考研数学二·零基础讲义 专题S08（上）｜方程的根：存在性、唯一性与导数的根

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S08（上）｜方程的根：存在性、唯一性与导数的根

"证明方程有根""证明恰有一个根""讨论根的个数"是考研数学二的常客。本篇讲最基础的两件事：怎么证明"有根"（零点定理），怎么证明"只有一个根"（单调性），再加上用罗尔定理估计"导数的根"。9 道例题 + 8 道自测，根的个数均用 SymPy/数值扫描验算。预计用时 50–70 分钟。

本讲地图#

• 第一步：零点定理——找两个异号点，证明"至少有一个根"。
• 第二步：单调性——函数严格单调，则"至多一个根"；两步合起来就是"恰有一个根"。
• 第三步：最值法——极值的正负决定曲线与$x$轴有几个交点。
• 第四步：罗尔定理推广——$f$有$n$个根，则$f'$至少有$n-1$个根。
• 大纲要求：会用罗尔定理、连续函数的介值性质与导数讨论方程的根。

前置知识#

• 闭区间连续函数的零点定理（第 03 讲）。
• 导数与单调性、极值（第 05、07 讲）。

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一、零点定理：证明"至少有一个根"#

大白话：一条连在一起的曲线，左端点在$x$轴下面，右端点在$x$轴上面，中间必然要穿过$x$轴。

定理：$f$在$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<0$⁠，则$(a,b)$内至少有一点$\xi$使$f(\xi)=0$⁠。

步骤：① 移项，令$f(x)=0$的形式；② 验证连续；③ 找两个函数值异号的点；④ 下结论"至少一个根"。

例 1 证明方程$x^3+x-1=0$恰有一个实根，并指出它在哪个区间。

解：令$f(x)=x^3+x-1$⁠，连续。$f(0)=-1<0$⁠，$f(1)=1>0$⁠，由零点定理，$(0,1)$内至少有一个根。又$f'(x)=3x^2+1>0$⁠，$f$严格单增，至多一个根。所以恰有一个实根，在$(0,1)$内。（SymPy/数值扫描：整条实轴上只有 1 次变号。）

💡 "存在 + 唯一"是固定搭配：零点定理管存在，单调性管唯一。

例 2 证明方程$\cos x=x$有且仅有一个实根。

解：令$f(x)=\cos x-x$⁠，$f(0)=1>0$⁠，$f(1)=\cos1-1\approx-0.46<0$⁠，所以$(0,1)$内有根。$f'(x)=-\sin x-1\le0$⁠，且只在孤立点为 0，故$f$严格单减，根唯一。（数值：区间$[-10,10]$上变号一次。）

⚠️ 易错点：$f'\le 0$但只在个别点取等号，仍然严格单调；但若在一整段区间上$f'=0$⁠，就不严格了。

例 3 证明：方程$x^2+x+x^3=1$⁠，即$x^3+x^2+x-1=0$在$(0,1)$内有唯一实根。

解：$f(x)=x^3+x^2+x-1$⁠，$f(0)=-1<0$⁠，$f(1)=2>0$⁠；$f'(x)=3x^2+2x+1$⁠，判别式$4-12<0$⁠，恒正，故单增。有唯一根。（数值扫描：$[0,1]$内 1 次变号。）

例 4 设$x\ge 0$⁠，证明方程$\displaystyle\int_0^x \mathrm e^{t^2}\,\mathrm dt=1$有唯一实根，且在$(0,1)$内。

解：令$F(x)=\int_0^x\mathrm e^{t^2}\mathrm dt-1$⁠。$F(0)=-1<0$⁠；$F(1)=\int_0^1\mathrm e^{t^2}\mathrm dt-1\approx1.4627-1>0$（数值积分），所以$(0,1)$内有根。$F'(x)=\mathrm e^{x^2}>0$⁠，单增，唯一。

💡 变限积分函数求导就是被积函数，这里不需要算出积分的原函数。

例 5 证明方程$x+\ln x=0$有唯一实根。

解：定义域$x>0$⁠。$f(x)=x+\ln x$⁠，$f'(x)=1+\dfrac1x>0$⁠，单增，至多一个根。取$x=\dfrac1{\mathrm e}$⁠：$f=\dfrac1{\mathrm e}-1\approx-0.632<0$⁠；$f(1)=1>0$⁠。故$(\tfrac1{\mathrm e},1)$内有唯一根。

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二、最值法：根的个数由极值决定#

大白话：把曲线想成山谷。谷底（最小值）如果在$x$轴下面，两边往上翘的曲线就一定穿过$x$轴两次。

例 6 讨论方程$\mathrm e^x=x+2$的实根个数。

解：$f(x)=\mathrm e^x-x-2$⁠，$f'(x)=\mathrm e^x-1$⁠，唯一驻点$x=0$⁠，是极小值，$f(0)=-1<0$⁠。又$x\to\pm\infty$时$f\to+\infty$⁠。所以左边一个、右边一个，恰有 2 个实根。（数值扫描：2 次变号。）

例 7 方程$\ln x=\dfrac x{\mathrm e}$有几个实根？

解：$f(x)=\ln x-\dfrac x{\mathrm e}$（⁠$x>0$⁠），$f'=\dfrac1x-\dfrac1{\mathrm e}$⁠，$x=\mathrm e$是唯一驻点，是最大值，且$f(\mathrm e)=1-1=0$⁠。所以曲线只碰一下 $x$轴：恰有 1 个根$x=\mathrm e$（二重根）。

⚠️ 最大值恰好为 0 是"相切"：根数 1，不是 0 也不是 2。

例 8 方程$x^3-3x+k=0$的实根个数随$k$怎么变？

解：$f=x^3-3x+k$⁠，$f'=3(x^2-1)$⁠，极大值点$x=-1$⁠：$f(-1)=k+2$⁠；极小值点$x=1$⁠：$f(1)=k-2$⁠。

• $k>2$⁠：极小值$k-2>0$⁠，只有 1 根（在左侧）；
• $k=2$⁠：极小值为 0，2 个根（⁠$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$⁠）；
• $-2<k<2$⁠：极大值正、极小值负，3 个根；
• $k=-2$⁠：极大值为 0，2 个根（⁠$x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2$⁠）；
• $k<-2$⁠：极大值$k+2<0$⁠，1 个根。

（数值扫描：$k=-3,0,3$时穿越$x$轴$1,3,1$次；$k=\pm2$是相切的二重根，因此多项式分解$(x-1)^2(x+2)$与$(x-2)(x+1)^2$已说明有 2 个不同实根。）

图 1：直线$y=k$上下移动，它与曲线$y=x\mathrm e^{-x}$的交点个数随之变化（最高点高度$1/\mathrm e$⁠）

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三、罗尔定理推广：导数的根#

定理：若$f$可导且有$n$个不同的零点，则$f'$至少有$n-1$个零点（相邻两根之间用一次罗尔）。

例 9 设$g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$⁠，说明$g'(x)=0$恰有 3 个实根并指出所在区间。

解：$g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=0$⁠，罗尔定理：$(1,2),(2,3),(3,4)$各至少一个根。$g'$是 3 次多项式，至多 3 个根，所以恰有 3 个，分别落在这三个区间。（SymPy：$g'=2(2x-5)(x^2-5x+5)$⁠，根$1.382,\,2.5,\,3.618$⁠。）

💡 "次数卡死"技巧：$n$次多项式至多$n$个根，罗尔给出下界，两边夹住就是"恰好"。

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速记卡#

• 存在：零点定理（找异号两点，验连续）。
• 唯一：$f'>0$（或$<0$⁠）⇒ 严格单调 ⇒ 至多一个根。
• 个数：先求驻点、极值，再看极值的正负与两端极限。
• 极值恰为 0 ⇒ 相切（二重根）。
• 导数的根：相邻两根之间用罗尔，再用次数卡上界。

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自测练习#

1. 证明方程$x^5+x-1=0$有唯一实根。

答案与提示

$f'=5x^4+1>0$单增；$f(0)=-1<0$⁠，$f(1)=1>0$⁠，故唯一，在$(0,1)$内。

2. 方程$\mathrm e^{x}=x+1+x^2$的正根个数？（提示：令$F=\mathrm e^x-1-x-x^2$⁠。）

答案与提示

$x>0$⁠：$F(0)=0$⁠，$F'=\mathrm e^x-1-2x$⁠，$F'(0)=0$⁠，$F''=\mathrm e^x-2$⁠，先减后增。$F'$先降后升，$F'(0)=0$⁠，之后$F'<0$⁠，随后变正，$F$先降后升，所以$x>0$恰有 1 个根（数值约$x\approx1.79$⁠）。

3. 证明$x^3-3x+1=0$有三个实根。

答案与提示

$f(-2)=-1<0$⁠，$f(0)=1>0$⁠，$f(1)=-1<0$⁠，$f(2)=3>0$⁠，三个区间各有一根；三次多项式至多 3 根，所以恰 3 根（SymPy 验算$f(-2),f(0),f(1),f(2)=-1,1,-1,3$⁠）。

4. 讨论$x\mathrm e^{-x}=k$的根的个数。

答案与提示

$g=x\mathrm e^{-x}$⁠，$g'=(1-x)\mathrm e^{-x}$⁠，在$x=1$取最大值$1/\mathrm e$⁠；$x\to-\infty$时$g\to-\infty$⁠，$x\to+\infty$时$g\to0^+$⁠。$k>1/\mathrm e$⁠：0 根；$k=1/\mathrm e$⁠：1 根；$0<k<1/\mathrm e$⁠：2 根；$k\le0$⁠：1 根。（数值扫描：$k=0.5$得 0 根，$k=0.2$得 2 根，$k=-1$得 1 根。）

5. 证明$x>0$时，方程$x^n+x^{n-1}+\cdots+x=1$（⁠$n\ge2$⁠）有唯一正根，且在$(0,1)$内。

答案与提示

$f=x^n+\cdots+x-1$⁠，$f(0)=-1$⁠，$f(1)=n-1>0$⁠；$x>0$时$f'>0$⁠。（⁠$n=3$时$f(1)=2$⁠，与例 3 一致。）

6. 证明$f(x)=\mathrm e^x-ax$（⁠$a>\mathrm e$⁠）有两个正根。

答案与提示

$x>0$⁠：$f'=\mathrm e^x-a$⁠，最小值点$x=\ln a$⁠，$f(\ln a)=a-a\ln a=a(1-\ln a)<0$（因$a>\mathrm e$⁠）；$f(0)=1>0$⁠，$x\to+\infty$时$f\to+\infty$⁠，故两正根。

7. 设$f(x)=x^3+px+q$有三个不同实根，证明$4p^3+27q^2<0$⁠。

答案与提示

必须$p<0$⁠，极值点$\pm m$⁠，$m^2=-p/3$⁠，$f(m)f(-m)=q^2-\dfrac{4p^2}{9}m^2=q^2+\dfrac{4p^3}{27}<0$⁠，即$27q^2+4p^3<0$⁠。

8. 证明$f(x)=x^3+x-1$的根$\xi$满足$0.6<\xi<0.7$⁠。

答案与提示

$f(0.6)=0.216+0.6-1=-0.184<0$⁠，$f(0.7)=0.343+0.7-1=0.043>0$⁠，零点定理。

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下一篇预告#

专题 S08（下）讲"含参数的根的个数"：分离参数法（把$k$单独放一边，画$g(x)$的图），含$\mathrm e^x$⁠、$\ln x$⁠、$x^2$的几类标准题，以及用凹凸性、变限积分判断零点的综合题。

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