考研数学二·零基础讲义 专题S09（下）｜不定积分：分部积分、有理函数与三角有理式

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S09（下）｜不定积分：分部积分、有理函数与三角有理式

上篇的凑微分与换元解决"复合型"；本篇处理两类乘积型和分式型：分部积分（两种不同函数相乘）、有理函数的部分分式分解、三角有理式。共 13 道例题 + 8 道自测，所有原函数都用 SymPy 求导还原验算过。预计用时 60–80 分钟。

本讲地图#

• 第一步：分部积分公式 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$与"反对幂指三"选$u$口诀。
• 第二步：循环型分部——$\mathrm e^x\sin x$这类积两次又回到自己，解方程。
• 第三步：有理函数——分母因式分解 → 部分分式 → 逐项积分。
• 第四步：三角有理式——$\tan\dfrac x2$万能代换及更简便的拆法。
• 大纲要求：掌握不定积分的分部积分法，会求简单有理函数的积分。

前置知识#

• 上篇：基本公式、凑微分与换元（专题 S09 上）。
• 乘积求导公式$(uv)'=u'v+uv'$⁠。

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一、分部积分：乘积求导的逆运算#

由$(uv)'=u'v+uv'$两边积分得

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

大白话：积分不好算时，把"一部分"当成$v$的微分、先积出来，换成一个更好算的积分。下图说明它的几何含义：整个长方形$uv$ = 左边橙块$\int u\,dv$ + 下方蓝块$\int v\,du$⁠。

图 1：蓝块$\int v\,du$与橙块$\int u\,dv$拼成整个长方形$uv$（两块交替闪烁）

选$u$的口诀"反对幂指三"：优先选前面的当$u$（求导后变简单），后面的凑进$dv$⁠：

反三角函数 → 对数函数 → 幂函数 → 指数函数 → 三角函数。

例 1 求$\displaystyle\int x\mathrm e^x\,dx$⁠。

解：$u=x$⁠，$dv=\mathrm e^xdx$⁠，$v=\mathrm e^x$⁠：$x\mathrm e^x-\displaystyle\int\mathrm e^xdx=(x-1)\mathrm e^x+C$⁠。

例 2 求$\displaystyle\int x^2\mathrm e^x\,dx$⁠。

解：$u=x^2$⁠：$x^2\mathrm e^x-2\displaystyle\int x\mathrm e^xdx$⁠，再用例 1：$(x^2-2x+2)\mathrm e^x+C$⁠。

💡 幂函数次数是$n$⁠，就分部$n$次，每次降一次。

例 3 求$\displaystyle\int x\ln x\,dx$⁠。

解：对数在"反对幂指三"里靠前，取$u=\ln x$⁠，$dv=x\,dx$⁠，$v=\dfrac{x^2}2$⁠：$\dfrac{x^2}{2}\ln x-\displaystyle\int\dfrac x2dx=\dfrac{x^2}2\ln x-\dfrac{x^2}4+C$⁠。

例 4 求$\displaystyle\int\arctan x\,dx$⁠。

解：看似只有一个函数，其实$dv=dx$（⁠$v=x$⁠）：$x\arctan x-\displaystyle\int\dfrac{x}{1+x^2}dx=x\arctan x-\dfrac12\ln(1+x^2)+C$⁠。

例 5（循环型）求$\displaystyle\int\mathrm e^x\sin x\,dx$⁠。

解：记$I$⁠。第一次：$I=\mathrm e^x\sin x-\displaystyle\int\mathrm e^x\cos x\,dx$⁠；再分部一次：$\displaystyle\int\mathrm e^x\cos x\,dx=\mathrm e^x\cos x+I$⁠。于是$I=\mathrm e^x\sin x-\mathrm e^x\cos x-I$⁠，移项得

$$I=\frac{\mathrm e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C.$$

⚠️ 易错点：循环型两次分部必须保持同样的选法（两次都让$\mathrm e^x$进$dv$⁠），否则会绕回原题；解出$I$后别忘$+C$⁠。

例 6 求$\displaystyle\int x\cos2x\,dx$⁠。

解：$u=x$⁠，$v=\dfrac{\sin2x}2$⁠：$\dfrac{x\sin2x}{2}-\dfrac12\displaystyle\int\sin2x\,dx=\dfrac{x\sin2x}2+\dfrac{\cos2x}4+C$⁠。

例 7 求$\displaystyle\int\ln^2x\,dx$⁠。

解：$u=\ln^2x$⁠：$x\ln^2x-2\displaystyle\int\ln x\,dx=x\ln^2x-2(x\ln x-x)=x\ln^2x-2x\ln x+2x+C$⁠。

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二、有理函数：部分分式#

大白话：分式$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$积不动，就把它拆成若干简单分式之和。

步骤：① 若分子次数 ≥ 分母次数，先做多项式除法；② 分母因式分解；③ 按因式类型设待定系数：

• 一次因式$(x-a)$⁠：$\dfrac{A}{x-a}$⁠；重因式$(x-a)^2$⁠：$\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}$⁠；
• 不可分二次因式$(x^2+px+q)$⁠：$\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$⁠。

④ 通分比较系数（或代特殊值）；⑤ 逐项积分。

例 8 求$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-3x+2}$⁠。

解：$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$⁠，$\dfrac1{(x-1)(x-2)}=\dfrac1{x-2}-\dfrac1{x-1}$⁠。积分$\ln\left|\dfrac{x-2}{x-1}\right|+C$⁠。

例 9 求$\displaystyle\int\frac{dx}{x(x^2+1)}$⁠。

解：$\dfrac1{x(x^2+1)}=\dfrac1x-\dfrac{x}{x^2+1}$⁠。积分$\ln|x|-\dfrac12\ln(1+x^2)+C$⁠。

例 10 求$\displaystyle\int\frac{3x+2}{x(x+1)^2}\,dx$⁠。

解：设$\dfrac{3x+2}{x(x+1)^2}=\dfrac Ax+\dfrac B{x+1}+\dfrac C{(x+1)^2}$⁠。令$x=0$得$A=2$⁠；令$x=-1$得$C=1$⁠；比较$x^2$项系数$A+B=0$⁠，$B=-2$⁠。积分：

$$2\ln|x|-2\ln|x+1|-\frac1{x+1}+C.$$

（SymPy 的 apart 给出同样的拆分$\dfrac2x-\dfrac2{x+1}+\dfrac1{(x+1)^2}$⁠。）

⚠️ 易错点：重因式必须"每一次幂都设一项"，漏设$\dfrac B{x+1}$会无解；$\int\dfrac{dx}{(x+1)^2}=-\dfrac1{x+1}$不是对数。

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三、三角有理式与两个小技巧#

万能代换：$t=\tan\dfrac x2$⁠，则$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$⁠，$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$⁠，$dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}$⁠。任何三角有理式都化为有理函数，但计算量大，能不用就不用。

例 11 求$\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sin x}$⁠。

解（不用万能代换）：乘$\dfrac{1-\sin x}{1-\sin x}$⁠：$\dfrac{1-\sin x}{\cos^2x}=\sec^2x-\sec x\tan x$⁠，积分$\tan x-\sec x+C$⁠。

例 12（必须万能代换）求$\displaystyle\int\frac{dx}{2+\cos x}$⁠。

解：$t=\tan\dfrac x2$⁠：$\displaystyle\int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int\frac{2\,dt}{t^2+3}=\frac2{\sqrt3}\arctan\frac t{\sqrt3}$⁠。结果$\dfrac2{\sqrt3}\arctan\dfrac{\tan(x/2)}{\sqrt3}+C$（在$(-\pi,\pi)$内成立）。

一个漂亮的"配对"技巧#

例 13 求$\displaystyle\int\frac{x\mathrm e^x}{(1+x)^2}\,dx$⁠。

解：把$\dfrac{x}{(1+x)^2}=\dfrac1{1+x}-\dfrac1{(1+x)^2}$⁠，分部后$\displaystyle\int\frac{\mathrm e^x}{1+x}dx-\int\frac{\mathrm e^x}{(1+x)^2}dx$⁠，其中$\displaystyle\int\frac{\mathrm e^x}{1+x}dx=\frac{\mathrm e^x}{1+x}+\int\frac{\mathrm e^x}{(1+x)^2}dx$⁠，两项抵消，结果$\dfrac{\mathrm e^x}{1+x}+C$⁠。

💡 看到$\mathrm e^x$乘以带$\dfrac1{1+x}$⁠、$\dfrac1{(1+x)^2}$的式子，往往分部后两项相消。

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速记卡#

• 分部积分：反对幂指三，靠前的当$u$⁠；幂次$n$就分部$n$次。
• 循环型：两次分部、选法一致、解方程；结果带$\dfrac12$⁠。
• 有理函数：先除后分解；重因式每次幂设一项；二次因式设$Bx+C$⁠。
• 三角有理式：先试凑微分/乘共轭，万能代换是最后手段。
• 验算：对结果求导。

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自测 8 题#

1. 求$\displaystyle\int x\sin x\,dx$⁠。

答案与提示

$-x\cos x+\sin x+C$⁠。

2. 求$\displaystyle\int x^2\ln x\,dx$⁠。

答案与提示

$\dfrac{x^3}3\ln x-\dfrac{x^3}9+C$⁠。

3. 求$\displaystyle\int\mathrm e^{2x}\cos x\,dx$⁠。

答案与提示

循环型：$\dfrac{\mathrm e^{2x}(2\cos x+\sin x)}5+C$⁠。

4. 求$\displaystyle\int\arcsin\dfrac x4\,dx$⁠。

答案与提示

$x\arcsin\dfrac x4-\displaystyle\int\dfrac{x}{\sqrt{16-x^2}}dx=x\arcsin\dfrac x4+\sqrt{16-x^2}+C$⁠。

5. 求$\displaystyle\int\frac{dx}{x(x-1)^2}$（⁠$x>1$⁠）。

答案与提示

$\dfrac1{x(x-1)^2}=\dfrac1x-\dfrac1{x-1}+\dfrac1{(x-1)^2}$⁠，结果$\ln x-\ln(x-1)-\dfrac1{x-1}+C$⁠。

6. 求$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+x}$（⁠$x>0$⁠）。

答案与提示

$\dfrac1x-\dfrac1{x+1}$⁠，结果$\ln\dfrac x{x+1}+C$⁠。

7. 求$\displaystyle\int\frac{dx}{1+\cos x}$⁠。

答案与提示

$1+\cos x=2\cos^2\dfrac x2$⁠，结果$\tan\dfrac x2+C$⁠。

8. 求$\displaystyle\int x^2\sin x\,dx$⁠。

答案与提示

分部两次：$-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$⁠。

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下一篇预告#

专题 S10 讲"定积分计算技巧"：定积分的换元（要换上下限）、区间再现公式、奇偶函数与周期函数的对称性、点火公式（华里士公式）。