考研数学二·零基础讲义 专题S09（上）｜不定积分：基本公式、凑微分与换元

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S09（上）｜不定积分：基本公式、凑微分与换元

不定积分是整个积分部分的地基：定积分、变限积分、反常积分、微分方程，几乎每一步都要先"求出原函数"。本篇先把工具箱摆好——基本公式表、第一类换元（凑微分）、第二类换元（根式代换与三角代换），10 道例题 + 8 道自测，每个原函数都用 SymPy 求导还原验算过。预计用时 60–80 分钟。

本讲地图#

• 第一步：背熟基本公式——积分是求导的逆运算，公式表就是求导表倒过来。
• 第二步：凑微分（第一类换元）——看出"被积函数里藏着一个函数和它的导数"。
• 第三步：第二类换元——被积函数有根号时，用代换把根号"脱掉"。
• 第四步：三角代换三兄弟——$\sqrt{a^2-x^2}$⁠、$\sqrt{x^2+a^2}$⁠、$\sqrt{x^2-a^2}$⁠。
• 大纲要求：掌握不定积分的基本公式、换元积分法与分部积分法（分部见下篇）。

前置知识#

• 导数公式与复合函数求导（第 05 讲）。
• 不定积分的定义：$F'(x)=f(x)$则$\int f(x)\,dx=F(x)+C$（第 08 讲）。

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一、先把基本公式背熟#

大白话：求积分就是"倒着求导"。你问自己："什么函数求导以后等于它？"

必须脱口而出的公式（均省略$+C$⁠）：

• $\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$（⁠$n\ne-1$⁠），$\int \dfrac1x dx=\ln|x|$⁠。
• $\int \mathrm e^x dx=\mathrm e^x$⁠，$\int a^x dx=\dfrac{a^x}{\ln a}$⁠。
• $\int\sin x\,dx=-\cos x$⁠，$\int\cos x\,dx=\sin x$⁠。
• $\int \sec^2x\,dx=\tan x$⁠，$\int\csc^2x\,dx=-\cot x$⁠。
• $\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|$⁠，$\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|$⁠。
• $\int\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|$⁠，$\int\csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|$⁠。
• $\int\dfrac{dx}{1+x^2}=\arctan x$⁠，$\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x$⁠。
• $\int\dfrac{dx}{a^2+x^2}=\dfrac1a\arctan\dfrac xa$⁠，$\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\dfrac xa$⁠。

⚠️ 易错点：① 不定积分结果必须写$+C$⁠；② $\int\dfrac{dx}{x}$是$\ln|x|$⁠，要带绝对值；③ 验算永远用"求导"：对结果求导，应得到被积函数。

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二、第一类换元：凑微分#

大白话：被积函数里如果能找到一个"内层函数$u(x)$"，并且恰好还有一个$u'(x)$的身影，就把$u'(x)dx$合并成$du$⁠，积分就变成关于$u$的简单积分。

$$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=\int f(u)\,du\Big|_{u=\varphi(x)}.$$

常用"凑法"口诀（见到左边，想到右边）：

• $x\,dx=\tfrac12 d(x^2)$⁠；$\dfrac{dx}{\sqrt x}=2\,d(\sqrt x)$⁠；$\dfrac{dx}{x}=d(\ln x)$⁠。
• $\mathrm e^x dx=d(\mathrm e^x)$⁠；$\sin x\,dx=-d(\cos x)$⁠；$\cos x\,dx=d(\sin x)$⁠。
• $\dfrac{dx}{1+x^2}=d(\arctan x)$⁠；$\sec^2x\,dx=d(\tan x)$⁠。

例 1 求$\displaystyle\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$⁠。

解：$x\,dx=\tfrac12d(1+x^2)$⁠，所以原式$=\dfrac12\displaystyle\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=\dfrac12\ln(1+x^2)+C$⁠。（求导还原：$\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{1+x^2}$ ✓）

例 2 求$\displaystyle\int\frac{\mathrm e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\,dx$⁠。

解：$\dfrac{dx}{\sqrt x}=2\,d(\sqrt x)$⁠，原式$=2\displaystyle\int\mathrm e^{\sqrt x}d(\sqrt x)=2\mathrm e^{\sqrt x}+C$⁠。

例 3 求$\displaystyle\int\sin^3x\,dx$⁠。

解：奇次幂拆出一个$\sin x\,dx=-d(\cos x)$⁠：$\sin^3x\,dx=(1-\cos^2x)\sin x\,dx=-(1-\cos^2x)\,d(\cos x)$⁠。令$u=\cos x$⁠：$-\displaystyle\int(1-u^2)du=-u+\dfrac{u^3}{3}$⁠。结果$-\cos x+\dfrac{\cos^3x}{3}+C$⁠。

💡 三角函数奇次幂：$\sin$或$\cos$的奇次幂，拆一个出来凑微分，剩下的偶次幂用$\sin^2+\cos^2=1$转换。

例 4 求$\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x}$⁠。

解：$\dfrac{dx}{x}=d(\ln x)$⁠，原式$=\displaystyle\int\frac{d(\ln x)}{\ln x}=\ln|\ln x|+C$⁠。

例 5 求$\displaystyle\int\frac{dx}{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}$⁠。

解：上下同乘$\mathrm e^x$⁠：$\dfrac{\mathrm e^x}{\mathrm e^{2x}+1}dx=\dfrac{d(\mathrm e^x)}{1+(\mathrm e^x)^2}$⁠，所以$=\arctan\mathrm e^x+C$⁠。

例 6 求$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+2x+5}$⁠。

解：配方$x^2+2x+5=(x+1)^2+4$⁠，令$u=x+1$⁠：$\displaystyle\int\frac{du}{u^2+2^2}=\dfrac12\arctan\dfrac u2$⁠。结果$\dfrac12\arctan\dfrac{x+1}{2}+C$⁠。

⚠️ 易错点：分母是二次三项式且判别式小于 0（没有实根）时，先配方再套$\arctan$公式，别忘前面的$\dfrac1a$⁠。

三角函数的偶次幂：降幂#

例 7（偶次幂）求$\displaystyle\int\cos^2x\,dx$⁠。

解：$\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$⁠，原式$=\dfrac x2+\dfrac{\sin2x}{4}+C$⁠。

图 1：直角三角形（斜边$a$⁠、对边$x=a\sin t$⁠）——角$t$变化时，三边始终满足勾股定理，回代时就看这个三角形

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三、第二类换元：把根号脱掉#

大白话：凑微分是"把一块看成整体"，第二类换元反过来——主动设$x=\varphi(t)$，让根号消失。

换元三步：① 设$x=\varphi(t)$并算$dx$⁠；② 化简后积分；③ 回代——用直角三角形把$t$换回$x$（下图就是$x=a\sin t$的三角形）。

例 8 求$\displaystyle\int\sqrt{4-x^2}\,dx$⁠。

解：令$x=2\sin t$⁠，$dx=2\cos t\,dt$⁠，$\sqrt{4-x^2}=2\cos t$（取$|t|\le\pi/2$⁠）。原式$=4\displaystyle\int\cos^2t\,dt=2t+\sin2t=2t+2\sin t\cos t$⁠。回代$\sin t=\dfrac x2$⁠，$\cos t=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{2}$⁠：

$$2\arcsin\frac x2+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C.$$

（几何意义：半径为 2 的圆的面积的一部分——这个结果在第 12 讲求面积时会反复出现。）

例 9 求$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$⁠。

解：令$x=\tan t$⁠，$dx=\sec^2t\,dt$⁠，$\sqrt{x^2+1}=\sec t$⁠。原式$=\displaystyle\int\frac{\sec^2t}{\tan^2t\sec t}dt=\int\frac{\cos t}{\sin^2t}dt=-\frac1{\sin t}$⁠。由$\tan t=x$得$\sin t=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$⁠，结果$-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C$⁠。

例 10 求$\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt x}$⁠。

解：令$t=\sqrt x$⁠，$x=t^2$⁠，$dx=2t\,dt$⁠：$\displaystyle\int\frac{2t}{1+t}dt=2\int\Big(1-\frac1{1+t}\Big)dt=2t-2\ln(1+t)$⁠。回代：$2\sqrt x-2\ln(1+\sqrt x)+C$⁠。

⚠️ 易错点：① 换元后$dx$别漏乘；② 回代要回到原变量$x$（定积分换元则不用回代，改上下限）；③ 三角代换要说明取值范围，保证开根号后符号正确。

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速记卡#

• 看到$x\,dx$⁠、$\dfrac{dx}{x}$⁠、$\mathrm e^xdx$⁠、$\sin x\,dx$⁠、$\cos x\,dx$⁠：先想凑微分。
• 二次三项式没实根：配方 → $\arctan$⁠。
• 三角函数奇次幂拆一个凑微分，偶次幂降幂。
• 根号$\sqrt{a^2-x^2}$用$\sin$⁠，$\sqrt{x^2+a^2}$用$\tan$⁠，$\sqrt{x^2-a^2}$用$\sec$⁠；一次根式直接设$t$⁠。
• 验算：对结果求导看能否还原。

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自测 8 题#

1. 求$\displaystyle\int\tan x\,dx$⁠。

答案与提示

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$⁠，$\sin x\,dx=-d\cos x$⁠，结果$-\ln|\cos x|+C$⁠。

2. 求$\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{9-4x^2}}$⁠。

答案与提示

令$u=2x$⁠：$\dfrac12\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{3^2-u^2}}=\dfrac12\arcsin\dfrac{2x}{3}+C$⁠。

3. 求$\displaystyle\int x\sqrt{x-1}\,dx$⁠。

答案与提示

令$t=x-1$⁠：$\displaystyle\int(t+1)\sqrt t\,dt=\dfrac25t^{5/2}+\dfrac23t^{3/2}$⁠，即$\dfrac25(x-1)^{5/2}+\dfrac23(x-1)^{3/2}+C$⁠。

4. 求$\displaystyle\int\sec x\,dx$⁠。

答案与提示

乘$\dfrac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}$⁠，分子是$d(\sec x+\tan x)$⁠，结果$\ln|\sec x+\tan x|+C$⁠。

5. 求$\displaystyle\int\frac{\sin x\cos x}{1+\sin^2x}\,dx$⁠。

答案与提示

$\cos x\,dx=d(\sin x)$⁠，$u=\sin x$⁠：$\displaystyle\int\frac{u}{1+u^2}du=\dfrac12\ln(1+\sin^2x)+C$⁠。

6. 求$\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}\ (x>1)$⁠。

答案与提示

令$x=\sec t$⁠：$\displaystyle\int\frac{\sec t\tan t}{\sec t\tan t}dt=t=\arccos\dfrac1x+C$（等价于$\operatorname{arcsec}x+C$⁠）。

7. 求$\displaystyle\int x\mathrm e^{x^2}\,dx$⁠。

答案与提示

$x\,dx=\tfrac12d(x^2)$⁠，结果$\dfrac12\mathrm e^{x^2}+C$⁠。

8. 求$\displaystyle\int\frac{dx}{1+\mathrm e^x}$⁠。

答案与提示

$\dfrac1{1+\mathrm e^x}=1-\dfrac{\mathrm e^x}{1+\mathrm e^x}$⁠，结果$x-\ln(1+\mathrm e^x)+C$⁠。

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下一篇预告#

专题 S09（下）讲"分部积分与有理函数积分"：怎样选$u$⁠、$dv$（"反对幂指三"），循环型分部积分，部分分式分解，以及三角有理式的万能代换。

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