考研数学二·零基础讲义 专题S04（上）｜间断点判断与分类专项

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S04（上）｜间断点判断与分类专项

学完这篇，你能拿到一个函数，先找出"嫌疑点"，再用左右极限把每个间断点归到第一类（可去、跳跃）或第二类（无穷、振荡）。全篇 20 道例题 + 8 道自测，所有极限都用 SymPy 验算过。预计用时 60–80 分钟。

本讲地图#

• 第一步：连续的三个条件——有定义、极限存在、极限等于函数值；缺哪条，就是哪种间断。
• 第二步：找嫌疑点——分母为零、绝对值/取整的分段点、$\ln$的真数为零、$\mathrm e^{1/x}$的$x=0$⁠、含参极限定义的分段函数的分界点。
• 第三步：算左右极限并分类——第一类（可去、跳跃）与第二类（无穷、振荡）。
• 第四步：几类"必考"题型——$\mathrm e^{1/x}$型、$\arctan\frac1x$型、$\dfrac{x}{\tan x}$型、极限式定义的函数。
• 大纲要求：理解函数连续性的概念，会判断函数间断点的类型。这类题几乎每年都有，多以选择题、填空题形式出现，也是大题里讨论分段函数的第一步。

前置知识#

• 左极限、右极限与极限存在的充要条件：第 02 讲。
• 等价无穷小、洛必达法则：第 03、06 讲，以及专题 S01。
• 分段函数的概念、绝对值函数的拆分：第 01 讲。

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一、连续与间断：先把定义说清楚#

大白话：函数在$x_0$处"连续"，就是图像在这一点"笔不离纸"：从左边走过来、从右边走过来，都恰好落在函数在这一点的值上。笔得抬起来才能过去的点，就是间断点。

定义：$f(x)$在$x_0$连续，要求同时满足三条：

1. $f(x)$在$x_0$处有定义；
2. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在（即左右极限都存在且相等）；
3. 这个极限等于 $f(x_0)$⁠。

三条中任何一条不成立，$x_0$就是间断点。注意：讨论间断点时，$x_0$的附近必须有定义（至少一侧），否则谈不上"间断"。

间断点分类（以左极限$f(x_0^-)$⁠、右极限$f(x_0^+)$为标准）：

一句话记忆：第一类 = 左右极限都是有限数；第二类 = 至少一侧不是有限数。

图 1：三种常见间断（动画循环播放）。左：可去，空心点处函数没定义，小球从两侧都奔向同一个高度；中：跳跃，小球从左右奔向不同高度；右：无穷，小球冲向天空。

自检流程（做题就按这个走）：

1. 找嫌疑点：函数没定义的点、分段函数的分界点。
2. 在嫌疑点算左极限、右极限（遇到$|x|$⁠、$\mathrm e^{1/x}$⁠、$\arctan\frac1x$⁠、取整，必须分左右）。
3. 对照上表归类。

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二、最基础的四种：先各来一道#

例 1（可去）：判断$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$在$x=0$的类型。

解：$x=0$处无定义。$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$⁠，左右极限相等且有限，故$x=0$是可去间断点。补充定义$f(0)=1$后就连续了。

例 2（跳跃）：判断$f(x)=\dfrac{x}{|x|}$在$x=0$的类型。

解：$x>0$时$f=1$⁠，$x<0$时$f=-1$⁠。$f(0^+)=1$⁠，$f(0^-)=-1$⁠，不相等，故$x=0$是跳跃间断点，跳跃的高度为$2$⁠。

例 3（无穷）：判断$f(x)=\dfrac{1}{x}$在$x=0$的类型。

解：$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty$⁠，所以$x=0$是无穷间断点（第二类）。

例 4（振荡）：判断$f(x)=\sin\dfrac1x$在$x=0$的类型。

解：$x\to0$时$\dfrac1x\to\infty$⁠，$\sin\dfrac1x$在$[-1,1]$上来回摆动，极限不存在也不是$\infty$⁠，故$x=0$是振荡间断点（第二类）。

易错：振荡间断点"不是无穷"。判断标准是极限能否"跑到无穷"，来回摆动不算。

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三、有理函数型：约分之后看剩下什么#

例 5：求$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}$的间断点并分类。

解：分母$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$⁠，嫌疑点$x=1,2$⁠。

• $x=1$⁠：$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{2}{-1}=-2$⁠，有限 → 可去间断点。
• $x=2$⁠：分子$\to3\ne0$⁠，分母$\to0$⁠，极限为$\infty$（右极限$+\infty$⁠，左极限$-\infty$⁠）→ 无穷间断点。

SymPy 验算：$x=1$极限$-2$⁠；$x=2$右极限$+\infty$⁠、左极限$-\infty$⁠。

例 6：求$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6}$的间断点并分类。

解：分母$=(x-2)(x-3)$⁠。$x=2$⁠：$\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}\to\dfrac{4}{-1}=-4$⁠，可去；$x=3$⁠：分子$\to5\ne0$⁠，无穷间断点。（SymPy：$-4$⁠；右极限$+\infty$⁠。）

方法小结：有理函数的间断点 = 分母的零点；分子分母有公因子$(x-a)$且约掉后分母不再为零，则可去，否则为无穷。

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四、含绝对值的函数：必须拆成左右两段#

例 7：判断$f(x)=\dfrac{\sin x}{|x|}$在$x=0$的类型。

解：$x\to0^+$⁠：$\dfrac{\sin x}{x}\to1$⁠；$x\to0^-$⁠：$\dfrac{\sin x}{-x}\to-1$⁠。左右极限存在但不等，跳跃间断点。（SymPy：$1$⁠、$-1$⁠。）

例 8：求$f(x)=\dfrac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}$的间断点并分类。

解：嫌疑点$x=0,\pm1$⁠。化简：$\dfrac{x(x-1)}{|x|(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{|x|(x+1)}$⁠。

• $x=0$⁠：右极限$\dfrac{1}{x+1}\to1$⁠；左极限$\dfrac{-1}{x+1}\to-1$⁠，跳跃。
• $x=1$⁠：极限$\dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac12$⁠，可去。
• $x=-1$⁠：$x\to-1^+$时$\dfrac{x}{|x|(x+1)}=\dfrac{-1}{x+1}\to-\infty$（右）；左侧$\to+\infty$⁠，无穷。

SymPy 验算：$x=0$⁠：$1,-1$⁠；$x=1$⁠：$\tfrac12$⁠；$x=-1$⁠：右$-\infty$⁠、左$+\infty$⁠。

例 9：求$f(x)=\dfrac{\ln|x|}{x-1}$的间断点并分类。

解：嫌疑点：$x=0$（⁠$\ln|x|$无定义）、$x=1$（分母为零）。

• $x=1$⁠：$\ln|x|\sim x-1$⁠，极限为$1$⁠，可去。
• $x=0$⁠：$\ln|x|\to-\infty$⁠，$\dfrac{\ln|x|}{-1}\to+\infty$⁠，无穷间断点。

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五、$\mathrm e^{1/x}$型：必考，左右完全不同#

核心事实：

$$\lim_{x\to0^+}\mathrm e^{1/x}=+\infty,\qquad\lim_{x\to0^-}\mathrm e^{1/x}=0.$$

原因：$x\to0^+$时$\dfrac1x\to+\infty$⁠；$x\to0^-$时$\dfrac1x\to-\infty$⁠，$\mathrm e^{-\infty}=0$⁠。凡是含$\mathrm e^{1/x}$的，一律分左右。

例 10：判断$f(x)=\mathrm e^{1/x}$在$x=0$的类型。

解：右极限$+\infty$⁠，所以无穷间断点（左极限虽为$0$⁠，也算第二类，因为右边已经无穷）。

例 11：判断$f(x)=\dfrac{\mathrm e^{1/x}-1}{\mathrm e^{1/x}+1}$在$x=0$的类型。

解：$x\to0^+$⁠：分子分母同除$\mathrm e^{1/x}$⁠，得$\dfrac{1-\mathrm e^{-1/x}}{1+\mathrm e^{-1/x}}\to1$⁠。$x\to0^-$⁠：$\mathrm e^{1/x}\to0$⁠，得$\dfrac{0-1}{0+1}=-1$⁠。左右极限存在不等，跳跃间断点。（SymPy：$1,-1$⁠。）

例 12：判断$f(x)=x\,\mathrm e^{1/x}$在$x=0$的类型。

解：$x\to0^+$⁠：$x\mathrm e^{1/x}=\dfrac{\mathrm e^{1/x}}{1/x}$⁠，指数比幂快，$\to+\infty$⁠。所以是无穷间断点。（左极限$=0$⁠。）SymPy：右$+\infty$⁠、左$0$⁠。

例 13：判断$f(x)=\arctan\dfrac1x$在$x=0$的类型。

解：$x\to0^+$⁠，$\dfrac1x\to+\infty$⁠，$\arctan\to\dfrac\pi2$⁠；$x\to0^-$⁠，$\to-\dfrac\pi2$⁠。跳跃间断点，跳跃高度$\pi$⁠。

例 14：判断$f(x)=\dfrac{(x^2-1)\,\mathrm e^{1/(x-1)}}{x-1}$在$x=1$的类型。

解：约分得$(x+1)\mathrm e^{1/(x-1)}$⁠。$x\to1^+$⁠：$\mathrm e^{1/(x-1)}\to+\infty$⁠，$f\to+\infty$⁠；$x\to1^-$⁠：$f\to2\cdot0=0$⁠。右极限无穷，故$x=1$是无穷间断点。（SymPy：右$+\infty$⁠、左$0$⁠。）

例 15（经典大题型）：判断$f(x)=\dfrac{1}{1-\mathrm e^{x/(1-x)}}$的间断点并分类。

解：嫌疑点：$x=1$（指数中分母为零）；$1-\mathrm e^{x/(1-x)}=0\Rightarrow\dfrac{x}{1-x}=0\Rightarrow x=0$⁠。

• $x=0$⁠：$\dfrac{x}{1-x}\to0$⁠，$1-\mathrm e^{x/(1-x)}\sim-\dfrac{x}{1-x}\to0$⁠，$f\to\infty$（右$-\infty$⁠、左$+\infty$⁠）→ 无穷间断点。
• $x=1$⁠：$x\to1^-$时$\dfrac{x}{1-x}\to+\infty$⁠，$\mathrm e^{(\cdot)}\to+\infty$⁠，$f\to0$⁠；$x\to1^+$时$\dfrac{x}{1-x}\to-\infty$⁠，$\mathrm e^{(\cdot)}\to0$⁠，$f\to1$⁠。左右极限$0$⁠、$1$不等，跳跃间断点。

SymPy 验算：$x=0$⁠：右$-\infty$⁠、左$+\infty$⁠；$x=1$⁠：右$1$⁠、左$0$⁠。

易错：很多人只看到$x=0$一个点而漏掉$x=1$⁠。指数里有分母，分母为零的点一定要查。

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六、$\dfrac{x}{\tan x}$型：周期性出现的间断点#

例 16：求$f(x)=\dfrac{x}{\tan x}$的间断点并分类。

解：$\tan x$在$x=k\pi+\dfrac\pi2$无定义，$\tan x=0$在$x=k\pi$⁠。所以嫌疑点有两族。

• $x=0$⁠：$\dfrac{x}{\tan x}\to1$⁠，可去。
• $x=k\pi$（⁠$k\ne0$⁠）：$\tan x\to0$⁠，分子$k\pi\ne0$⁠，$f\to\infty$（SymPy：$x\to\pi^+$时$+\infty$⁠，$\pi^-$时$-\infty$⁠）→ 无穷。
• $x=k\pi+\dfrac\pi2$⁠：$\tan x\to\infty$⁠，$f\to0$（SymPy 验证$x=\frac\pi2$处极限$0$⁠）→ 可去。

例 17：求$f(x)=\dfrac1x-\dfrac1{\mathrm e^x-1}$在$x=0$的类型。

解：先通分：$\dfrac{\mathrm e^x-1-x}{x(\mathrm e^x-1)}\sim\dfrac{x^2/2}{x^2}=\dfrac12$⁠。可去间断点。（SymPy：$\tfrac12$⁠。）

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七、极限式定义的函数：先把$f(x)$求出来#

套路：$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$⁠，其中$x$是参数。需要按$|x|<1$⁠、$|x|=1$⁠、$|x|>1$分别求极限，得到分段函数，再判断分界点。

例 18：设$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+x}{1+x^{2n}}$⁠，求间断点并分类。

解：

• $|x|<1$⁠：$x^{2n}\to0$⁠，$f=1+x$⁠；
• $|x|>1$⁠：$x^{2n}\to+\infty$⁠，$f=0$⁠；
• $x=1$⁠：$f=\dfrac{2}{2}=1$⁠；
• $x=-1$⁠：$f=\dfrac{0}{2}=0$⁠。

$x=1$⁠：左极限$1+1=2$⁠，右极限$0$⁠，不等，跳跃（⁠$f(1)=1$⁠）。 $x=-1$⁠：左极限$0$⁠，右极限$1+(-1)=0$⁠，$f(-1)=0$⁠，三者相等，连续。

所以只有$x=1$一个间断点，是跳跃间断点。（SymPy 验证了$x=\tfrac12,2,-2,-\tfrac12$的极限分别为$\tfrac32,0,0,\tfrac12$⁠。）

例 19：$f(x)=x-[x]$（⁠$[x]$为取整）在整数点的类型。

解：$x=k$处，右极限$k-k=0$⁠，左极限$x\in(k-1,k)$时$[x]=k-1$⁠，$f\to k-(k-1)=1$⁠。左右极限$1,0$⁠，跳跃间断点。每个整数都是。

例 20：判断$f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$在$x=-1$与$x=0$的类型。

解：定义域$x>-1$且$x\ne0$⁠。$x=0$⁠：极限$1$⁠，可去；$x=-1$⁠：只有右侧有定义，$x\to-1^+$时$\ln(1+x)\to-\infty$⁠，$\dfrac{-\infty}{-1}=+\infty$⁠，无穷间断点。（SymPy：右极限$+\infty$⁠。）

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速记卡#

• 第一类：左右极限都有限。相等是可去，不等是跳跃。
• 第二类：至少一侧是$\infty$或振荡。
• 有理函数：分母零点；能约掉的为可去，约不掉的为无穷。
• 见到$|x|$⁠、$[x]$⁠、$\mathrm e^{1/x}$⁠、$\arctan\frac1x$：必分左右。
• $\mathrm e^{1/x}$⁠：右$+\infty$⁠，左$0$⁠；$\arctan\frac1x$⁠：右$\frac\pi2$⁠，左$-\frac\pi2$⁠。
• 极限式定义的函数：先分$|x|<1$⁠、$=1$⁠、$>1$求出分段式。

易错清单#

1. 把"极限不存在"一律叫做"无穷"。振荡不是无穷。
2. 忘记检查$\mathrm e^{1/(x-a)}$型中的$x=a$⁠。
3. 含$|x|$的函数不拆左右直接代入。
4. 有定义但函数值"错位"也是间断（可去）：例如$f(0)=2$而$\lim f=1$⁠。

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自测 8 题#

1. 判断$f(x)=\dfrac{x^2-x}{x^2-1}$的间断点类型。

答案与提示

$f=\dfrac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}$⁠。$x=1$⁠：极限$\dfrac12$⁠，可去；$x=-1$⁠：无穷。

2. 判断$f(x)=\dfrac{|x|}{x}\cdot\dfrac1{x+1}$在$x=0$的类型。

答案与提示

右极限$1$⁠，左极限$-1$⁠，跳跃。

3. 判断$f(x)=\mathrm e^{-1/x}$在$x=0$的类型。

答案与提示

右极限$0$⁠，左极限$+\infty$⁠，无穷间断点。

4. 判断$f(x)=\dfrac{\mathrm e^{1/x}}{1+\mathrm e^{1/x}}$在$x=0$的类型。

答案与提示

右极限$1$（分子分母同除$\mathrm e^{1/x}$⁠），左极限$0$⁠，跳跃。

5. 判断$f(x)=x\sin\dfrac1x$在$x=0$的类型。

答案与提示

有界乘无穷小，极限为$0$⁠，无定义，故可去间断点。

6. 设$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1}\,x$⁠，求间断点。

答案与提示

$|x|<1$⁠：$f=-x$⁠；$|x|>1$⁠：$f=x$⁠；$x=\pm1$⁠：$f=0$⁠。$x=1$⁠：左极限$-1$⁠，右极限$1$⁠，跳跃；$x=-1$⁠：左极限$-1$⁠，右极限$1$⁠，跳跃。

7. 判断$f(x)=\dfrac{\sin(x-1)}{(x-1)(x-2)}$的间断点类型。

答案与提示

$x=1$⁠：$\dfrac{\sin(x-1)}{x-1}\to1$⁠，故极限$\dfrac{1}{1-2}=-1$⁠，可去；$x=2$⁠：无穷。

8.（略提高）判断$f(x)=\dfrac{1}{\ln|x|}$的间断点（⁠$x=0,\pm1$⁠）。

答案与提示

$x=0$⁠：$\ln|x|\to-\infty$⁠，$f\to0$⁠，可去；$x=\pm1$⁠：$\ln|x|\to0$⁠，$f\to\infty$⁠，无穷。

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下一篇预告#

专题 S04（下）讲分段函数的连续与可导：怎样用"左导数 = 右导数"判断分界点是否可导，含参数的分段函数怎样一步步求参数，以及$x^2\sin\dfrac1x$这类"可导但导函数不连续"的经典例子。

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