考研数电·零基础讲义 第20讲｜多谐振荡电路

考研数电·零基础讲义 · 第 20 讲｜多谐振荡电路 学完这一讲，你能说清多谐振荡器"没有稳态、两个暂稳态自己来回翻"的道理，会用 RC 充放电公式算出施密特型、非对称型多谐振荡器的周期、频率和占空比，认得环形振荡器$T=2nt_{pd}$⁠，并知道为什么要用石英晶体稳频。预计用时 100–120 分钟。

本讲地图#

• 多谐振荡器是什么：接上电源就自己输出矩形波，不要任何输入触发。可以把它看成"两个暂稳态之间来回弹跳"的电路，没有稳态。
• 四大类电路：①对称式（两个反相器 + 两个耦合电容，依靠正反馈）；②非对称式（一个电容，CMOS 常用，$T\approx2.2R_FC$⁠）；③环形振荡器（奇数个反相器首尾相接，依靠延迟负反馈，$T=2nt_{pd}$⁠）；④施密特触发器 + RC（最容易算，考试最爱）。最后是⑤石英晶体稳频。
• 统一的计算方法：和第 19 讲一样，找电容电压的"起始值、终了值、转换值"，代入$t=RC\ln\frac{终了-起始}{终了-转换}$⁠。
• 华师怎么考：考纲点名"多谐振荡器"，常见题型是给电路参数算周期/频率/占空比，或者问"怎样调节占空比"。教材对应第 7 章 7.4 节。

前置知识#

• 施密特触发器的$V_{T+}$⁠、$V_{T-}$（见第 18 讲）。
• RC 电路充放电公式、暂稳态概念（见第 19 讲）。
• 反相器、传输延迟时间$t_{pd}$（见第 05–07 讲）。

一、先把"没有稳态"想明白#

大白话#

第 19 讲的单稳态像一个"弹簧门"：平时关着（稳态），推一下开门（暂稳态），过一会儿自己关回去。多谐振荡器更像一个跷跷板：它没有平衡位置，一头翘起来，过一会儿就翻到另一头，再过一会儿又翻回来，永远如此。你不用推它，它自己就会晃。

"晃"的节奏由谁决定？由一个电容的充电和放电。电容像一个水桶：往里灌水（充电）直到水位到达某个线，就触发翻转；翻转后开始排水（放电），水位降到另一条线，再翻转回来。水桶多大（⁠$C$⁠）、水管多细（⁠$R$⁠）决定了一圈要多久，这就是振荡周期。

正式地说#

多谐振荡电路（astable multivibrator）：没有稳定状态，只有两个暂稳态；接通电源后在两个暂稳态之间自动往复，输出矩形脉冲。"多谐"二字是因为矩形波里含有丰富的高次谐波。

输出波形的三个指标：

• 周期$T$⁠：一个完整的"高 + 低"的时间；频率$f=1/T$⁠。
• 高电平时间$T_1$⁠、低电平时间$T_2$⁠，$T=T_1+T_2$⁠。
• 占空比$q=\dfrac{T_1}{T}$⁠：高电平占一个周期的比例。$q=50\%$就是方波。

⚠️ 易错：多谐振荡器输出高电平时间叫$T_1$还是$T_2$⁠，各书各不同。做题时先自己写清楚"哪段时间对应电容的充电还是放电、输出是高还是低"，再下笔。

二、用施密特触发器构成多谐振荡器（最重要）#

大白话#

第 18 讲讲过：施密特触发器有"滞回"——输入升到$V_{T+}$才翻低，降到$V_{T-}$才翻高，中间不动。我们把它的输出通过一个电阻$R$连到一个电容$C$⁠，再把电容上的电压接回施密特的输入。

于是形成一个自动循环：输出是高电平时，通过$R$给$C$充电，电压慢慢上升；升到$V_{T+}$⁠，施密特翻转成低电平；这时输出变低，电容通过$R$往输出端放电，电压慢慢下降；降到$V_{T-}$⁠，又翻回高电平……如此往复。电容电压就在$V_{T-}$与$V_{T+}$之间上下来回，滞回宽度刚好给了它"来回走"的空间。

电路与波形#

下图左边是电路（施密特反相器 S，输出经$R$到电容$C$⁠，电容电压$v_C$回到输入），右边是 Python 按真实充放电模拟出的波形。

图 1：施密特反相器 + RC 的多谐振荡器与波形（动画扫描线循环播放）

逐行拆解：周期公式#

设施密特是 CMOS 反相型，输出高电平$V_{OH}\approx V_{DD}$⁠，低电平$V_{OL}\approx0$⁠。

• 充电阶段（输出高）：电容电压从$V_{T-}$出发，目标终了值是$V_{DD}$⁠，到$V_{T+}$时翻转。

$$T_1=RC\ln\frac{V_{DD}-V_{T-}}{V_{DD}-V_{T+}}$$

• 放电阶段（输出低）：电容电压从$V_{T+}$出发，目标终了值是$0$⁠，到$V_{T-}$时翻转。

$$T_2=RC\ln\frac{V_{T+}}{V_{T-}}$$

• 周期：

$$T=T_1+T_2=RC\ln\left(\frac{V_{DD}-V_{T-}}{V_{DD}-V_{T+}}\cdot\frac{V_{T+}}{V_{T-}}\right)$$

记忆办法：每一段都是$RC\ln\dfrac{终了值-起始值}{终了值-转换值}$⁠。充电：终了$V_{DD}$⁠、起始$V_{T-}$⁠、转换$V_{T+}$⁠；放电：终了$0$⁠、起始$V_{T+}$⁠、转换$V_{T-}$⁠，分子分母同乘$-1$就得到上面的样子。

例题 1（教材例 7.4.3）#

CMOS 施密特触发器 CC40106，$V_{DD}=10\ \text{V}$⁠，$V_{T+}=6.3\ \text{V}$⁠，$V_{T-}=2.7\ \text{V}$⁠，$R=10\ \text{k}\Omega$⁠，$C=0.01\ \mu\text{F}$⁠。求振荡周期、频率、占空比。

第 1 步：算时间常数$RC=10^4\times10^{-8}\ \text{s}=10^{-4}\ \text{s}=100\ \mu\text{s}$⁠。

第 2 步：充电时间

$$T_1=100\ \mu\text{s}\times\ln\frac{10-2.7}{10-6.3}=100\ \mu\text{s}\times\ln\frac{7.3}{3.7}\approx67.95\ \mu\text{s}$$

第 3 步：放电时间

$$T_2=100\ \mu\text{s}\times\ln\frac{6.3}{2.7}\approx84.73\ \mu\text{s}$$

第 4 步：周期$T=T_1+T_2\approx152.7\ \mu\text{s}\approx0.153\ \text{ms}$⁠，频率$f=1/T\approx6.55\ \text{kHz}$⁠。

第 5 步：这里输出高电平对应充电，所以$q=T_1/T\approx44.5\%$（Python 验算见脚本）。

调节占空比#

充电和放电都走同一个$R$⁠，所以$T_1$与$T_2$由$V_{T\pm}$决定，占空比不好调。教材的改进电路是在充电支路和放电支路各放一个电阻（用二极管分开），$T_1$只与充电电阻成正比，$T_2$只与放电电阻成正比，改它们的比值就能调占空比。

⚠️ 易错：如果输出和$R$之间没有隔离，公式里的$V_{OH}$就要用实际的输出高电平而不是$V_{DD}$⁠；TTL 施密特还要考虑输入电流，公式更复杂，考试一般只考 CMOS。

三、非对称式多谐振荡器（CMOS 两个反相器）#

电路与过程#

两个 CMOS 反相器$G_1$⁠、$G_2$串联：$G_1$的输入$v_{I1}$和输出$v_{O1}$之间跨接电阻$R_F$⁠；$G_1$的输出接$G_2$的输入；$G_2$的输出$v_O$再通过电容$C$接回$G_1$的输入。还有一个较大的保护电阻$R_P$串在$G_1$输入端，防止输入电流过大。

• 为什么没有稳态：$R_F$使$G_1$静态时输入等于输出，停在传输特性中间的转折区，放大倍数很大。此时只要有一点点扰动，就会经$G_1\to G_2\to C\to G_1$形成正反馈，使两个反相器迅速翻到一边（暂稳态 1）。
• 暂稳态 1：$v_{O}$翻为高，通过$C$把$v_{I1}$抬到$V_{TH}+V_{DD}$附近，然后电容通过$R_F$放电，$v_{I1}$逐渐下降，降到$V_{TH}$时再次正反馈翻转。
• 暂稳态 2：$v_O$翻为低，$v_{I1}$被拉到$V_{TH}-V_{DD}$附近，电容通过$R_F$充电，$v_{I1}$逐渐上升，升到$V_{TH}$时翻回暂稳态 1。

取$V_{TH}\approx\frac12V_{DD}$⁠，且$R_F$远大于反相器导通电阻，则充电与放电的时间相等：

$$T_1=R_FC\ln\frac{V_{DD}-(V_{TH}-V_{DD})}{V_{DD}-V_{TH}}=R_FC\ln3,\quad T_2=R_FC\ln3$$ $$T=T_1+T_2=2R_FC\ln3\approx2.2R_FC$$

这个电路的输出占空比约$50\%$⁠，是方波。

例题 2（教材例 7.4.2）#

$G_1$⁠、$G_2$为 CMOS 反相器，$V_{DD}=10\ \text{V}$⁠，$R_F=4.3\ \text{k}\Omega$⁠，$C=0.01\ \mu\text{F}$⁠，$R_P=30\ \text{k}\Omega$⁠，求振荡频率。

解：$R_F\gg$导通电阻，$R_P$又较大，可用$T\approx2.2R_FC$⁠：

$$T=2.2\times4.3\times10^{3}\times10^{-8}\ \text{s}=9.46\times10^{-5}\ \text{s},\quad f=\frac1T\approx10.6\ \text{kHz}$$

⚠️ 易错：$2.2$是$2\ln3\approx2.197$的近似，条件是$V_{TH}=V_{DD}/2$⁠；若阈值不在一半，不能直接用。

例题 3：反过来设计（已知频率，求电阻）#

要用非对称式 CMOS 多谐振荡器做一个$1\ \text{kHz}$的方波信号源，电容选$C=0.1\ \mu\text{F}$⁠，$R_F$应取多大？

第 1 步：周期$T=1/f=1\ \text{ms}$⁠。

第 2 步：由$T\approx2.2R_FC$反解：

$$R_F=\frac{T}{2.2C}=\frac{10^{-3}}{2.2\times0.1\times10^{-6}}\ \Omega\approx4.55\ \text{k}\Omega$$

第 3 步：实际取标准值$4.7\ \text{k}\Omega$串一个$1\ \text{k}\Omega$电位器微调。用精确式$2\ln3$算得$4.55\ \text{k}\Omega$⁠，二者差别很小。

第 4 步：检查条件：$R_F$要远大于门电路导通电阻（约几百欧），$4.55\ \text{k}\Omega$勉强可以；再配一个更大的$R_P$保护输入。

设计题的思路永远是：先把要求化成周期（或脉宽），再用公式反解$R$或$C$⁠，最后选标准值并检查前提条件。

四、对称式多谐振荡器与环形振荡器（了解）#

对称式#

两个反相器$G_1$⁠、$G_2$各自带反馈电阻$R_F$偏置到转折区，再用两个电容$C_1$⁠、$C_2$交叉耦合：$G_1$的输出经$C_1$到$G_2$的输入，$G_2$的输出经$C_2$到$G_1$的输入。工作过程和上面类似，一个电容充电、另一个放电，到阈值后正反馈翻转。对称时$T=2T_1$⁠。教材例 7.4.1：74LS04，$R_F=1\ \text{k}\Omega$⁠，$C=0.1\ \mu\text{F}$⁠，$R_1=20\ \text{k}\Omega$⁠，$V_{OH}=3.4\ \text{V}$⁠，$V_{IK}=-1\ \text{V}$⁠，$V_{TH}=1.1\ \text{V}$⁠，$V_{CC}=5\ \text{V}$⁠。先求戴维宁等效：

$$R_E=\frac{R_1R_F}{R_1+R_F}\approx0.95\ \text{k}\Omega,\quad V_E=V_{OH}+\frac{R_F}{R_1+R_F}(V_{CC}-V_{OH}-V_{BE})\approx3.44\ \text{V}$$ $$T=2R_EC\ln\frac{V_E-V_{IK}}{V_E-V_{TH}}\approx122\ \mu\text{s},\quad f\approx8.2\ \text{kHz}$$

在$R_F\ll R_1$时可以近似写成$T\approx1.3R_FC$⁠。考试多考概念，这里要记住的是"对称式靠两个耦合电容的正反馈，$T=2T_1$"。

环形振荡器：靠"延迟负反馈"#

大白话：把 3 个反相器首尾相接成一个圈。反相器每次把信号翻过来，经过 3 个就是翻了奇数次，最后一个输出和第一个输入"相反"，所以这个圈不可能稳定：信号绕一圈回到起点时刚好变成相反的值，只能再绕一圈翻回来。每绕一圈需要$3t_{pd}$⁠，所以信号翻一次要$3t_{pd}$⁠，一个完整周期是两次翻转：

$$T=2n\,t_{pd}\quad(n\ \text{为奇数且}\ n\ge3)$$

图 2 是三个反相器的环形振荡器各点波形（Python 按延迟逻辑模拟）：$v_2$比$v_1$延迟$t_{pd}$且反相，$v_3$再延迟$t_{pd}$反相，周期正好是$6t_{pd}$⁠。

图 2：三反相器环形振荡器的波形，周期$T=6t_{pd}$

缺点：门电路的$t_{pd}$只有几十纳秒，频率太高而且不好调。改进办法：在环里加 RC 延迟环节（实用电路中$T\approx2.2RC$⁠，条件是$V_{OH}=3\ \text{V}$⁠、$V_{TH}=1.4\ \text{V}$左右）。

⚠️ 易错：反相器个数必须是奇数。偶数个反相器（如 2 个）首尾相接会变成锁存器，有两个稳态，不会振荡。

五、石英晶体多谐振荡器：要稳，找晶体#

前面几种电路的频率由$R$⁠、$C$和门电路的阈值$V_{TH}$决定，而$V_{TH}$会随温度、电源电压漂移；电容充放电到阈值附近很慢，微小干扰就会让翻转时刻提前或推后。数字钟、微处理器时钟需要几乎不变的频率。

办法：把石英晶体串在对称式多谐振荡器的耦合回路里。石英晶体在固有频率$f_0$处阻抗最小，只有$f_0$的信号最容易通过并形成正反馈，所以电路振荡频率就是$f_0$⁠：

$$f=f_0,\ \text{与外接的 }R、C\text{ 无关}$$

频率稳定度$\Delta f_0/f_0$可达$10^{-10}\sim10^{-11}$⁠。

六、做题的"四步法"和三种脉冲电路的对比#

四步法（教材本章小结的白话版）#

多谐振荡器、单稳态的计时类题目几乎都能用同一套步骤，建议背下来：

1. 先定性画波形：从通电或触发开始，一步一步写出各点的高低电平，找到"决定翻转的那个电压"，通常是电容两端的电压。每次翻转前，它是在上升还是下降？
2. 画充电、放电的等效电路：把门电路的输出看成一个电压源（高电平$V_{OH}$或低电平$V_{OL}$⁠），再加上电阻和电容，画成最简单的一阶 RC 电路。CMOS 门输入电流约为零，输入端可以当断路；TTL 门输入端有电流，要把它算进去。
3. 找三个值：这一段电容电压的起始值（刚翻转那一刻）、终了值（如果一直不翻转，最后会停在哪）、转换值（到哪里就会触发下一次翻转）。
4. 代公式：$t=RC\ln\dfrac{\text{终了值}-\text{起始值}}{\text{终了值}-\text{转换值}}$⁠，充电、放电各算一次再相加。

一个"从零开始"的小推导#

以施密特多谐振荡器为例，演示三个值怎么找。设$V_{DD}=10\ \text{V}$⁠，$V_{T+}=6\ \text{V}$⁠，$V_{T-}=2\ \text{V}$⁠，$RC=1\ \text{ms}$⁠。

• 通电瞬间电容上没有电压，施密特输入为低，反相输出为高，开始充电。
• 电容电压从 0 向$V_{DD}=10\ \text{V}$靠拢，升到$V_{T+}=6\ \text{V}$时输出翻低。第一次比后面几次长，因为起始值是 0 而不是$V_{T-}$⁠：$t_0=RC\ln\frac{10-0}{10-6}=0.916\ \text{ms}$⁠。
• 翻低之后进入放电：起始值$6\ \text{V}$⁠，终了值$0$⁠，转换值$2\ \text{V}$⁠：$T_2=RC\ln\frac62=1.099\ \text{ms}$⁠。
• 再翻高又充电：起始值$2\ \text{V}$⁠，终了值$10\ \text{V}$⁠，转换值$6\ \text{V}$⁠：$T_1=RC\ln\frac{10-2}{10-6}=0.693\ \text{ms}$⁠。此后每个周期都是$T=T_1+T_2\approx1.792\ \text{ms}$⁠。

这说明：只有通电后的第一个脉冲比较长，之后的周期才是稳定的。题目问"周期"就按稳定周期算，别把第一次充电算进去。

三种脉冲电路对比#

用一句话记：施密特管"电平"，单稳态管"时间"，多谐振荡器管"节拍"。这三个电路常常拼在一起用：多谐振荡器产生脉冲，施密特整形，单稳态定宽。

七、几个常见问题#

问 1：为什么对称式、非对称式电路里要加$R_F$⁠？ 答：反相器的输入输出之间加上反馈电阻$R_F$⁠，会把静态工作点"拉"到传输特性的转折区，也就是门电路放大倍数最大的地方。这样任何微小的扰动都会被放大，保证电路一通电就能起振；没有$R_F$⁠，门电路可能稳稳地停在高电平或低电平上，不振荡。

问 2：怎么调节振荡频率？ 答：改$R$或$C$⁠。电阻大、电容大，充放电慢，频率低。想大范围调频，一般用电容分档、电位器细调。

问 3：环形振荡器能不能用偶数个反相器？ 答：不能。偶数个反相器首尾相接，每个门的输出刚好"支持"另一个门的状态，形成两个稳定状态，是锁存器，不是振荡器。

问 4：多谐振荡器的输出"高电平时间"和"低电平时间"一样长吗？ 答：不一定。对称式和 CMOS 非对称式（阈值在$V_{DD}/2$⁠）是一样长（⁠$q=50\%$⁠）；施密特型一般不等；加二极管分流后可以任意调节。

问 5：晶体振荡器为什么准？ 答：石英晶体的谐振频率由它的切割方向和外形尺寸决定，温度、电压变化对它影响很小，所以$\Delta f_0/f_0$可达$10^{-10}$以下。外接$R$⁠、$C$只负责"让电路起振并形成正反馈"，不再决定频率。

速记卡#

通用万能式：$t=RC\ln\dfrac{终了值-起始值}{终了值-转换值}$⁠。

自测练习#

1. 多谐振荡电路和单稳态电路相比，有几个稳态？输出需要触发信号吗？

答案与提示

多谐振荡器没有稳态（两个暂稳态），不需要任何触发信号，接通电源自行振荡；单稳态有一个稳态、需要触发。

2. 3 个反相器组成的环形振荡器，每个门$t_{pd}=20\ \text{ns}$⁠，求周期和频率；若要加到 5 个反相器，周期变成多少？

答案与提示

$T=2\times3\times20=120\ \text{ns}$⁠，$f\approx8.33\ \text{MHz}$⁠；5 个反相器：$T=2\times5\times20=200\ \text{ns}$⁠，$f=5\ \text{MHz}$⁠。（脚本验算）

3. 非对称式 CMOS 多谐振荡器，$R_F=9.1\ \text{k}\Omega$⁠，$C=0.001\ \mu\text{F}$⁠，$V_{TH}=V_{DD}/2$⁠。求振荡频率。

答案与提示

$T\approx2.2R_FC=2.2\times9.1\times10^{3}\times10^{-9}\approx20\ \mu\text{s}$⁠，$f\approx50\ \text{kHz}$⁠。

4. 5 个同样的与非门（当作反相器）接成环形振荡器，测得输出频率 10 MHz，求每个门的平均传输延迟时间。

答案与提示

$T=2nt_{pd}$⁠，$t_{pd}=\dfrac{T}{2n}=\dfrac{1/(10\times10^6)}{10}=10\ \text{ns}$⁠。

5. CMOS 施密特触发器多谐振荡器：$V_{DD}=5\ \text{V}$⁠，$V_{T+}=3\ \text{V}$⁠，$V_{T-}=1.5\ \text{V}$⁠，$R=20\ \text{k}\Omega$⁠，$C=0.047\ \mu\text{F}$⁠。求$T_1$⁠、$T_2$⁠、$T$⁠、$f$⁠。

答案与提示

$RC=0.94\ \text{ms}$⁠。$T_1=RC\ln\frac{5-1.5}{5-3}=0.94\ln1.75\approx0.526\ \text{ms}$⁠；$T_2=RC\ln\frac{3}{1.5}=0.94\ln2\approx0.652\ \text{ms}$⁠；$T\approx1.178\ \text{ms}$⁠，$f\approx849\ \text{Hz}$⁠。

6. 在上题类型的电路中，若充电电阻为$R_c$⁠、放电电阻为$R_d$（二极管分开），$V_{DD}=15\ \text{V}$⁠，$V_{T+}=9\ \text{V}$⁠，$V_{T-}=4\ \text{V}$⁠，要得到$50\%$占空比，$R_c/R_d$应取多少？

答案与提示

$T_1=R_cC\ln\frac{15-4}{15-9}=0.606R_cC$⁠，$T_2=R_dC\ln\frac94=0.811R_dC$⁠。令$T_1=T_2$⁠：$R_c/R_d=0.811/0.606\approx1.34$⁠。

7.（华师综合题风格） 某数字钟要求秒脉冲频率极为稳定，用 RC 多谐振荡器行不行？应怎样改？

答案与提示

不行：RC 多谐振荡器的频率依赖$V_{TH}$⁠、$R$⁠、$C$⁠，易受温度和电源影响，稳定度差。应改用石英晶体多谐振荡器（如 32768 Hz 晶体），再用 15 级二分频（⁠$2^{15}=32768$⁠）得到 1 Hz 的秒脉冲。

8. 一个施密特触发器多谐振荡器，通电后示波器上发现第一个高电平脉冲比后面的都长，这是电路故障吗？请解释，并说明测量周期应该怎么量。

答案与提示

不是故障。通电瞬间电容电压是 0，第一次充电要从 0 升到$V_{T+}$⁠，而以后每次充电只需要从$V_{T-}$升到$V_{T+}$⁠，所以第一个脉冲更长。测周期要等波形稳定后，量相邻两个同类边沿（例如两个上升沿）之间的时间；频率取其倒数。

9. 请用一句话区分"靠正反馈振荡"和"靠延迟负反馈振荡"，并各举一个本讲的电路。

答案与提示

正反馈：信号被放大后推着电路迅速翻转，再靠 RC 充放电决定下次翻转时刻——对称式、非对称式多谐振荡器、施密特型。延迟负反馈：信号绕环一圈后变成相反值，只是被门的传输延迟拖慢——环形振荡器。

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下一讲预告#

第 21 讲讲 555 定时器：一块三毛钱的小芯片，既能当施密特触发器，又能当单稳态，也能当多谐振荡器，前面三讲的内容它一个人全包了。

👉 点击进入下一讲：第21讲｜555 定时器及其应用