考研数学二·零基础讲义 专题S10（上）｜定积分：换元法与对称性技巧

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S10（上）｜定积分：换元法与对称性技巧

定积分的计算有两大类招数：一类是"换元、分部"这些通用工具（和不定积分相比，区别只在换元必须换上下限），另一类是"看对称性"的取巧技巧——奇偶性与区间再现。本篇共 12 道例题 + 8 道自测，所有结果都用 SymPy／数值积分验算过。预计用时 60–80 分钟。

本讲地图#

• 第一步：定积分换元——换元要换限，不用再"回代"。
• 第二步：奇偶函数在对称区间$[-a,a]$上的积分。
• 第三步：区间再现 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x)dx$及其典型题。
• 大纲要求：掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

前置知识#

• 专题 S09：不定积分的凑微分、换元、分部。
• 牛顿—莱布尼茨公式$\displaystyle\int_a^b f\,dx=F(b)-F(a)$⁠。

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一、定积分的换元法：换元必换限#

设$x=\varphi(t)$⁠，当$t$从$\alpha$变到$\beta$时$x$从$a$变到$b$⁠，则

$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt.$$

大白话：把"$x$的世界"整体搬到"$t$的世界"，被积函数、$dx$⁠、上下限三样都要换；新积分算完直接就是答案，不用把$t$换回$x$⁠。

例 1 求$\displaystyle\int_0^1 x\mathrm e^{x^2}\,dx$⁠。

解：令$u=x^2$⁠，$du=2x\,dx$⁠，$x=0\to u=0$⁠，$x=1\to u=1$⁠：$\dfrac12\displaystyle\int_0^1\mathrm e^u du=\dfrac{\mathrm e-1}{2}$⁠。

例 2 求$\displaystyle\int_0^4\frac{dx}{1+\sqrt x}$⁠。

解：令$t=\sqrt x$⁠，$x=t^2$⁠，$dx=2t\,dt$⁠，限$0\to2$⁠：$\displaystyle\int_0^2\frac{2t}{1+t}dt=2\int_0^2\Big(1-\frac1{1+t}\Big)dt=2(2-\ln3)=4-2\ln3$⁠。

例 3 求$\displaystyle\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx$⁠。

解：令$x=2\sin t$⁠，$t:0\to\dfrac\pi2$⁠，$\sqrt{4-x^2}=2\cos t$⁠：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}4\cos^2t\,dt=4\cdot\frac\pi4=\pi$⁠。（几何上就是半径 2 的四分之一圆面积$\pi$⁠，一眼可验。）

💡 看到$\sqrt{a^2-x^2}$的定积分，先想它是不是圆的一部分。

例 4 求$\displaystyle\int_0^{\ln2}\sqrt{\mathrm e^x-1}\,dx$⁠。

解：令$t=\sqrt{\mathrm e^x-1}$⁠，$x=\ln(1+t^2)$⁠，$dx=\dfrac{2t}{1+t^2}dt$⁠，限$0\to1$⁠：$\displaystyle\int_0^1\frac{2t^2}{1+t^2}dt=2\int_0^1\Big(1-\frac1{1+t^2}\Big)dt=2-\frac\pi2$⁠。

⚠️ 易错：换元后忘了换限，或者换限时$t$的取值范围不单调（要保证$\varphi$在区间上连续可导，且$t$的范围对应$x$的范围）。

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二、奇偶性：对称区间上的"免费午餐"#

若$f$在$[-a,a]$上连续：

• $f$为奇函数：$\displaystyle\int_{-a}^a f\,dx=0$⁠；
• $f$为偶函数：$\displaystyle\int_{-a}^a f\,dx=2\int_0^a f\,dx$⁠。

大白话：奇函数图像关于原点对称，$x$轴上方与下方的面积一正一负，正好抵消；偶函数左右一样，算一半乘 2。

图 1：奇函数$y=x^3$在$[-1.2,1.2]$上，蓝色与橙色两块面积大小相等、符号相反。

一般结论：任何$f$都可拆成偶部加奇部，$\displaystyle\int_{-a}^a f\,dx=\int_0^a\big[f(x)+f(-x)\big]dx$⁠。

例 5 求$\displaystyle\int_{-1}^1 x^3\cos x\,dx$⁠。

解：$x^3\cos x$是奇函数，结果$0$⁠。

例 6 求$\displaystyle\int_{-1}^1\big(x+\sqrt{1-x^2}\big)^2dx$⁠。

解：展开$x^2+2x\sqrt{1-x^2}+1-x^2=1+2x\sqrt{1-x^2}$⁠，后一项为奇函数积分为 0，所以结果$\displaystyle\int_{-1}^1 1\,dx=2$⁠。

例 7 求$\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{dx}{1+\sin x}$⁠。

解：被积函数没有奇偶性，用$\displaystyle\int_{-a}^af=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx$⁠：$\dfrac1{1+\sin x}+\dfrac1{1-\sin x}=\dfrac2{\cos^2x}$⁠，所以$\displaystyle\int_0^{\pi/4}2\sec^2x\,dx=2\tan\dfrac\pi4=2$⁠。

例 8 求$\displaystyle\int_{-1}^1\frac{x^2}{1+\mathrm e^x}\,dx$⁠。

解：$\dfrac1{1+\mathrm e^x}+\dfrac1{1+\mathrm e^{-x}}=1$⁠，所以$\displaystyle\int_{-1}^1\frac{x^2}{1+\mathrm e^x}dx=\int_0^1x^2\cdot1\,dx=\dfrac13$⁠。

💡 含$\mathrm e^x$⁠、$\mathrm e^{-x}$的"配对型"（⁠$\dfrac1{1+\mathrm e^x}$⁠、$\dfrac1{1+a^x}$⁠）在对称区间上是常考结构：$f(x)+f(-x)$往往是常数。

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三、区间再现：$x\to a+b-x$#

令$x=a+b-t$⁠，则

$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-x)\,dx.$$

大白话：把区间"左右翻转"，积分值不变。如果翻转后的被积函数与原来相加能化简，就能"解方程"。常见：区间$[0,\tfrac\pi2]$上$\sin\leftrightarrow\cos$⁠，区间$[0,\pi]$上$x\to\pi-x$⁠。

例 9 求$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$⁠。

解：令$x=\dfrac\pi2-t$⁠，得$I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$⁠。两式相加$2I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}1\,dx=\dfrac\pi2$⁠，所以$I=\dfrac\pi4$⁠。

例 10 求$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^3x}{\sin^3x+\cos^3x}dx$⁠。

解：同样的翻转，分子变成$\cos^3x$⁠，相加得$\dfrac\pi2$⁠，所以结果$\dfrac\pi4$⁠。（一般地，$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^nx}{\sin^nx+\cos^nx}dx=\dfrac\pi4$⁠。）

例 11 求$\displaystyle\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx$⁠。

解：令$x=\pi-t$⁠：$I=\displaystyle\int_0^\pi\frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2x}dx$⁠。相加$2I=\pi\displaystyle\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2x}dx=\pi\big[-\arctan(\cos x)\big]_0^\pi=\pi\cdot\dfrac\pi2$⁠，所以$I=\dfrac{\pi^2}{4}$⁠。

💡 模板：$\displaystyle\int_0^\pi xf(\sin x)\,dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\,dx$⁠。含$x\sin x$且另一部分只与$\sin x$⁠、$\cos^2x$有关时直接套用。

例 12 求$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln\sin x\,dx$⁠。

解：记$I$⁠。区间再现得$I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln\cos x\,dx$⁠，相加$2I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln\frac{\sin2x}2dx=\int_0^{\pi/2}\ln\sin2x\,dx-\frac\pi2\ln2$⁠。而$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln\sin2x\,dx\overset{u=2x}=\frac12\int_0^\pi\ln\sin u\,du=I$（由$\sin$在$[0,\pi]$上关于$\frac\pi2$对称）。所以$2I=I-\dfrac\pi2\ln2$⁠，$I=-\dfrac\pi2\ln2$⁠。

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速记卡#

• 定积分换元：换被积函数、$dx$⁠、上下限，算完不回代。
• 对称区间先看奇偶；没有奇偶性时用$f(x)+f(-x)$⁠。
• $\dfrac1{1+\mathrm e^x}$型：$f(x)+f(-x)=1$⁠。
• 区间再现：$x\to a+b-x$⁠，相加解方程；$[0,\pi]$上$\displaystyle\int xf(\sin x)=\frac\pi2\int f(\sin x)$⁠。

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自测 8 题#

1. 求$\displaystyle\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$⁠。

答案与提示

$\left[\sqrt{1+x^2}\right]_0^1=\sqrt2-1$⁠。

2. 求$\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\big(x^3\cos x+\sin^2x\big)dx$⁠。

答案与提示

$x^3\cos x$为奇函数积分为 0；$\sin^2x$为偶函数，$2\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx=2\cdot\dfrac\pi4=\dfrac\pi2$⁠。

3. 求$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin x\,dx$⁠。

答案与提示

奇函数，$0$⁠。

4. 求$\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1}{1+\mathrm e^x}dx$⁠。

答案与提示

$f(x)+f(-x)=1$⁠，结果$\displaystyle\int_0^11\,dx=1$⁠。

5. 求$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$⁠。

答案与提示

与例 9 配对，$\dfrac\pi4$⁠。

6. 求$\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$⁠。

答案与提示

四分之一单位圆，$\dfrac\pi4$⁠。

7. 设$f$连续，证明$\displaystyle\int_0^{a}f(x)dx=\int_0^af(a-x)dx$⁠。

答案与提示

令$x=a-t$⁠，$dx=-dt$⁠，限$a\to0$⁠，交换上下限抵消负号即得。

8. 求$\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx$⁠。

答案与提示

用模板：$\dfrac\pi2\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,dx=\pi$（也可分部验证）。

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下一篇预告#

专题 S10（下）讲"点火公式（华里士公式）与周期函数积分"：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$的快速算法，$\displaystyle\int_0^{\pi}$⁠、$\displaystyle\int_0^{2\pi}$的化简，周期函数与绝对值型积分。

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