考研模电·零基础讲义 第09讲｜放大电路的频率响应入门（了解级）

考研模电·零基础讲义 · 第 09 讲｜放大电路的频率响应入门（了解级） 频率响应在华师考纲中没有单列，本讲按"了解即可"处理：只要求你看懂幅频特性曲线，知道上、下限频率和通频带的含义，知道低频段、高频段增益为什么下降，会用$f=\frac{1}{2\pi RC}$估算一个转折频率。预计用时 60 分钟。

本讲地图#

• 频率响应、通频带 ⭐⭐：增益随频率变化；中频段增益恒定，下降 3 dB 处为上、下限频率$f_H$⁠、$f_L$⁠，$BW=f_H-f_L$⁠。
• RC 高通 / 低通电路与波特图 ⭐⭐：$f_L=f_H=\frac{1}{2\pi RC}$的形式、−3 dB、±20 dB/十倍频。
• 低频段（耦合、旁路电容）与高频段（极间电容、密勒效应）的成因 ⭐：定性理解为主。
• 多级放大电路的通频带变窄 ⭐。
• 教材对应：第 6 章 6.1、6.2 节为主，6.3～6.7 节只取结论。考试重点仍是第 05～08 讲的中频（直流 + 小信号）分析。

前置知识#

• 电容的容抗$X_C=\frac{1}{2\pi fC}$⁠、分压公式：见第 01 讲（上）。
• 通频带、分贝的概念：见第 01 讲（下）。
• 共射电路的小信号分析：见第 06 讲（下）。

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一、什么是频率响应 ⭐⭐#

1.1 大白话#

前几讲算$A_v$时，我们默认"大电容短路、小电容开路"。其实电容的容抗$X_C=\frac{1}{2\pi fC}$ 随频率变：

• 频率很低时，耦合电容、旁路电容的容抗变大，不再"短路"，信号被它们分走一部分 → 增益下降；
• 频率很高时，晶体管内部的极间电容（皮法级）容抗变小，不再"开路"，把信号旁路掉 → 增益下降；
• 中间一段（中频段），两类电容都可以忽略，增益基本不变——前几讲算的就是中频增益 $A_{vM}$⁠。

就像一个音响：低音太低、高音太高都放不出来，只有中间那一段"声音最饱满"。

1.2 关键术语#

图 1：第 06 讲共射电路（⁠$C_{b1}=C_{b2}=10\,\mu\text{F}$⁠、$C_e=100\,\mu\text{F}$⁠，管子$C_{b'e}=60\,\text{pF}$⁠、$C_{b'c}=3\,\text{pF}$⁠）的幅频特性，由完整的小信号电路逐点计算

• 幅频响应：增益的大小$|A_v|$随频率$f$的变化；相频响应：输出与输入的相位差$\varphi$随频率的变化。两者合称频率响应。
• 下限频率$f_L$⁠、上限频率$f_H$：增益下降到中频增益的$\frac{1}{\sqrt2}\approx0.707$倍（即下降 3 dB）时对应的频率。
• 通频带（带宽）：$BW=f_H-f_L$⁠；通常$f_H\gg f_L$⁠，所以$BW\approx f_H$⁠。
• 波特图：横轴用对数刻度的频率，纵轴用分贝$20\lg|A_v|$（幅频）或度（相频）。对数坐标能把 1 Hz 到 100 MHz 画在一张图里。

1.3 易错点 ⚠️#

• ⚠️ $f_H$⁠、$f_L$处增益是中频的 0.707 倍，不是一半（一半是 −6 dB）。
• ⚠️ 直接耦合放大电路没有耦合电容，下限频率可以为 0（第 08 讲）。

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二、单时间常数 RC 电路 ⭐⭐#

放大电路的低频响应和高频响应，分别可以用 RC 高通和 RC 低通电路来模拟（教材 6.2 节）。

图 2：RC 高通电路（左）与 RC 低通电路（右）

2.1 RC 高通电路（模拟耦合电容）#

$$\dot A_{vL}=\frac{\dot V_o}{\dot V_i}=\frac{1}{1-\mathrm{j}\,f_L/f},\qquad f_L=\frac{1}{2\pi RC}$$ $$|\dot A_{vL}|=\frac{1}{\sqrt{1+(f_L/f)^2}},\qquad\varphi_L=\arctan\frac{f_L}{f}$$

逐项拆解：$\mathrm{j}$是虚数单位，表示相位；$f\gg f_L$时$|A|\approx1$（0 dB）；$f=f_L$时$|A|=0.707$（−3 dB），相位超前 45°；$f\ll f_L$时$|A|\approx f/f_L$⁠，频率每降低 10 倍，增益降 20 dB（斜率 20 dB/十倍频），相位趋于 +90°。

2.2 RC 低通电路（模拟极间电容）#

$$\dot A_{vH}=\frac{1}{1+\mathrm{j}\,f/f_H},\qquad f_H=\frac{1}{2\pi RC},\qquad|\dot A_{vH}|=\frac{1}{\sqrt{1+(f/f_H)^2}},\qquad\varphi_H=-\arctan\frac{f}{f_H}$$

$f=f_H$时 −3 dB、相位滞后 45°；$f\gg f_H$时每升高 10 倍频率，增益降 20 dB。

2.3 例题 1#

(1) RC 高通电路$R=10\,\text{k}\Omega$⁠、$C=0.1\,\mu\text{F}$⁠，求$f_L$⁠，以及$f=f_L/10$⁠、$f_L$⁠、$10f_L$时的增益（dB）。(2) RC 低通电路$R=1\,\text{k}\Omega$⁠、$C=1000\,\text{pF}$⁠，求$f_H$⁠。

解：(1) $f_L=\dfrac{1}{2\pi\times10^4\times10^{-7}}\approx159\,\text{Hz}$⁠。$f=15.9\,\text{Hz}$⁠：$|A|=\frac{1}{\sqrt{1+100}}\approx0.0995$⁠，约 −20 dB；$f=159\,\text{Hz}$⁠：−3 dB；$f=1.59\,\text{kHz}$⁠：$|A|\approx0.995$⁠，约 −0.04 dB。

(2) $f_H=\dfrac{1}{2\pi\times10^3\times10^{-9}}\approx159\,\text{kHz}$⁠。

记住"10 倍频之外基本就是渐近线"：离转折频率一个十倍频，误差已不到 0.05 dB；正好在转折频率处误差最大，为 3 dB。

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三、共射电路的低频和高频响应（只看结论）⭐#

3.1 低频段：耦合电容与旁路电容#

教材 6.3.2 节把$C_e$折算到基极回路（容量除以$1+\beta$⁠），与$C_{b1}$串联得等效电容$C_1$⁠，得到两个转折频率：

$$f_{L1}=\frac{1}{2\pi C_1(R_{si}+r_{be})},\quad C_1=\frac{C_{b1}C_e}{(1+\beta)C_{b1}+C_e};\qquad f_{L2}=\frac{1}{2\pi C_{b2}(R_c+R_L)}$$

两者相差 4 倍以上时，取大的那个作为$f_L$⁠。以图 1 的电路为例：$C_1\approx0.90\,\mu\text{F}$⁠，$f_{L1}\approx68\,\text{Hz}$⁠，$f_{L2}\approx2.7\,\text{Hz}$⁠，所以$f_L\approx68\,\text{Hz}$（完整电路数值计算为约 70 Hz）。

结论：发射极旁路电容$C_e$流过的是$(1+\beta)$倍的电流，它是决定下限频率的主要因素；要降低$f_L$⁠，就加大$C_e$（以及耦合电容），或干脆用直接耦合。

3.2 高频段：极间电容与密勒效应#

高频时 BJT 用"混合 π 模型"：b′、e 之间有发射结电容$C_{b'e}$⁠，b′、c 之间有集电结电容$C_{b'c}$⁠，跨导$g_m\approx\frac{I_{EQ}}{V_T}$⁠。

$C_{b'c}$跨在输入与输出之间，而共射电路的输出是反相放大的，所以从输入端看，这个小电容被"放大"了：

$$C_{M1}=(1+g_mR_L')C_{b'c}$$

这就是密勒效应（⁠$C_{M1}$叫密勒等效电容）。图 1 的电路：$g_m\approx\frac{1.39\,\text{mA}}{26\,\text{mV}}\approx53.6\,\text{mS}$⁠，$g_mR_L'\approx80$⁠，3 pF 的$C_{b'c}$变成约 244 pF，再加上$C_{b'e}=60\,\text{pF}$⁠，输入端总电容约 304 pF，与输入回路等效电阻约 494 Ω 构成低通，$f_H=\frac{1}{2\pi RC}\approx1.06\,\text{MHz}$（完整电路数值计算约 1.04 MHz）。

结论：

• 共射电路的$f_H$主要被密勒效应限制，增益越大，密勒电容越大，$f_H$越低——增益与带宽互相制约（增益-带宽积近似为常数）。
• 共基电路基极接地，没有密勒倍增，频带最宽；共集电路密勒效应弱，频带也较宽（第 07 讲三种组态比较表中的"频率特性"一行就来自这里）。
• 管子本身的高频性能用特征频率 $f_T$衡量（⁠$|\beta|$降到 1 时的频率），$f_T\approx\beta_0f_\beta$⁠，其中$f_\beta$是$|\beta|$降到$0.707\beta_0$的频率；三者关系$f_\beta\ll f_T<f_\alpha$⁠。

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四、多级放大电路的通频带 ⭐#

多级电路总增益是各级增益（复数）的乘积，在每级的$f_H$处每级都已降了 3 dB，总共就降了$3n$ dB。所以（教材 6.7 节）：级数越多，总增益越大，但$f_L$越高、$f_H$越低，通频带比任何一级都窄。

例如两级完全相同的单极点电路，总的$f_H$只有单级的$\sqrt{\sqrt2-1}\approx0.64$倍，$f_L$是单级的约 1.55 倍。

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速记卡#

自测练习#

1. 耦合电容$C=0.47\,\mu\text{F}$⁠，它与后级$R=3.3\,\text{k}\Omega$构成高通电路，求下限频率。

答案与提示

$f_L=\frac{1}{2\pi\times3.3\times10^3\times0.47\times10^{-6}}\approx103\,\text{Hz}$⁠。

2. 某放大器中频增益 40 dB，上限频率$f_H$（单极点）。$f=f_H$和$f=10f_H$时增益大约是多少 dB？

答案与提示

$f_H$处 37 dB；$10f_H$处$40-20\lg\sqrt{101}\approx20\,\text{dB}$⁠。

3. 第 06 讲电路中输出耦合电容$C_{b2}=1\,\mu\text{F}$⁠，$R_c=R_L=3\,\text{k}\Omega$⁠，求$f_{L2}$⁠；若换成 10 μF 呢？

答案与提示

$f_{L2}=\frac{1}{2\pi\times1\,\mu\text{F}\times6\,\text{k}\Omega}\approx26.5\,\text{Hz}$⁠；10 μF 时约 2.65 Hz。

4. 某 BJT 的$\beta_0=100$⁠，$f_\beta=1\,\text{MHz}$⁠。估算$f_T$⁠。

答案与提示

$f_T\approx\beta_0f_\beta=100\,\text{MHz}$⁠。（⁠$f_\alpha=(1+\beta_0)f_\beta\approx101\,\text{MHz}$⁠，可见$f_\beta\ll f_T<f_\alpha$⁠。）

5. 共射电路$C_{b'c}=2\,\text{pF}$⁠，$g_m=40\,\text{mS}$⁠，$R_L'=2\,\text{k}\Omega$⁠，求密勒等效电容$C_{M1}$⁠。为什么说它"限制了带宽"？

答案与提示

$C_{M1}=(1+40\times10^{-3}\times2000)\times2\,\text{pF}=162\,\text{pF}$⁠。它并在输入端，与输入回路电阻构成低通，电容越大$f_H$越低。

6. 两级相同的放大电路，每级$f_L=20\,\text{Hz}$⁠、$f_H=200\,\text{kHz}$⁠，估算总的$f_L$⁠、$f_H$⁠。

答案与提示

$f_H\approx0.644\times200\,\text{kHz}\approx129\,\text{kHz}$⁠，$f_L\approx1.55\times20\,\text{Hz}\approx31\,\text{Hz}$⁠，通频带变窄。

下一讲预告#

下一讲换主角：从 BJT 转到 MOSFET，讲它的结构、工作原理和特性曲线。

👉 点击进入下一讲：第10讲（上）｜MOSFET 的结构、工作原理与特性