考研数学二·零基础讲义 专题S10（下）｜定积分：点火公式与周期函数积分

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S10（下）｜定积分：点火公式与周期函数积分

三角函数的幂在$[0,\frac\pi2]$上的积分有一个"秒算公式"——点火公式（华里士公式）；再配合$[0,\pi]$⁠、$[0,2\pi]$的化简和周期函数的性质，大量看起来很吓人的积分都能口算。本篇共 14 道例题 + 8 道自测，所有结果用 SymPy／数值积分验算过。预计用时 60–80 分钟。

本讲地图#

• 第一步：点火公式——$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$的快速算法。
• 第二步：扩展到$[0,\pi]$⁠、$[0,2\pi]$，以及$x=\sin t$代换后用点火公式。
• 第三步：周期函数与绝对值型积分。
• 大纲要求：会计算定积分，这类技巧是数二必备的"提速工具"。

前置知识#

• 专题 S10（上）：换元、奇偶性、区间再现。
• 倍角公式$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$⁠。

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一、点火公式（华里士公式）#

记$I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$（两者相等，由区间再现得到）。则

$$I_n=\begin{cases}\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac12\cdot\dfrac\pi2,&n\text{ 为偶数},\\[2mm]\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac23\cdot1,&n\text{ 为奇数}(n\ge3).\end{cases}$$

大白话：从$\dfrac{n-1}n$开始，分子分母每次各减 2，一路乘到底；偶数次最后以$\dfrac12$结束并多乘一个$\dfrac\pi2$⁠，奇数次最后以$\dfrac23$结束，不带$\pi$⁠。

为什么对：分部积分得递推$I_n=\dfrac{n-1}nI_{n-2}$⁠，而$I_0=\dfrac\pi2$⁠，$I_1=1$⁠。

图 1：$\sin^nx$在$[0,\frac\pi2]$上，$n$越大曲线越贴近下边和右边，面积越小；$I_n$恰好逐项减小。

例 1 求$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^6x\,dx$⁠。

解：偶数：$\dfrac56\cdot\dfrac34\cdot\dfrac12\cdot\dfrac\pi2=\dfrac{5\pi}{32}$⁠。

例 2 求$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^7x\,dx$⁠。

解：奇数：$\dfrac67\cdot\dfrac45\cdot\dfrac23=\dfrac{16}{35}$⁠。

例 3 求$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2x\cos^4x\,dx$⁠。

解：$\sin^2x\cos^4x=\cos^4x-\cos^6x$⁠，$I_4=\dfrac{3\pi}{16}$⁠，$I_6=\dfrac{5\pi}{32}$⁠，差为$\dfrac\pi{32}$⁠。

💡 只要是$\sin$的幂乘$\cos$的幂，且一方是偶数次，把它用$\sin^2=1-\cos^2$化成单一函数的各次幂之差。

⚠️ 易错：点火公式只适用于$[0,\frac\pi2]$。区间变了先化回来（见下一节），不要直接套。

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二、区间扩展：$[0,\pi]$⁠、$[-\frac\pi2,\frac\pi2]$⁠、$[0,2\pi]$#

利用$\sin^nx$⁠、$\cos^nx$的对称性：

例 4 求$\displaystyle\int_0^\pi\sin^4x\,dx$⁠。

解：$2I_4=2\cdot\dfrac34\cdot\dfrac12\cdot\dfrac\pi2=\dfrac{3\pi}8$⁠。

例 5 求$\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^4x\,dx$⁠。

解：$4I_4=4\cdot\dfrac{3\pi}{16}=\dfrac{3\pi}4$⁠。

例 6 求$\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^5x\,dx$⁠。

解：$2I_5=2\cdot\dfrac45\cdot\dfrac23=\dfrac{16}{15}$⁠。

例 7 求$\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^{10}x\,dx$⁠。

解：$4I_{10}=4\cdot\dfrac9{10}\cdot\dfrac78\cdot\dfrac56\cdot\dfrac34\cdot\dfrac12\cdot\dfrac\pi2=\dfrac{63\pi}{128}$⁠。

例 8 求$\displaystyle\int_0^\pi x\sin^6x\,dx$⁠。

解：用 S10（上）的模板$\displaystyle\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\dfrac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx$⁠：$\dfrac\pi2\cdot2I_6=\pi\cdot\dfrac{5\pi}{32}=\dfrac{5\pi^2}{32}$⁠。

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三、三角代换后用点火公式#

例 9 求$\displaystyle\int_0^1x^2\sqrt{1-x^2}\,dx$⁠。

解：令$x=\sin t$⁠，$t:0\to\dfrac\pi2$⁠：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2t\cos^2t\,dt=I_2-I_4=\dfrac\pi4-\dfrac{3\pi}{16}=\dfrac\pi{16}$⁠。

例 10 求$\displaystyle\int_0^2x^2\sqrt{4-x^2}\,dx$⁠。

解：令$x=2\sin t$⁠：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}4\sin^2t\cdot2\cos t\cdot2\cos t\,dt=16\int_0^{\pi/2}\sin^2t\cos^2t\,dt=16\cdot\dfrac\pi{16}=\pi$⁠。

例 11 求$\displaystyle\int_0^1(1-x^2)^{5/2}dx$⁠。

解：令$x=\sin t$⁠，$(1-x^2)^{5/2}=\cos^5t$⁠，$dx=\cos t\,dt$⁠：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^6t\,dt=\dfrac{5\pi}{32}$⁠。

例 12 求$\displaystyle\int_0^1x^3\sqrt{1-x^2}\,dx$⁠。

解：令$x=\sin t$⁠：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^3t\cos^2t\,dt=I_3-I_5=\dfrac23-\dfrac8{15}=\dfrac2{15}$⁠。

💡 含$\sqrt{a^2-x^2}$⁠、区间$[0,a]$的积分，$x=a\sin t$后恰好落在$[0,\frac\pi2]$上，点火公式立刻可用。

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四、周期函数与绝对值型积分#

若$f$是以$T$为周期的连续函数，则对任意$a$⁠：

$$\int_a^{a+T}f(x)\,dx=\int_0^Tf(x)\,dx,\qquad\int_0^{nT}f(x)\,dx=n\int_0^Tf(x)\,dx.$$

大白话：周期函数转一整圈，不管从哪里开始，面积都一样；转$n$圈就是$n$倍。

例 13 求$\displaystyle\int_0^{5\pi}|\sin x|\,dx$⁠。

解：$|\sin x|$的周期是$\pi$⁠，一个周期面积$2$⁠，共 5 个周期：$10$⁠。

例 14 求$\displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos x}\,dx$⁠。

解：$1-\cos x=2\sin^2\dfrac x2$⁠，$\sqrt{1-\cos x}=\sqrt2\left|\sin\dfrac x2\right|$⁠，在$[0,2\pi]$上$\sin\dfrac x2\ge0$⁠：$\sqrt2\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin\dfrac x2dx=\sqrt2\cdot4=4\sqrt2$⁠。

例 15 求$\displaystyle\int_0^{100\pi}\sqrt{1-\cos2x}\,dx$⁠。

解：$\sqrt{1-\cos2x}=\sqrt2|\sin x|$⁠，周期$\pi$⁠，共 100 个周期：$\sqrt2\cdot100\cdot2=200\sqrt2$⁠。

⚠️ 易错：根号里化成平方后一定要带绝对值，再按符号分段（或用周期性）。

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速记卡#

• 点火公式：只用于$[0,\frac\pi2]$⁠；偶数次带$\frac\pi2$⁠，奇数次不带。
• $[0,\pi]$的$\sin^n$⁠：$2I_n$⁠；$[0,2\pi]$的偶数次幂：$4I_n$⁠，奇数次：$0$⁠。
• $\sqrt{a^2-x^2}$与区间$[0,a]$⁠：$x=a\sin t$后点火。
• 周期函数：$\int_a^{a+T}=\int_0^T$⁠；根号化简别丢绝对值。

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自测 8 题#

1. 求$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^8x\,dx$⁠。

答案与提示

$\dfrac78\cdot\dfrac56\cdot\dfrac34\cdot\dfrac12\cdot\dfrac\pi2=\dfrac{35\pi}{256}$⁠。

2. 求$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^9x\,dx$⁠。

答案与提示

$\dfrac89\cdot\dfrac67\cdot\dfrac45\cdot\dfrac23=\dfrac{128}{315}$⁠。

3. 求$\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^3x\,dx$⁠。

答案与提示

奇数次，关于$x=\frac\pi2$反对称，结果$0$⁠。

4. 求$\displaystyle\int_0^1x^2(1-x^2)^{3/2}dx$的化简形式（只需化成$\sin,\cos$的幂并写出点火公式的结果）。

答案与提示

$x=\sin t$⁠：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2t\cos^4t\,dt=\dfrac\pi{32}$⁠。

5. 求$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^5x\,dx$⁠。

答案与提示

$\dfrac45\cdot\dfrac23=\dfrac8{15}$⁠。

6. 求$\displaystyle\int_0^{3\pi}|\cos x|\,dx$⁠。

答案与提示

周期$\pi$⁠，每周期面积 2，共 3 个：$6$⁠。

7. 求$\displaystyle\int_0^{\pi}\sqrt{1-\sin^2x}\,dx$⁠。

答案与提示

$=\displaystyle\int_0^\pi|\cos x|dx=2$⁠。

8. 求$\displaystyle\int_{-1}^1x^4\sqrt{1-x^2}\,dx$的值。

答案与提示

偶函数，$2\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4t\cos^2t\,dt=2(I_4-I_6)=2\Big(\dfrac{3\pi}{16}-\dfrac{5\pi}{32}\Big)=\dfrac\pi{16}$⁠。

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下一篇预告#

专题 S11 讲"变限积分函数专项"：$F(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)dt$的求导公式、含参变限积分的极限（洛必达）、单调性与极值，以及含变限积分的方程。