考研数学二·零基础讲义 专题S08（下）｜方程的根：含参数讨论与综合题

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S08（下）｜方程的根：含参数讨论与综合题

上篇我们会了"有没有根、有几个根"。这一篇处理考试里最常出现的形式：方程里带一个参数$k$⁠，问$k$取不同值时根的个数。核心工具只有一个：分离参数——把$k$单独放一边，画出另一边函数$g(x)$的草图，再用水平线$y=k$去截它。9 道例题 + 8 道自测，个数均用 SymPy 求驻点并用数值扫描验算。预计用时 50–70 分钟。

本讲地图#

• 第一步：分离参数——$f(x,k)=0$化成$g(x)=k$⁠。
• 第二步：画$g(x)$的草图——定义域、单调区间、极值、端点极限（四件套）。
• 第三步：水平线$y=k$截图——数交点。
• 第四步：不好分离时——直接对$f$求最值，或用$f''$的符号限制根数。
• 大纲要求：会利用导数、函数性态讨论方程的根。

前置知识#

• 上篇：零点定理、单调性、最值法。
• 极限与渐近线（第 03、07 讲）：端点极限用来判断曲线的走向。

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一、分离参数四件套#

大白话：方程$\mathrm e^x=kx^2$里，$k$是"可以随便取"的数。把它挪到一边：$k=\dfrac{\mathrm e^x}{x^2}$⁠，这样问题变成"水平线$y=k$与固定曲线交几个点"。

四件套：① 定义域；② $g'$的符号（单调区间）；③ 极值；④ 各端点/无穷远处的极限。

例 1 讨论方程$\mathrm e^x=kx^2$的实根个数（⁠$k>0$⁠）。

解：$x=0$不是根，所以$k=g(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{x^2}$⁠，$x\ne0$⁠。$g'(x)=\dfrac{(x-2)\mathrm e^x}{x^3}$（SymPy）。

• $x<0$⁠：$g'>0$⁠，$g$从$0^+$（⁠$x\to-\infty$⁠）单增到$+\infty$（⁠$x\to0^-$⁠），所以每个$k>0$在$x<0$内恰有 1 根；
• $x>0$⁠：$x=2$最小，$g(2)=\dfrac{\mathrm e^2}4\approx1.847$⁠，两端$\to+\infty$⁠。

综合：$0<k<\dfrac{\mathrm e^2}4$⁠：1 根；$k=\dfrac{\mathrm e^2}4$⁠：2 根；$k>\dfrac{\mathrm e^2}4$⁠：3 根。（数值扫描$k=1,\ \mathrm e^2/4,\ 3,\ 5$⁠：变号$1,1,3,3$——$k=\mathrm e^2/4$时$x=2$为相切根，不变号，与 2 根一致。）

例 2 讨论方程$\ln x=kx$的实根个数。

解：$x>0$⁠，$k=g(x)=\dfrac{\ln x}x$⁠，$g'=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$⁠，$x=\mathrm e$取最大值$\dfrac1{\mathrm e}$⁠；$x\to0^+$时$g\to-\infty$⁠，$x\to+\infty$时$g\to0^+$⁠。

• $k>\dfrac1{\mathrm e}$⁠：0 根；$k=\dfrac1{\mathrm e}$⁠：1 根；
• $0<k<\dfrac1{\mathrm e}$⁠：2 根（⁠$x=1$左侧的递增段和右侧的递减段各一个，注意$g(1)=0$⁠，所以两根都在$x>1$一侧）；
• $k\le0$⁠：1 根。

（数值扫描$k=0.5,0.2,-1$⁠：0、2、1 根。）

图 1：直线$y=k$与$y=\dfrac{\ln x}x$的交点数，最高点是$(\mathrm e,\,1/\mathrm e)$

例 3 讨论方程$\mathrm e^x=kx$的实根个数。

解：$x=0$不是根（⁠$\mathrm e^0=1\ne0$⁠）。$k=g(x)=\dfrac{\mathrm e^x}x$⁠，$g'=\dfrac{(x-1)\mathrm e^x}{x^2}$（SymPy）。

• $x<0$⁠：$g'<0$⁠，$g$从$0^-$单减到$-\infty$⁠，故$k<0$时 1 根；$k\ge0$时无根；
• $x>0$⁠：$x=1$最小，$g(1)=\mathrm e$⁠，两端$\to+\infty$⁠：$k<\mathrm e$无根，$k=\mathrm e$一根，$k>\mathrm e$两根。

综合：$k<0$⁠：1 根；$0\le k<\mathrm e$⁠：0 根；$k=\mathrm e$⁠：1 根；$k>\mathrm e$⁠：2 根。（数值扫描$k=2,\ 3,\ -1,\ 0$⁠：0、2、1、0。）

💡 "定义域分段"：$g(x)$在$x=0$断开时，左右两边分别画图再合并，最容易漏掉其中一边。

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二、不方便分离：直接对$f$求最值#

例 4 讨论方程$x^4-4x+k=0$的实根个数。

解：$f=x^4-4x+k$⁠，$f'=4x^3-4$⁠，唯一驻点$x=1$（SymPy），是最小值，$f(1)=k-3$⁠；两端$\to+\infty$⁠。

• $k<3$⁠：2 根；$k=3$⁠：1 根；$k>3$⁠：0 根。

💡 $f'$只有一个根的函数，图像是"一个谷"，只能有 0、1、2 个根。

例 5 证明：若$f''(x)>0$在$\mathbb R$上成立，则$f(x)=0$至多有两个实根。

解：反设有三个根$x_1<x_2<x_3$⁠。对$f$在$[x_1,x_2]$⁠、$[x_2,x_3]$各用一次罗尔，得$f'$有两个零点$\xi_1<\xi_2$⁠；再对$f'$用一次罗尔，$f''$在某点为 0，与$f''>0$矛盾。

💡 一般规则：$f^{(n)}\ne0$ ⇒ $f$至多$n$个根。

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三、综合：变限积分与证明题#

例 6 设$f(x)=x^3-3x+1$⁠，证明$f(x)=0$恰有 3 个实根。

解：$f(-2)=-1,\ f(0)=1,\ f(1)=-1,\ f(2)=3$（SymPy 代入），异号区间$(-2,0),(0,1),(1,2)$各一根；三次多项式至多 3 根，所以恰 3 根。

例 7 证明方程$\displaystyle\int_0^x\mathrm e^{t^2}\,\mathrm dt=1$在$x>0$内有唯一根。

解：与上篇例 4 相同：$F(0)=-1$⁠，$F(1)\approx0.4627>0$⁠，$F'=\mathrm e^{x^2}>0$⁠。

例 8 设$f(x)=\mathrm e^x-x^2-x-1$⁠，说明在$(0,+\infty)$内恰有一个根。

解：$f(0)=0$⁠，所以先看$x>0$⁠。$f'=\mathrm e^x-2x-1$⁠，$f'(0)=0$⁠；$f''=\mathrm e^x-2$⁠，$x<\ln2$时$f''<0$⁠，之后$f''>0$⁠。于是$f'$先降后升：$f'<0$一段，随后某点$x_0$变正；于是$f$先降后升，$f(0)=0$⁠，所以先为负，最终为正，在$x>0$内恰一根（数值解$x\approx1.793$⁠，SymPy nsolve 验证）。

例 9 方程$x^3+px+q=0$有三个不同实根的充要条件是什么？

解：$f'=3x^2+p$⁠，需要$p<0$⁠，驻点$\pm m$⁠，$m=\sqrt{-p/3}$⁠。三个不同根 ⇔ 极大值$>0$且极小值$<0$ ⇔ $f(m)f(-m)<0$⁠。$f(\pm m)=\pm\dfrac{2p}3m+q$⁠，乘积$=q^2-\dfrac{4p^2}9m^2=q^2+\dfrac{4p^3}{27}$⁠，所以条件是$\boxed{4p^3+27q^2<0}$⁠。（SymPy 验算乘积表达式。）

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速记卡#

• 带参数：分离参数 → 画$g(x)$ → 水平线截交点。
• 四件套：定义域、单调区间、极值、端点极限。
• 分段定义域要分别画。
• 极值恰等于$k$⁠：相切，恰好少一根。
• $f^{(n)}\ne0$ ⇒ 至多$n$个根。

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自测练习#

1. 讨论$\mathrm e^x=kx^2$在$k<0$时的根。

答案与提示

$\mathrm e^x>0$⁠，$kx^2\le0$⁠，无根。

2. 讨论$x^3-3x=k$的根的个数。

答案与提示

极大值$g(-1)=2$⁠，极小值$g(1)=-2$⁠：$|k|>2$为 1 根；$|k|=2$为 2 根；$|k|<2$为 3 根（与上篇例 8 一致）。

3. 证明：$\mathrm e^x=x^2+x+1$（即$f=\mathrm e^x-x^2-x-1$⁠）在$x<0$内有几个根？

答案与提示

$x<0$⁠：$f'=\mathrm e^x-2x-1$⁠，$-2x>0$且$\mathrm e^x-1>-1$⁠，$f'>-1+(-2x)$⁠，对$x<0$总有$f'(x)>0$（可由$f'(0)=0$⁠、$f''=\mathrm e^x-2<0$得$f'$在$x<\ln2$单减，故$x<0$时$f'>f'(0)=0$⁠）。所以$f$在$x<0$单增，$f(0)=0$⁠，所以$x<0$时$f<0$⁠，无根。

4. 方程$\ln x=kx^2$在$x>0$有几个根？

答案与提示

$k=\dfrac{\ln x}{x^2}$⁠，$g'=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}$⁠，$x=\sqrt{\mathrm e}$取最大值$\dfrac1{2\mathrm e}$⁠。$k>\dfrac1{2\mathrm e}$⁠：0 根；$k=\dfrac1{2\mathrm e}$⁠：1 根；$0<k<\dfrac1{2\mathrm e}$⁠：2 根；$k\le0$⁠：1 根。

5. 讨论$x^4-4x+k=0$取$k=3$时的根。

答案与提示

$f(1)=0$是最小值，只有$x=1$一个根（⁠$x^4-4x+3=(x-1)^2(x^2+2x+3)$⁠，SymPy 验算）。

6. 若$f'''(x)\ne0$⁠，$f$至多几个零点？

答案与提示

至多 3 个（反设 4 个根，罗尔三次得$f'''$有零点，矛盾）。

7. 设$p=-3,\ q=1$⁠，判断$x^3+px+q$的根的个数。

答案与提示

$4p^3+27q^2=-108+27=-81<0$⁠，3 个不同实根（即例 6 的$x^3-3x+1$⁠）。

8. 证明：$x>0$时，$\displaystyle\int_0^x\sqrt{1+t^4}\,\mathrm dt=x+1$恰有一个根。

答案与提示

$F=\int_0^x\sqrt{1+t^4}\mathrm dt-x-1$⁠，$F(0)=-1<0$⁠；$F'=\sqrt{1+x^4}-1>0$（⁠$x>0$⁠），单增；$x$大时$\int_0^x\sqrt{1+t^4}\,\mathrm dt\ge\dfrac{x^3}3$⁠，$F\to+\infty$⁠。所以恰一个根。

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