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第 127 篇

考研数学二·零基础讲义 专题S04（下）｜分段函数的连续与可导专项

约 10 分钟 2954 字 数学考研数学二零基础讲义高等数学

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S04（下）｜分段函数的连续与可导专项

学完这篇，你能判断分段函数在分界点是否连续、是否可导，会用"连续 + 左右导数相等"两步法求参数，还能分清"可导"与"导函数连续"这对最容易混的概念。全篇 16 道例题 + 8 道自测，所有结果用 SymPy 验算过。预计用时 70–90 分钟。

本讲地图

  • 第一步：连续、可导的关系——可导必连续，反之不成立。
  • 第二步：分界点上的两步法——先看连续，再看左右导数。
  • 第三步：含参数的分段函数——连续给一个方程，可导再给一个方程。
  • 第四步：绝对值函数的不可导点——∣x∣φ(x)|x|\varphi(x)型的判别法。
  • 第五步：xαsin⁡1xx^\alpha\sin\frac1x型——α\alpha取不同值，性质一级级升高。
  • 第六步：高阶导数是否存在——x2∣x∣x^2|x|型。
  • 大纲要求：理解导数的概念与可导性、连续性的关系；理解左右导数。这是选择题、填空题和大题第一问的高频考点。

前置知识

  • 导数定义f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}⁠：第 05 讲。
  • 间断点分类与左右极限：专题 S04（上）。
  • 泰勒展开与等价无穷小：第 03、06 讲。

一、连续与可导：先把关系理清

大白话：连续是"没断"，可导是"没断，而且没有尖角"。绝对值函数∣x∣|x|在原点没断，但是有个尖角，所以连续却不可导。

三条结论：

  1. 可导 ⟹ 连续；
  2. 连续 不一定 可导（例：∣x∣|x|⁠）；
  3. 不连续 一定 不可导。

分界点的两步法（分段函数f(x)={f1(x),x<x0f2(x),x≥x0f(x)=\begin{cases}f_1(x),&x<x_0\\ f_2(x),&x\ge x_0\end{cases}⁠）：

  • 第一步，连续：f1(x0−)=f2(x0)=f(x0)f_1(x_0^-)=f_2(x_0)=f(x_0)⁠。
  • 第二步，可导：左导数f−′(x0)=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0f'_-(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}与右导数f+′(x0)f'_+(x_0)存在且相等。

一个常用的捷径：如果f1f_1⁠、f2f_2在x0x_0处各自可导（用各自的公式求导后代入x0x_0⁠），并且函数连续，那么左右导数就直接等于f1′(x0)f_1'(x_0)⁠、f2′(x0)f_2'(x_0)⁠，不用写极限。但必须先确认连续，否则这个捷径不成立。

不能用的情形：分界点处函数值是"单独给定"的（如f(0)=0f(0)=0而x≠0x\ne0时是个复杂式子），这时必须回到定义。

x²sin(1/x) 被 y=±x² 夹住，原点处切线水平，f′(0)=0 x y O −0.4 0.4 蓝：x²sin(1/x)；绿虚线：y=±x²；红球走向原点，摆动被压扁

图 1：f(x)=x2sin⁡1xf(x)=x^2\sin\frac1x被y=±x2y=\pm x^2夹住（动画循环播放）。原点处小球沿曲线越走越近，摆动幅度被抛物线压住，所以切线是水平线，f′(0)=0f'(0)=0⁠。而导函数里有−cos⁡1x-\cos\frac1x这一项，在原点附近仍来回摆动。

二、最基本的分界点判断

例 1：设f(x)={ex,x<01+x,x≥0f(x)=\begin{cases}\mathrm e^x,&x<0\\ 1+x,&x\ge0\end{cases}⁠，讨论x=0x=0处的连续与可导。

解：连续：f(0−)=e0=1f(0^-)=\mathrm e^0=1⁠，f(0+)=1f(0^+)=1⁠，f(0)=1f(0)=1⁠，连续。 可导：f−′(0)=(ex)′∣0=1f'_-(0)=(\mathrm e^x)'|_{0}=1⁠，f+′(0)=(1+x)′=1f'_+(0)=(1+x)'=1⁠，相等，可导且f′(0)=1f'(0)=1⁠。

例 2：f(x)=∣x∣f(x)=|x|在x=0x=0的连续与可导。

解：连续（⁠∣x∣→0=f(0)|x|\to0=f(0)⁠）。f+′(0)=lim⁡x→0+xx=1f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x}{x}=1⁠，f−′(0)=lim⁡x→0−−xx=−1f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{-x}{x}=-1⁠，不等，不可导。

例 3：f(x)=x∣x∣f(x)=x|x|在x=0x=0的可导性。

解：f(x)−f(0)x−0=x∣x∣x=∣x∣→0\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{x|x|}{x}=|x|\to0⁠，所以可导，f′(0)=0f'(0)=0⁠。注意：和∣x∣|x|不同，多乘一个xx就把尖角磨平了。

例 4：设f(x)={sin⁡xx,x≠0a,x=0f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x},&x\ne0\\ a,&x=0\end{cases}⁠，求aa使ff连续，并求f′(0)f'(0)⁠。

解：lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1⁠，故a=1a=1⁠。再用定义： f′(0)=lim⁡x→0sin⁡xx−1x=lim⁡x→0sin⁡x−xx2=lim⁡x→0−x3/6x2=0.f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-x^3/6}{x^2}=0. f′(0)=0f'(0)=0⁠。（SymPy 验算：sin⁡xx=1−x26+O(x4)\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^2}6+O(x^4)⁠，极限00⁠。）

例 5：设f(x)={ex−1−xx,x≠0a,x=0f(x)=\begin{cases}\dfrac{\mathrm e^x-1-x}{x},&x\ne0\\ a,&x=0\end{cases}⁠，求aa与f′(0)f'(0)⁠。

解：ex−1−xx∼x2/2x=x2→0\dfrac{\mathrm e^x-1-x}{x}\sim\dfrac{x^2/2}{x}=\dfrac x2\to0⁠，故a=0a=0⁠。f′(0)=lim⁡x→0ex−1−xx2=12f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathrm e^x-1-x}{x^2}=\dfrac12⁠。（SymPy：12\tfrac12⁠。）

例 6：设f(x)={1−cos⁡xx,x≠0a,x=0f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{x},&x\ne0\\ a,&x=0\end{cases}⁠，求aa与f′(0)f'(0)⁠。

解：1−cos⁡xx∼x2→0\dfrac{1-\cos x}{x}\sim\dfrac x2\to0⁠，a=0a=0⁠。f′(0)=lim⁡x→01−cos⁡xx2=12f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12⁠。（SymPy：12\tfrac12⁠。）

三、含参数的分段函数：连续一个方程，可导再一个方程

套路：

  • 要求"连续"：在分界点令左极限 = 右极限 = 函数值，得一个方程；
  • 要求"可导"：再令左导数 = 右导数，得另一个方程。
  • 两个参数 → 一般"可导"就够了（可导已包含连续）。

例 7：设f(x)={x2,x≤1ax+b,x>1f(x)=\begin{cases}x^2,&x\le1\\ ax+b,&x>1\end{cases}在x=1x=1处可导，求a,ba,b⁠。

解：连续：1=a+b1=a+b⁠。可导：f−′(1)=2x∣1=2f'_-(1)=2x|_1=2⁠，f+′(1)=af'_+(1)=a⁠，故a=2a=2⁠，b=−1b=-1⁠。（SymPy 解方程组a+b=1, a=2a+b=1,\ a=2⁠：a=2,b=−1a=2,b=-1⁠。）

例 8：设f(x)={cos⁡x,x≤0a+bx,x>0f(x)=\begin{cases}\cos x,&x\le0\\ a+bx,&x>0\end{cases}⁠，在x=0x=0处导数连续（即f∈C1f\in C^1⁠），求a,ba,b⁠。

解：连续：a=cos⁡0=1a=\cos0=1⁠。左导数−sin⁡0=0-\sin0=0⁠，右导数bb⁠，故b=0b=0⁠。（SymPy：cos⁡x\cos x在00的导数为00⁠。）

例 9：设f(x)={sin⁡x,x<0ax2+bx,x≥0f(x)=\begin{cases}\sin x,&x<0\\ ax^2+bx,&x\ge0\end{cases}在x=0x=0处二阶可导，求a,ba,b⁠。

解：连续：0=00=0⁠，自动成立。一阶：f−′(0)=cos⁡0=1f'_-(0)=\cos0=1⁠，f+′(0)=bf'_+(0)=b⁠，故b=1b=1⁠。二阶：左边f−′′(0)=−sin⁡0=0f''_-(0)=-\sin0=0⁠，右边f+′′(0)=2af''_+(0)=2a⁠，故a=0a=0⁠。（SymPy：sin⁡x\sin x的二阶导在00为00⁠，右边为2a2a⁠。）

易错：二阶可导要求一阶导函数在x0x_0处连续、且左右二阶导相等，所以三个条件（函数值、一阶导、二阶导）依次对齐。

例 10（极限式定义，只要连续）：设f(x)=lim⁡n→∞x2n−1+ax2+bxx2n+1f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}连续，求a,ba,b⁠。

解：分段得∣x∣<1|x|<1⁠：f=ax2+bxf=ax^2+bx⁠；∣x∣>1|x|>1⁠：f=1xf=\dfrac1x⁠；x=1x=1⁠：f=1+a+b2f=\dfrac{1+a+b}{2}⁠；x=−1x=-1⁠：f=−1+a−b2f=\dfrac{-1+a-b}{2}⁠。

x=1x=1⁠：左极限a+ba+b⁠，右极限11⁠，要连续需a+b=1a+b=1⁠，同时f(1)=1+a+b2=1f(1)=\dfrac{1+a+b}2=1⁠，一致。 x=−1x=-1⁠：左极限1−1=−1\dfrac1{-1}=-1⁠，右极限a−ba-b⁠，需a−b=−1a-b=-1⁠，且f(−1)=−1+a−b2=−1f(-1)=\dfrac{-1+a-b}2=-1⁠，一致。 解得a=0, b=1a=0,\ b=1⁠。（SymPy：解a+b=1, a−b=−1a+b=1,\ a-b=-1得a=0,b=1a=0,b=1⁠。）

此时f(x)=xf(x)=x（⁠∣x∣≤1|x|\le1⁠），1x\dfrac1x（⁠∣x∣>1|x|>1⁠）。在x=1x=1⁠：左导数11⁠，右导数−1-1⁠，不可导——所以这道题只能要求连续，不能要求可导。

四、绝对值函数：∣x−a∣ φ(x)|x-a|\,\varphi(x)的不可导点

结论：设φ(x)\varphi(x)在x=ax=a连续，则f(x)=∣x−a∣φ(x)f(x)=|x-a|\varphi(x)在x=ax=a 可导   ⟺  φ(a)=0\iff\varphi(a)=0⁠。

为什么：f(x)−f(a)x−a=∣x−a∣x−aφ(x)\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\dfrac{|x-a|}{x-a}\varphi(x)⁠，右极限φ(a)\varphi(a)⁠，左极限−φ(a)-\varphi(a)⁠。两者相等当且仅当φ(a)=0\varphi(a)=0⁠。

大白话：∣x−a∣|x-a|在aa处有个尖角，乘上一个在aa处等于零的函数，尖角就被"压平"了；如果φ(a)≠0\varphi(a)\ne0⁠，尖角还在。

例 11：求f(x)=(x2−x−2) ∣x3−x∣f(x)=(x^2-x-2)\,|x^3-x|的不可导点。

解：∣x3−x∣=∣x∣∣x−1∣∣x+1∣|x^3-x|=|x||x-1||x+1|⁠，可能不可导点为x=0,1,−1x=0,1,-1⁠。x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2-x-2=(x-2)(x+1)⁠。

  • x=0x=0⁠：另一个因子(x2−x−2)∣x2−1∣→−2⋅1=−2≠0(x^2-x-2)|x^2-1|\to-2\cdot1=-2\ne0⁠，不可导；
  • x=1x=1⁠：因子(x2−x−2)∣x∣∣x+1∣→(−2)⋅2≠0(x^2-x-2)|x||x+1|\to(-2)\cdot2\ne0⁠，不可导；
  • x=−1x=-1⁠：因子x2−x−2x^2-x-2在x=−1x=-1等于00⁠，可导。

所以不可导点为x=0,1x=0,1⁠。（SymPy 验算：在x=0x=0⁠，左导数22⁠、右导数−2-2⁠；在x=1x=1⁠，左44⁠、右−4-4⁠；在x=−1x=-1⁠，左右都是00⁠。）

例 12：求f(x)=∣x∣sin⁡xf(x)=|x|\sin x在x=0x=0的可导性。

解：φ=sin⁡x\varphi=\sin x⁠，φ(0)=0\varphi(0)=0⁠，可导。直接验：∣x∣sin⁡xx→0\dfrac{|x|\sin x}{x}\to0（SymPy 也给00⁠）。

五、xαsin⁡1xx^\alpha\sin\dfrac1x型：α\alpha越大，性质越好

设f(x)={xαsin⁡1x,x>00,x≤0f(x)=\begin{cases}x^\alpha\sin\dfrac1x,&x>0\\ 0,&x\le0\end{cases}⁠，在x=0x=0处：

  • 连续  ⟺  α>0\iff\alpha>0（因为∣xαsin⁡1x∣≤xα→0|x^\alpha\sin\frac1x|\le x^\alpha\to0⁠）；
  • 可导  ⟺  α>1\iff\alpha>1（⁠f(x)x=xα−1sin⁡1x\dfrac{f(x)}{x}=x^{\alpha-1}\sin\dfrac1x要→0\to0⁠）；
  • 导函数连续  ⟺  α>2\iff\alpha>2（⁠f′(x)=αxα−1sin⁡1x−xα−2cos⁡1xf'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\sin\dfrac1x-x^{\alpha-2}\cos\dfrac1x要→0\to0⁠）。

例 13：f(x)={x2sin⁡1x,x≠00,x=0f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}⁠，求f′(0)f'(0)⁠，并判断f′(x)f'(x)在00是否连续。

解：f′(0)=lim⁡x→0xsin⁡1x=0f'(0)=\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac1x=0⁠。当x≠0x\ne0时f′(x)=2xsin⁡1x−cos⁡1xf'(x)=2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x⁠，第一项→0\to0⁠，第二项来回摆动，极限不存在。故 ff在00处可导，但f′f'在00处不连续（⁠00是f′f'的振荡间断点）。（SymPy：f′(0)=0f'(0)=0⁠；2xsin⁡1x−cos⁡1x2x\sin\frac1x-\cos\frac1x的极限区间为[−1,1][-1,1]⁠。）

例 14：对f(x)=xαsin⁡1xf(x)=x^\alpha\sin\dfrac1x（⁠x>0x>0⁠），f(x)=0f(x)=0（⁠x≤0x\le0⁠），验证α=12,1,32\alpha=\tfrac12,1,\tfrac32时在00的可导情况。

解：f(x)x=xα−1sin⁡1x\dfrac{f(x)}{x}=x^{\alpha-1}\sin\dfrac1x⁠：α=12\alpha=\tfrac12时x−1/2sin⁡1xx^{-1/2}\sin\dfrac1x无界振荡，不可导；α=1\alpha=1时sin⁡1x\sin\dfrac1x振荡，不可导；α=32\alpha=\tfrac32时→0\to0⁠，可导，f′(0)=0f'(0)=0⁠。（SymPy：α=32\alpha=\tfrac32极限00⁠。）

六、高阶导数：x2∣x∣x^2|x|的"天花板"

例 15：f(x)=x2∣x∣f(x)=x^2|x|⁠，问f′′(0)f''(0)⁠、f′′′(0)f'''(0)是否存在？

解：x>0x>0时f=x3f=x^3⁠，x<0x<0时f=−x3f=-x^3⁠。

  • f′(0)=lim⁡x→0x2∣x∣x=0f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2|x|}{x}=0⁠；f′(x)=3x∣x∣f'(x)=3x|x|（⁠x≠0x\ne0⁠）。
  • f′′(0)=lim⁡x→03x∣x∣x=0f''(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x|x|}{x}=0⁠；f′′(x)=6∣x∣f''(x)=6|x|⁠。
  • f′′′(0)f'''(0)⁠：6∣x∣−0x\dfrac{6|x|-0}{x}⁠，右极限66⁠，左极限−6-6⁠，不存在。

结论：ff二阶可导，但三阶不可导。（SymPy：x>0x>0时(x3)′′′=6(x^3)'''=6⁠，(−x3)′′′=−6(-x^3)'''=-6⁠。）

规律：xn∣x∣x^n|x|恰好nn阶可导，n+1n+1阶不可导。

例 16：设f(x)={e−1/x2,x≠00,x=0f(x)=\begin{cases}\mathrm e^{-1/x^2},&x\ne0\\ 0,&x=0\end{cases}⁠，求f′(0)f'(0)⁠。

解：e−1/x2x\dfrac{\mathrm e^{-1/x^2}}{x}⁠，令t=1xt=\dfrac1{x}换元，指数衰减压过幂，极限为00⁠。f′(0)=0f'(0)=0⁠。（SymPy：00⁠；而且f′(x)/xf'(x)/x的极限也是00⁠，即f′′(0)=0f''(0)=0⁠。）

速记卡

  • 可导 ⟹ 连续，反之不成立；不连续一定不可导。
  • 分界点两步：先连续，再左右导数相等。
  • 各段可导的捷径：连续之后，直接用两段的导函数代入分界点。
  • ∣x−a∣φ(x)|x-a|\varphi(x)：在aa处可导  ⟺  φ(a)=0\iff\varphi(a)=0（⁠φ\varphi连续）。
  • xαsin⁡1xx^\alpha\sin\frac1x：α>0\alpha>0连续，α>1\alpha>1可导，α>2\alpha>2导函数连续。
  • xn∣x∣x^n|x|：nn阶可导，n+1n+1阶不可导。

易错清单

  1. 没确认连续就直接用"两段导数相等"得结论。
  2. 把"可导"与"导函数连续"混为一谈（例 13）。
  3. 求参数时只写一个方程：可导 = 连续 + 导数相等，通常有两个方程。
  4. ∣x−a∣φ(x)|x-a|\varphi(x)判可导时忘记φ\varphi在aa要连续。

自测 8 题

1. 设f(x)={x2+1,x≤1ax+b,x>1f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\le1\\ ax+b,&x>1\end{cases}在x=1x=1可导，求a,ba,b⁠。

答案与提示

连续：2=a+b2=a+b⁠；导数：2=a2=a⁠。a=2,b=0a=2,b=0⁠。

2. 求f(x)=∣x∣(x−1)f(x)=|x|(x-1)的不可导点。

答案与提示

x=0x=0⁠：φ=x−1\varphi=x-1⁠，φ(0)=−1≠0\varphi(0)=-1\ne0⁠，不可导。x=1x=1不是绝对值零点，可导。

3. 设f(x)={sin⁡xx,x≠0a,x=0f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x},&x\ne0\\ a,&x=0\end{cases}⁠，f′(0)=?f'(0)=?

答案与提示

a=1a=1⁠，f′(0)=0f'(0)=0（例 4）。

4. 判断f(x)=x3sin⁡1xf(x)=x^3\sin\dfrac1x（⁠x≠0x\ne0⁠），f(0)=0f(0)=0在00处导函数是否连续。

答案与提示

α=3>2\alpha=3>2⁠，导函数连续，f′(0)=0f'(0)=0⁠。

5. 设f(x)={e2x,x<0a+bx,x≥0f(x)=\begin{cases}\mathrm e^{2x},&x<0\\ a+bx,&x\ge0\end{cases}在x=0x=0可导，求a,ba,b⁠。

答案与提示

连续：a=1a=1⁠；导数：左22⁠，右bb⁠，故b=2b=2⁠。

6. f(x)=x∣x∣2f(x)=x|x|^2在x=0x=0处可导几阶？

答案与提示

x∣x∣2=x3x|x|^2=x^3处处光滑，任意阶可导。（注意：∣x∣2=x2|x|^2=x^2⁠，不是∣x∣|x|的奇次幂。）

7. 设f(x)={1−cos⁡xx,x≠0a,x=0f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{x},&x\ne0\\ a,&x=0\end{cases}⁠，求使ff连续的aa及f′(0)f'(0)⁠。

答案与提示

a=0a=0⁠，f′(0)=12f'(0)=\dfrac12⁠。

8.（略提高）设f(x)={x2−1x−1,x≠1a,x=1f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\ne1\\ a,&x=1\end{cases}⁠，求aa使ff连续并求f′(1)f'(1)⁠。

答案与提示

x≠1x\ne1时f=x+1f=x+1⁠，a=2a=2⁠，f′(1)=1f'(1)=1⁠。

下一篇预告

专题 S05 讲导数定义的各种变形题：lim⁡f(x0+2h)−f(x0−h)h\lim\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{h}这类"拆成导数定义"的题怎么配凑，以及抽象函数里的"已知极限反推导数"。

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