源低通如图 2，$R=10\,\text{k}\Omega$⁠，$C=0.01\,\mu\text{F}$⁠，$R_1=10\,\text{k}\Omega$⁠。

(1) 求特征频率$f_c$⁠； (2) 要求通带最平坦（巴特沃斯，$Q=0.707$⁠），$R_f$取多少？此时$A_0$是多少？ (3) 若错把$R_f$接成$10\,\text{k}\Omega$⁠，$Q$和$f_c$处的增益变成多少？ (4) $R_f$最大不能超过多少？

解：

(1) $f_c=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi\times10^4\times10^{-8}}\approx1591.5\,\text{Hz}$⁠。

(2) $Q=\frac{1}{3-A_{vf}}=0.707\Rightarrow A_{vf}=3-\frac{1}{0.707}=3-\sqrt2\approx1.586$⁠。

$R_f=(A_{vf}-1)R_1=0.586\times10\,\text{k}\Omega\approx5.86\,\text{k}\Omega$⁠，$A_0=1.586$（约 4 dB）。

(3) $R_f=10\,\text{k}\Omega\Rightarrow A_{vf}=2$⁠，$Q=\frac{1}{3-2}=1$⁠。

$f_c$处增益$=QA_0=1\times2=2$⁠，等于通带增益，没有衰减——通带边缘有一个小峰（数值计算峰值约 2.31，比$A_0$高 1.25 dB）。

(4) 必须$A_{vf}<3$⁠，即$1+\frac{R_f}{R_1}<3$⁠，$R_f<2R_1=20\,\text{k}\Omega$⁠。

用 Python 按传递函数数值求出的结果（⁠$f_c=1591.5\,\text{Hz}$⁠）：

在$10f_c$处，巴特沃斯二阶低通的增益比$A_0$低 40 dB（一阶只低 20 dB）——这就是"二阶更陡"。

3.5 易错点 ⚠️#

• $Q$的公式$\frac{1}{3-A_{vf}}$只适用于等值 R、等值 C 的这种结构；别的结构要重新推。
• "$A_{vf}<3$"是稳定条件，"$A_{vf}=1.586$"是最平坦条件，别搞混。
• 二阶低通通带增益$A_0=A_{vf}$⁠；但后面要讲的二阶带通，通带增益不等于 $A_{vf}$⁠。

---

四、二阶有源高通滤波电路 ⭐⭐#

4.1 对偶关系#

把二阶低通里的 R 和 C 位置全部对调，就得到二阶高通（教材图 10.3.5）。频率特性也"左右镜像"：

$$A(s)=\frac{A_0\,s^2}{s^2+\frac{\omega_c}{Q}s+\omega_c^2},\qquad \omega_c=\frac{1}{RC},\quad Q=\frac{1}{3-A_{vf}},\quad A_0=A_{vf}$$

• $f\to\infty$⁠：$|A|\to A_0$（通带在高频）；
• $f\to0$⁠：$|A|\to0$⁠；低于$f_c$时按 +40 dB/十倍频上升（反过来看就是往低频每十倍频降 40 dB）；
• 稳定条件同样是$A_{vf}<3$⁠，巴特沃斯同样取$A_{vf}=1.586$⁠。

⚠️ 教材式 (10.3.11) 分母印成了 "$s^2+\frac{\omega_c}{Q}+\omega_c^2$"，少了一个$s$⁠，正确的是$\frac{\omega_c}{Q}s$⁠。

---

五、有源带通滤波电路 ⭐⭐#

5.1 大白话#

带通 = "既不要太低，也不要太高"。最直观的做法：低通和高通串联——先用高通挡掉低频，再用低通挡掉高频，中间剩下的就是通带。条件是低通的截止频率$f_H$要高于高通的截止频率$f_L$⁠，否则两边一夹，什么都不剩了。

教材例 10.3.2 就是用"二阶低通 + 二阶高通"串联设计 100 Hz～10 kHz 的带通（再加分压器把增益调回 1），思路了解即可。

5.2 二阶有源带通（教材图 10.3.10）#

更紧凑的是一个运放就能做的二阶带通：$R$和$C$（对地）组成低通，$C_1=C$和$R_3=2R$组成高通，$R_2=R$从中间节点接到输出引入正反馈。

传递函数（Python 节点法核对过）：

$$A(s)=\frac{A_{vf}\,sCR}{1+(3-A_{vf})sCR+(sCR)^2}$$

令

$$A_0=\frac{A_{vf}}{3-A_{vf}},\qquad \omega_0=\frac{1}{RC},\qquad Q=\frac{1}{3-A_{vf}}$$

写成$s=j\omega$的形式：

$$A(j\omega)=\frac{A_0}{1+jQ\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)}$$

5.3 逐行拆解#

• $\omega_0$（⁠$f_0=\frac{1}{2\pi RC}$⁠）：中心频率，此时括号里为 0，增益最大，$|A|=A_0$⁠。
• $A_0=\frac{A_{vf}}{3-A_{vf}}$⁠：带通的通带（中心）增益。⚠️ 它不是 $A_{vf}$⁠！
• 截止频率：令$\left|Q\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)\right|=1$⁠，增益降到$\frac{A_0}{\sqrt2}$⁠。解出的两个正根$f_L$⁠、$f_H$满足$f_Lf_H=f_0^2$（对$f_0$几何对称）。
• 带宽：

$$BW=f_H-f_L=\frac{f_0}{Q}$$

$Q$越大，通带越窄，"选频"越尖锐。

• 同样要求$A_{vf}<3$⁠。

5.4 例题 4：二阶带通#

题：二阶有源带通，$R=16\,\text{k}\Omega$⁠，$C=0.01\,\mu\text{F}$⁠，$A_{vf}=2.5$⁠。求$f_0$⁠、$Q$⁠、$A_0$⁠、$BW$和两个截止频率。

解：

1. $f_0=\frac{1}{2\pi\times16\times10^3\times10^{-8}}\approx994.7\,\text{Hz}$（约 1 kHz）。
2. $Q=\frac{1}{3-2.5}=2$⁠。
3. $A_0=\frac{2.5}{3-2.5}=5$（注意不是 2.5）。
4. $BW=\frac{f_0}{Q}=\frac{994.7}{2}\approx497.4\,\text{Hz}$⁠。
5. 截止频率：令$x=\frac{f}{f_0}$⁠，$Q\left(x-\frac1x\right)=\pm1$⁠，即$x^2\mp\frac{x}{Q}-1=0$⁠，取正根

$$x_H=\frac{1}{2Q}+\sqrt{\frac{1}{4Q^2}+1}=0.25+\sqrt{1.0625}\approx1.2808$$

$f_H=994.7\times1.2808\approx1274.0\,\text{Hz}$⁠，$f_L=\frac{f_0}{x_H}\approx776.7\,\text{Hz}$⁠，$f_H-f_L\approx497.4\,\text{Hz}$⁠，与$BW$一致。

核对：用节点电压法直接算电路，$f_0$处$|A|=5.000$⁠，$f_L$⁠、$f_H$处$|A|=3.536=\frac{5}{\sqrt2}$⁠。

追问：若$A_{vf}$调到 2.8，$Q=5$⁠，$A_0=14$⁠，$BW\approx199\,\text{Hz}$——$A_{vf}$越接近 3，通带越窄、增益越大，但也越接近振荡，元件稍有误差就可能自激。

---

六、有源带阻滤波电路 ⭐⭐#

6.1 大白话#

带阻也叫陷波器："别的都放行，就把某一个频率附近挖掉"。最典型的用途：仪器里窜进了 50 Hz 的工频干扰（电源线的"嗡嗡"声），用一个中心频率 50 Hz 的陷波器把它挖掉。

思路有两种：

1. 输入减去带通输出：带通把要挖掉的那段挑出来，再从原信号里减掉；
2. 低通和高通并联：低通管低频、高通管高频，中间那段两边都不管——教材用的双 T 网络就是这个思路。

6.2 双 T 带阻（教材图 10.3.12）#

双 T 网络由两个"T"并联：

• 上面的 T：两个电容$C$串联，中点经$\frac R2$接到输出——这是一个高通 T；
• 下面的 T：两个电阻$R$串联，中点经$2C$接地——这是一个低通 T。

两个 T 的输出并在一起接运放同相端，运放接成同相比例放大$A_{vf}=1+\frac{R_f}{R_1}$⁠。

传递函数（Python 节点法核对过）：

$$A(s)=\frac{A_{vf}\left[1+\left(\frac{s}{\omega_0}\right)^2\right]}{1+2(2-A_{vf})\frac{s}{\omega_0}+\left(\frac{s}{\omega_0}\right)^2}$$ $$\omega_0=\frac{1}{RC},\qquad A_0=A_{vf}=1+\frac{R_f}{R_1},\qquad Q=\frac{1}{2(2-A_0)}$$

6.3 逐行拆解#

• $f=f_0=\frac{1}{2\pi RC}$时，分子$1+(j)^2=0$⁠，输出为零——这就是"陷波点"。
• $f\to0$和$f\to\infty$时，$|A|\to A_0$⁠，两头都通。
• 阻带宽度$BW=\frac{f_0}{Q}$⁠。
• $A_0=1$时$Q=0.5$（阻带很宽、很钝）；$A_0$增大$Q$升高、阻带变窄；$A_0\to2$时$Q\to\infty$⁠。所以要求$A_0<2$（注意这里是 2，不是 3）。

6.4 例题 5：50 Hz 陷波器#

题：用双 T 带阻滤除 50 Hz 干扰，取$C=0.1\,\mu\text{F}$⁠。(1) $R$取多少？(2) 要求阻带宽度为 50 Hz，$A_0$和$R_f/R_1$取多少？

解：

(1) $R=\frac{1}{2\pi f_0C}=\frac{1}{2\pi\times50\times10^{-7}}\approx31.8\,\text{k}\Omega$⁠。取$31.8\,\text{k}\Omega$时$f_0\approx50.05\,\text{Hz}$⁠；$\frac R2\approx15.9\,\text{k}\Omega$⁠，$2C=0.2\,\mu\text{F}$⁠。

(2) $BW=\frac{f_0}{Q}=50\,\text{Hz}\Rightarrow Q=1$⁠；$\frac{1}{2(2-A_0)}=1\Rightarrow A_0=1.5$⁠，$\frac{R_f}{R_1}=0.5$⁠。

核对：节点法算出$f_0$处$|A|$约为$10^{-16}$（数值意义上的 0），$0.1\,\text{Hz}$和$100\,\text{kHz}$处$|A|=1.500$⁠。

6.5 易错点 ⚠️#

• 双 T 的三个"特殊值"别记反：高通 T 中点接$\frac R2$⁠，低通 T 中点接$2C$⁠。
• 带阻的$Q=\frac{1}{2(2-A_0)}$⁠，稳定要求$A_0<2$⁠；二阶低通/高通/带通是$Q=\frac{1}{3-A_{vf}}$⁠，要求$A_{vf}<3$⁠。
• 实际陷波深度受元件匹配影响很大，电阻电容误差 1% 就挖不到"零"。

---

七、解题套路与答题模板 ⭐⭐⭐#

遇到滤波题，按这四步走：

1. 判类型：电容开路看$f\to0$⁠，电容短路看$f\to\infty$⁠。
2. 找通带增益：低通看$f=0$⁠，高通看$f\to\infty$⁠，带通看$f_0$⁠，带阻看两头。运放部分一般是同相比例$1+\frac{R_f}{R_1}$或反相比例$-\frac{R_f}{R_1}$⁠。
3. 算特征频率：$f_c$（或$f_0$⁠）$=\frac{1}{2\pi RC}$⁠，R、C 用"和那个电容打交道的电阻"。
4. 二阶再算 Q：$Q=\frac{1}{3-A_{vf}}$（双 T 带阻用$\frac{1}{2(2-A_0)}$⁠），检查稳定条件；带通/带阻再算$BW=\frac{f_0}{Q}$⁠。

答题模板（分析题照着写，步骤分不丢）：

① 判类型：$f\to0$时 C 开路，$v_O=$⁠……；$f\to\infty$时 C 短路，$v_O=$⁠……；故为 × 通滤波电路（几阶看有几个独立 RC 节）。 ② 通带增益：通带内运放构成同相（反相）比例放大，$A_0=1+\frac{R_f}{R_1}$（⁠$-\frac{R_f}{R_1}$⁠）$=$⁠…… ③ 特征频率：$f_c=\frac{1}{2\pi RC}=$⁠……（代入数值、带单位）。 ④ （二阶）品质因数与稳定性：$Q=\frac{1}{3-A_{vf}}=$⁠……；$A_{vf}<3$故电路稳定（或：$A_{vf}\ge3$会自激）。 ⑤ （带通/带阻）带宽：$BW=\frac{f_0}{Q}=$⁠…… ⑥ （设计题）选元件：先选 C（几 nF～几 μF），再由$R=\frac{1}{2\pi f_cC}$求 R（宜在几 kΩ～几百 kΩ），再由 Q 定$R_f/R_1$⁠。

例题 6（设计题，按模板做）：设计一个二阶巴特沃斯低通，$f_c=1\,\text{kHz}$⁠，选$C=0.01\,\mu\text{F}$⁠，$R_1=10\,\text{k}\Omega$⁠。

① 二阶低通（等值 R、C 结构）。② $A_0=A_{vf}$⁠。③ $R=\frac{1}{2\pi f_cC}=\frac{1}{2\pi\times10^3\times10^{-8}}\approx15.9\,\text{k}\Omega$⁠。④ 巴特沃斯$Q=0.707$⁠，$A_{vf}=1.586<3$稳定，$R_f=0.586R_1\approx5.86\,\text{k}\Omega$⁠。答：$R=15.9\,\text{k}\Omega$（两个），$C=0.01\,\mu\text{F}$（两个），$R_f\approx5.86\,\text{k}\Omega$⁠，通带增益 1.586（约 4 dB）。

八、了解即可的内容 ⭐#

• 高阶巴特沃斯：$n$阶巴特沃斯幅频$|A|=\frac{A_0}{\sqrt{1+(f/f_c)^{2n}}}$⁠，阶数越高越接近理想砖墙，高阶由一阶、二阶级联而成，每级$Q$不同（查表）。
• 全通滤波：幅度不变、只改相位，用于相位校正。
• 开关电容滤波器（教材 10.4）：用"电容 + 高速开关"代替电阻，等效电阻$R_{eq}=\frac{T_c}{C_1}$（⁠$T_c$为时钟周期），截止频率由时钟频率和电容比值决定，精度高、便于集成。考纲不要求，知道名字和这一句即可。

---

速记卡#

• 判类型：电容低频开路、高频短路，看两端有无输出。
• 有源优点：不用电感、可放大、带负载能力强；缺点：频率不能太高、不能滤功率信号。

---

自测练习#

1.（基础）一阶 RC 有源低通中$C=0.1\,\mu\text{F}$⁠，要求$f_c=1\,\text{kHz}$⁠，$R$应取多少？

答案与提示

$R=\frac{1}{2\pi f_cC}=\frac{1}{2\pi\times10^3\times10^{-7}}\approx1.59\,\text{k}\Omega$（1591.5 Ω）。

2.（基础）判断类型：运放接成电压跟随器，输入信号先经过一个串联电容$C$到同相端，同相端再经电阻$R$接地。这是什么滤波器？截止频率多少？

答案与提示

$f\to0$时电容开路，同相端经 R 接地为 0，输出 0；$f\to\infty$时电容短路，输出 = 输入。所以是一阶高通，$A_0=1$⁠，$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$⁠。

3.（基础）反相输入一阶低通，$R_1=5.1\,\text{k}\Omega$⁠，$R_f=51\,\text{k}\Omega$⁠，电容$C=3.3\,\text{nF}$并在$R_f$两端。求$A_0$和$f_c$⁠。

答案与提示

$A_0=-\frac{R_f}{R_1}=-10$⁠；$f_c=\frac{1}{2\pi R_fC}=\frac{1}{2\pi\times51\times10^3\times3.3\times10^{-9}}\approx945.7\,\text{Hz}$⁠。注意用$R_f$而不是$R_1$⁠。

4.（中等）二阶有源低通（等值 R、C 结构），$R=4.7\,\text{k}\Omega$⁠，$C=0.022\,\mu\text{F}$⁠，$R_1=10\,\text{k}\Omega$⁠，$R_f=5.6\,\text{k}\Omega$⁠。求$f_c$⁠、$A_0$⁠、$Q$以及$f_c$处的增益，并说明是否接近巴特沃斯。

答案与提示

$f_c=\frac{1}{2\pi\times4.7\times10^3\times0.022\times10^{-6}}\approx1539.2\,\text{Hz}$⁠；$A_0=A_{vf}=1+0.56=1.56$⁠；$Q=\frac{1}{3-1.56}\approx0.694$⁠；$f_c$处增益$=QA_0\approx1.083$（约$0.694A_0$⁠）。$Q$接近 0.707，接近最平坦响应（5.6 kΩ 是 5.86 kΩ 的近似标称值）。

5.（中等）二阶带通要求$f_0=2\,\text{kHz}$⁠、$Q=5$⁠。$A_{vf}$应取多少？此时通带增益和带宽各是多少？

答案与提示

$Q=\frac{1}{3-A_{vf}}=5\Rightarrow A_{vf}=2.8$⁠；$A_0=\frac{2.8}{0.2}=14$⁠；$BW=\frac{2000}{5}=400\,\text{Hz}$⁠。

6.（中等）一阶有源高通，$R=10\,\text{k}\Omega$⁠，$C=0.1\,\mu\text{F}$⁠，$A_0=11$⁠。求$f_c$⁠，以及$f=f_c$⁠、$f=f_c/10$时的增益。

答案与提示

$f_c=\frac{1}{2\pi\times10^4\times10^{-7}}\approx159.2\,\text{Hz}$⁠；$f=f_c$时$|A|=\frac{11}{\sqrt2}\approx7.78$⁠；$f=f_c/10$时$|A|=\frac{11}{\sqrt{1+10^2}}\approx1.09$（比通带低约 20 dB）。

7.（华师风格·分析题）某同学搭了一个二阶有源低通（等值 R、C），$R_1=10\,\text{k}\Omega$⁠，用一个可调电阻作$R_f$⁠。(1) 把$R_f$从 0 慢慢调大，幅频曲线在$f_c$附近怎样变化？(2) 调到多大时示波器上会出现"没有输入也有输出"的现象？为什么？(3) 要得到最平坦的通带，$R_f$取多少？

答案与提示

(1) $A_{vf}=1+\frac{R_f}{R_1}$增大，$Q=\frac{1}{3-A_{vf}}$增大：曲线从"早早下降"变为最平坦，再变为$f_c$附近出现越来越高的峰，同时通带增益$A_0=A_{vf}$也变大。 (2) $R_f\ge20\,\text{k}\Omega$时$A_{vf}\ge3$⁠，分母一次项系数$3-A_{vf}\le0$⁠，正反馈过强，电路自激振荡，变成振荡器（原理见第 15 讲（上））。 (3) $A_{vf}=1.586$⁠，$R_f\approx5.86\,\text{k}\Omega$⁠。

---

下一讲预告#

第 14 讲（下）认识另一种"信号处理"器件——模拟乘法器：两个电压相乘，能做平方、除法、开方、压控增益，还能实现调幅与解调。

👉 点击进入下一讲：第14讲（下）｜模拟乘法器及其应用