考研数学二·零基础讲义 专题S03（下）｜数列极限：单调有界准则与递推数列

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S03（下）｜数列极限：单调有界准则与递推数列

学完这篇，你能证明一个数列收敛、求出它的极限；面对$x_{n+1}=f(x_n)$型递推数列，会按"有界 → 单调 → 解方程"三步走，也知道数列不单调时该换什么办法。全篇 15 道例题 + 8 道自测，所有答案都用 SymPy 验算过。预计用时 70–90 分钟。

本讲地图#

• 第一步：单调有界准则——"只升不降又有天花板，必定收敛"。
• 第二步：递推数列三步法——证有界、证单调、令$n\to\infty$解方程。
• 第三步：几种证明单调的手段——作差、作比、数学归纳法、函数单调性。
• 第四步：经典数列——$(1+\frac1n)^n$⁠、$\sum\frac1{k^2}$⁠、欧拉常数。
• 第五步：不单调怎么办——奇偶子列、压缩估计$|x_{n+1}-A|\le q|x_n-A|$⁠。
• 大纲要求：理解单调有界准则并会用它证明数列收敛；考研常出递推数列的证明题（大题 10 分左右）。

前置知识#

• 数列极限与夹逼准则：第 02 讲、专题 S03（上）。
• 数学归纳法：第 01 讲的预备知识（不会也没关系，本篇每次都写出完整格式）。
• 均值不等式$\dfrac{a+b}2\ge\sqrt{ab}$（⁠$a,b\ge0$⁠）、导数判断单调：第 08 讲。

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一、单调有界准则#

大白话：想象一个人爬楼梯，只上不下（单调增），而头顶有一块天花板（有上界）。他不可能一直爬——要么停在某一层，要么被天花板挡住，所以他一定会"逼近"某一个高度。这个高度就是极限。

准则：

• 单调增加且有上界的数列必收敛；
• 单调减少且有下界的数列必收敛。

合起来一句话：单调有界数列必有极限。

逐行拆解：

• "单调增加"指$x_{n+1}\ge x_n$对所有$n$（或从某项起）成立。
• "有上界"指存在常数$M$⁠，使$x_n\le M$对所有$n$成立。上界不用最好，只要有一个就行。
• 这条准则只告诉你"极限存在"，不告诉你等于多少。要求出极限，还得再想办法（通常对递推式两边取极限，解方程）。

常见错误：只证单调、不证有界——比如$x_n=n$单调增，但没有上界，发散。必须两个条件同时满足。

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二、递推数列的三步法#

问题形态：给出首项$x_1$和递推式$x_{n+1}=f(x_n)$⁠，要证$\{x_n\}$收敛并求极限。

标准流程：

1. 先猜：解方程$A=f(A)$找出可能的极限（"不动点"）；再算前几项，看数列是增还是减，朝哪个不动点走。
2. 证有界：用数学归纳法。
3. 证单调：作差$x_{n+1}-x_n$⁠，或作比，或用函数单调性。
4. 取极限：设$\lim x_n=A$⁠，对$x_{n+1}=f(x_n)$两边令$n\to\infty$得$A=f(A)$⁠，解出$A$⁠，把不符合有界范围的根舍掉。

几何画面——蛛网图：把$y=f(x)$和$y=x$画在一起。从$x_1$出发竖直走到曲线（得$x_2=f(x_1)$的高度），再水平走到直线$y=x$（把高度"转回"横坐标），再竖直……如此循环，折线就在两条线之间走阶梯。

图 1：$x_1=\sqrt2$⁠，$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$的蛛网图：折线沿阶梯一步步向上，逼近曲线与直线的交点（不动点 2）（动画循环播放）。

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例 1：设$x_1=\sqrt2$⁠，$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$⁠，证明$\{x_n\}$收敛并求极限。

解：

① 有界：先证$0<x_n<2$⁠。$n=1$⁠：$0<\sqrt2<2$成立。假设$x_n<2$⁠，则$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}<\sqrt{2+2}=2$⁠，也成立。由归纳法，$0<x_n<2$对所有$n$成立。

② 单调增：$x_{n+1}-x_n=\sqrt{2+x_n}-x_n$⁠。要判断符号，比较平方（两边都正）：$2+x_n-x_n^2=(2-x_n)(1+x_n)>0$（因为$0<x_n<2$⁠）。所以$\sqrt{2+x_n}>x_n$⁠，即$x_{n+1}>x_n$⁠。

③ 单调增有上界$2$，故收敛。设极限为$A$⁠，对$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$取极限：$A=\sqrt{2+A}$⁠，即$A^2-A-2=0$⁠，$(A-2)(A+1)=0$⁠，$A=2$或$A=-1$⁠。因为$x_n>0$⁠，$A\ge0$⁠，舍去$-1$⁠。极限为$\mathbf{2}$⁠。

例 2：设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\dfrac{x_n}{1+x_n}$⁠，证明收敛并求极限。

解：$x_n>0$（归纳：$x_n>0\Rightarrow x_{n+1}>0$⁠）。$x_{n+1}-x_n=\dfrac{x_n}{1+x_n}-x_n=\dfrac{-x_n^2}{1+x_n}<0$⁠，单调减、有下界$0$⁠，故收敛。设极限$A$⁠：$A=\dfrac A{1+A}$⁠，$A(1+A)=A$⁠，$A^2=0$⁠，$A=0$⁠。

（其实可以写出通项：取倒数$\dfrac1{x_{n+1}}=\dfrac1{x_n}+1$⁠，得$x_n=\dfrac1n$⁠，极限为$0$⁠，两种方法一致。）

例 3：设$x_1=2$⁠，$x_{n+1}=2-\dfrac1{x_n}$⁠，证明收敛并求极限。

解：先证$x_n>1$⁠：$x_1=2>1$⁠；若$x_n>1$⁠，则$x_{n+1}-1=1-\dfrac1{x_n}=\dfrac{x_n-1}{x_n}>0$⁠。 单调：$x_{n+1}-x_n=2-\dfrac1{x_n}-x_n=-\dfrac{(x_n-1)^2}{x_n}\le0$⁠，单调减，有下界$1$⁠，收敛。设极限$A$⁠：$A=2-\dfrac1A$⁠，$A^2-2A+1=0$⁠，$A=1$⁠。

例 4：设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\ln(1+x_n)$⁠，证明收敛并求极限。

解：先证$x_n>0$（⁠$x_n>0\Rightarrow1+x_n>1\Rightarrow\ln(1+x_n)>0$⁠）。利用不等式$\ln(1+x)<x\ (x>0)$⁠：$x_{n+1}=\ln(1+x_n)<x_n$⁠，单调减、有下界$0$⁠，收敛。设极限$A\ge0$⁠：$A=\ln(1+A)$⁠。令$g(t)=t-\ln(1+t)$⁠，$g'(t)=\dfrac t{1+t}>0\ (t>0)$⁠，$g(0)=0$⁠，所以$g(t)>0\ (t>0)$⁠，只有$A=0$满足。极限为$0$⁠。

例 5：设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\sin x_n$⁠，求$\lim x_n$⁠。

解：$0<x_n\le1<\pi$⁠，故$x_n\in(0,1]$⁠，$\sin x_n>0$⁠，数列各项为正；又$\sin x<x\ (x>0)$⁠，所以$x_{n+1}<x_n$⁠，单调减有下界$0$⁠，收敛。设极限$A$⁠：$A=\sin A$⁠，唯一解$A=0$（因为$x>0$时$\sin x<x$⁠）。极限为$0$⁠。

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三、看$f$的单调性，就知道数列会不会单调#

前面几例都用了"作差"，更一般的判断依据是$f(x)$本身：

• $f$单调增加（如$\sqrt{2+x}$⁠、$\ln(1+x)$在其定义域上）：数列$\{x_n\}$ 一定单调，方向由$x_1$与$x_2$的大小决定。$x_2>x_1\Rightarrow$增；$x_2<x_1\Rightarrow$减。 理由：$x_2>x_1$时，$f$增推出$f(x_2)>f(x_1)$⁠，即$x_3>x_2$⁠，以此类推。
• $f$单调减少（如$\dfrac1{1+x}$⁠）：数列不单调，但奇数项子列与偶数项子列各自单调，且方向相反。

例 6：设$x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+1}2$⁠，讨论$x_1$取不同值时的敛散性。

解：不动点：$A=\dfrac{A^2+1}2\Rightarrow(A-1)^2=0$⁠，$A=1$⁠。又$x_{n+1}-x_n=\dfrac{(x_n-1)^2}2\ge0$⁠，数列恒单调增（无论$x_1$是多少）。

• 若$0\le x_1<1$⁠：归纳$x_n<1$（⁠$x_n<1\Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+1}2<1$⁠），单调增有上界$1$⁠，收敛，极限为$1$⁠。例如$x_1=\dfrac12$⁠。
• 若$x_1=1$⁠：常数列，极限$1$⁠。
• 若$x_1>1$⁠：单调增，且$x_n\ge x_1>1$⁠。若收敛，极限$A\ge x_1>1$⁠，但唯一可能的极限是$1$⁠，矛盾，所以发散，$x_n\to+\infty$⁠。例如$x_1=1.5$时数列飞速增大。

启示：初值不同，结论可以完全不同；"有界性"必须依赖初值来证。

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四、均值不等式型：牛顿迭代与$\sqrt2$#

例 7：设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac2{x_n}\right)$⁠，求$\lim x_n$⁠。

解：

① 有下界：$x_n>0$⁠，由均值不等式$x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac2{x_n}\right)\ge\sqrt{x_n\cdot\dfrac2{x_n}}=\sqrt2\ (n\ge1)$⁠。所以从$x_2$起有$x_n\ge\sqrt2$⁠。

② 从$x_2$起单调减：$x_{n+1}-x_n=\dfrac{2-x_n^2}{2x_n}\le0$（因为$x_n\ge\sqrt2$⁠，$x_n^2\ge2$⁠）。

③ 收敛，设极限$A\ge\sqrt2$⁠：$A=\dfrac12\left(A+\dfrac2A\right)\Rightarrow A^2=2\Rightarrow A=\sqrt2$⁠。

注意：这里$x_1=1<\sqrt2$⁠，数列并非从头就单调（⁠$x_1=1,x_2=1.5$先升后降）。写证明时要强调"从第二项起单调减"，单调有界准则只要求从某一项起即可。

这个递推式就是用牛顿法解方程$x^2=2$得到的，收敛速度极快：$1,\ 1.5,\ 1.4167,\ 1.41422,\ \dots$

例 8：设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$⁠，求极限。

解：不动点$A=\sqrt{6+A}\Rightarrow A^2-A-6=0\Rightarrow A=3$或$-2$⁠，取$3$⁠。证$0<x_n<3$（归纳：$x_n<3\Rightarrow x_{n+1}<\sqrt9=3$⁠），单调增：$6+x-x^2=(3-x)(2+x)>0$⁠。极限为$3$⁠。

这类$\sqrt{a+x_n}$的题完全是同一套路：猜不动点 → 归纳有界 → 因式分解判单调。

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五、不是递推：经典的单调有界数列#

例 9：证明$x_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$收敛（极限就是$e$⁠）。

解：

① 单调增：把$x_n$看成$n$个$\left(1+\dfrac1n\right)$与一个$1$的几何平均的$(n+1)$次方，用均值不等式： $$x_n=1\cdot\left(1+\frac1n\right)^n\le\left[\frac{1+n\left(1+\frac1n\right)}{n+1}\right]^{n+1}=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}=x_{n+1}.$$

② 有上界：二项式展开$x_n=\sum\limits_{k=0}^n\binom nk\dfrac1{n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac1{k!}\cdot\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\le\sum\limits_{k=0}^n\dfrac1{k!}<1+1+\dfrac1{2}+\dfrac1{2^2}+\cdots<3$（用$k!\ge2^{k-1}$⁠）。

单调增有上界，所以收敛，这个极限记作$e\approx2.71828$⁠。数值看：$n=1,2,3,10,100,1000$时分别是$2,\ 2.25,\ 2.370,\ 2.594,\ 2.705,\ 2.717$⁠。

例 10：设$x_n=1+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}+\cdots+\dfrac1{n^2}$⁠，证明收敛。

解：单调增显然（每次加一个正数）。有上界：当$k\ge2$时$\dfrac1{k^2}<\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$⁠，所以 $$x_n<1+\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)=2-\frac1n<2.$$ 故收敛（极限其实是$\dfrac{\pi^2}6$⁠，但数二不要求这个值）。

例 11：设$x_n=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n-\ln n$⁠，证明收敛（极限$\gamma\approx0.5772$⁠，称欧拉常数）。

解：关键不等式：$\dfrac1{n+1}<\ln\left(1+\dfrac1n\right)<\dfrac1n$（由$\ln(1+t)<t$和$\ln(1+t)>\dfrac t{1+t}$⁠，取$t=\dfrac1n$⁠）。

• 单调减：$x_{n+1}-x_n=\dfrac1{n+1}-\ln\dfrac{n+1}n=\dfrac1{n+1}-\ln\left(1+\dfrac1n\right)<0$⁠。
• 有下界：$\ln\left(1+\dfrac1k\right)<\dfrac1k$⁠，对$k=1,\dots,n$求和，$\sum\limits_{k=1}^n\ln\dfrac{k+1}k=\ln(n+1)<\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1k$⁠。所以$x_n>\ln(n+1)-\ln n>0$⁠。

单调减有下界$0$⁠，收敛。

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六、不单调、不能直接用准则的时候#

办法一：奇偶子列#

例 12：设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\dfrac1{1+x_n}$⁠，求$\lim x_n$⁠。

解：$f(x)=\dfrac1{1+x}$单调减，数列前几项$1,\ \dfrac12,\ \dfrac23,\ \dfrac35,\ \dfrac58,\dots$忽上忽下，不单调。

先看极限的候选：$A=\dfrac1{1+A}\Rightarrow A^2+A-1=0\Rightarrow A=\dfrac{\sqrt5-1}2\approx0.618$（舍负根，因为$x_n>0$⁠）。

直接估计与不动点的距离： $$x_{n+1}-A=\frac1{1+x_n}-\frac1{1+A}=\frac{A-x_n}{(1+x_n)(1+A)},$$ 因为$x_n>0$且$A>0.6$⁠，$(1+x_n)(1+A)>1.6$⁠，所以 $$|x_{n+1}-A|\le\frac1{1.6}|x_n-A|=q|x_n-A|,\qquad q=\frac58<1.$$ 递推得$|x_n-A|\le q^{n-1}|x_1-A|\to0$⁠，夹逼得$x_n\to A$⁠。极限为$\dfrac{\sqrt5-1}2$⁠。

图 2：$f(x)=\dfrac1{1+x}$单调减，蛛网图不再爬阶梯，而是绕着交点一圈圈转进去：数列左右摆动，但越摆越近（动画循环播放）。

办法二：压缩估计（不等式夹逼）#

例 13：设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\dfrac{2+x_n}{1+x_n}$⁠，求$\lim x_n$⁠。

解：不动点：$A=\dfrac{2+A}{1+A}\Rightarrow A^2=2\Rightarrow A=\sqrt2$⁠。数列：$1,\ 1.5,\ 1.4,\ 1.4167,\dots$摆动。直接算$x_{n+1}-\sqrt2$⁠： $$x_{n+1}-\sqrt2=\frac{2+x_n-\sqrt2(1+x_n)}{1+x_n}=\frac{(\sqrt2-1)(\sqrt2-x_n)}{1+x_n}.$$ （分子：$2-\sqrt2-(\sqrt2-1)x_n=(\sqrt2-1)(\sqrt2-x_n)$⁠，因为$2-\sqrt2=\sqrt2(\sqrt2-1)$⁠。）由$x_n\ge1>0$⁠，$\dfrac1{1+x_n}<1$⁠，所以 $$|x_{n+1}-\sqrt2|\le(\sqrt2-1)|x_n-\sqrt2|,\qquad\sqrt2-1\approx0.414<1.$$ 递推得$|x_n-\sqrt2|\le(\sqrt2-1)^{n-1}|x_1-\sqrt2|\to0$⁠，所以极限为$\sqrt2$⁠。

办法三：中值定理做压缩#

例 14：设$x_1=0$⁠，$x_{n+1}=\cos x_n$⁠，证明收敛。

解：方程$x=\cos x$在$[0,1]$上有唯一根$A\approx0.7391$（⁠$g(x)=x-\cos x$单调增，$g(0)<0<g(1)$⁠）。$x_2=1$⁠，之后$x_n\in[\cos1,1]\subset[0,1]$⁠。用拉格朗日中值定理： $$|x_{n+1}-A|=|\cos x_n-\cos A|=|\sin\xi|\cdot|x_n-A|\le\sin1\cdot|x_n-A|,$$ 其中$\xi$介于$x_n$与$A$之间，$\xi\in[0,1]$⁠，$\sin\xi\le\sin1\approx0.84<1$⁠。于是$|x_n-A|\le(\sin1)^{n-2}|x_2-A|\to0$⁠。数列收敛到$A$（方程$x=\cos x$的根）。

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七、单调增但无界：发散的情形#

例 15：设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=x_n+\dfrac1{x_n}$⁠，问$\{x_n\}$是否收敛？

解：$x_n>0$⁠，$x_{n+1}-x_n=\dfrac1{x_n}>0$⁠，单调增。若收敛，设极限$A\ge1$⁠：$A=A+\dfrac1A$⁠，推出$\dfrac1A=0$⁠，矛盾，所以发散，$x_n\to+\infty$⁠。 （也可直接估计：$x_{n+1}^2=x_n^2+2+\dfrac1{x_n^2}\ge x_n^2+2$⁠，得$x_n^2\ge2n-1\to\infty$⁠。）

结论：单调数列要么收敛，要么趋于$\pm\infty$⁠。"单调增 + 取极限得矛盾"是证明发散的常用招数。

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易错点汇总#

1. 只证单调不证有界，或相反。两个条件缺一不可。
2. 取极限解方程后不舍根：例 1 里的$-1$⁠、例 8 里的$-2$必须根据有界范围舍去。
3. 在没证收敛之前就设$\lim x_n=A$并解方程：这是最严重的逻辑错误。必须先由准则证明极限存在，再令$n\to\infty$求值。
4. 单调方向误判：$f$增时数列单调，方向看$x_2$与$x_1$⁠；$f$减时数列不单调，别硬证单调。
5. 归纳法漏写归纳假设：一定要写"假设$x_n<\cdots$⁠，则$x_{n+1}<\cdots$"。

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公式/结论速记卡#

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自测练习#

1. 设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\dfrac{x_n}{1+x_n^2}$⁠，求$\lim x_n$⁠。

答案与提示

$x_n>0$⁠，$x_{n+1}-x_n=-\dfrac{x_n^3}{1+x_n^2}<0$⁠，单调减有下界$0$⁠。设极限$A$⁠：$A=\dfrac A{1+A^2}\Rightarrow A^3=0$⁠，答案$0$⁠。

2. 设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\sqrt{2x_n+3}$⁠，求$\lim x_n$⁠。

答案与提示

不动点$A^2-2A-3=0\Rightarrow A=3$（舍$-1$⁠）。归纳$x_n<3$⁠，单调增：$2x+3-x^2=(3-x)(1+x)>0$⁠。答案$3$⁠。

3. 设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac3{x_n}\right)$⁠，求$\lim x_n$⁠。

答案与提示

同例 7：均值不等式得$x_n\ge\sqrt3\ (n\ge2)$⁠，从$x_2$起单调减。答案$\sqrt3$⁠。

4. 求$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{k(k+1)}$（并说明为什么收敛）。

答案与提示

$\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$⁠，和$=1-\dfrac1{n+1}\to1$⁠。单调增有上界$1$⁠，收敛，答案$1$⁠。

5. 设$x_1=\dfrac12$⁠，$x_{n+1}=x_n(1-x_n)$⁠，求$\lim x_n$⁠。

答案与提示

$0<x_n<1$（归纳：$x_n\in(0,1)\Rightarrow x_n(1-x_n)\in(0,\tfrac14]$⁠），$x_{n+1}-x_n=-x_n^2<0$⁠，单调减有下界。$A=A(1-A)\Rightarrow A^2=0$⁠，答案$0$⁠。

6. 在例 6 中取$x_1=3$⁠，数列收敛吗？

答案与提示

不收敛。$x_1=3>1$⁠，数列单调增，若收敛则极限$\ge3$⁠，但唯一不动点是$1$⁠，矛盾，$x_n\to+\infty$（前几项$3,5,13,85,3613,\dots$⁠）。

7. 设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=\dfrac2{1+x_n}$⁠，求$\lim x_n$⁠。

答案与提示

$f(x)=\dfrac2{1+x}$单调减，不动点$A^2+A-2=0\Rightarrow A=1$（舍$-2$⁠）。$x_1=1$恰是不动点，数列是常数列$1,1,1,\dots$⁠，极限$1$⁠。若改成$x_1=2$⁠：$|x_{n+1}-1|=\dfrac{|1-x_n|}{1+x_n}\le\dfrac12|x_n-1|$（⁠$x_n>0$时分母$>1$⁠，又从$x_2$起$x_n\ge\dfrac23$⁠，比值$\le\dfrac35$⁠），同样收敛于$1$⁠。

8.（略提高）设$x_1=1$⁠，$x_{n+1}=x_n+x_n^2$⁠，问$\{x_n\}$是否收敛？

答案与提示

$x_{n+1}-x_n=x_n^2>0$⁠，单调增。若收敛，极限$A\ge1$⁠：$A=A+A^2\Rightarrow A=0$⁠，矛盾，发散，$x_n\to+\infty$（前几项$1,2,6,42,1806,\dots$⁠）。

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下一篇预告#

专题 S04 讲间断点判断与分段函数的连续、可导：怎样一步步判断间断点类型，以及分段函数在分段点处连续可导时参数怎么定。