考研数电·零基础讲义 第09讲（下）｜译码器

考研数电·零基础讲义 · 第 09 讲（下）｜译码器 学完这一讲，你能读懂 3 线-8 线译码器 74HC138 的功能表和三个片选端，会用两片 74HC138 扩展成 4 线-16 线译码器，会用 74HC138 加与非门实现任意三变量逻辑函数（这是大题高频考法），并认识驱动数码管的 BCD-七段显示译码器。预计用时 2～2.5 小时。

本讲地图#

• 译码是编码的反操作：输入一个二进制代码，让对应的那一根输出线"亮起来"。
• 74HC138：3 个地址输入、8 个低电平有效输出、3 个片选端；输出恰好是全部最小项的"非"，所以又叫最小项译码器。
• 两大用法：①扩展（片选端当额外地址）；②实现逻辑函数（"最小项 + 与非门"）。
• 显示译码器：把 BCD 码翻译成七段数码管的亮灭信号。
• 华师怎么考：考纲点名"译码器"。"用 74HC138 和门电路实现某函数""用两片扩展"是典型大题；功能表、片选条件是常见填空。
• 教材对应：第 4 章 4.4.2 节（译码器），4.5 节例 4.5.2 及"用译码器设计组合电路"部分。

前置知识#

• 最小项$m_i$的编号和写法，$Y=\sum m(\cdots)$（见第 03 讲）。
• 摩根定理：$\overline{X\cdot Y\cdot Z}=\overline{X}+\overline{Y}+\overline{Z}$（见第 02 讲下）。
• 低电平有效、使能端、编码器的概念（见第 09 讲上）。

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一、译码是什么#

1.1 大白话：银行叫号屏#

上一讲的编码器是"给病人发号码牌"。译码器正好反过来，像银行的叫号屏：系统送来一个号码（比如 101），屏幕就把 5 号窗口的灯点亮，其余窗口都不亮。

译码器（Decoder）：输入$n$位二进制代码，输出$2^n$根线；输入是几，就只让第几根输出线有效。

3 位代码有 8 种，所以有 3 线-8 线译码器；2 位代码对应 2 线-4 线译码器；4 位对应 4 线-16 线。

1.2 译码器用在哪里#

• 存储器的地址译码：计算机里有很多块存储芯片，CPU 送出一个地址，译码器根据地址的高几位"选中"其中一块芯片，其余芯片都不响应。第 22 讲（下）存储器容量扩展时会再见到它。
• 键盘、指示灯扫描：用 3 根线轮流点亮 8 个指示灯中的一个。
• 组合逻辑设计：因为它输出全部最小项，可以拼出任意函数（本讲第四节）。
• 数码显示：广义的译码器还包括把 BCD 码"翻译"成七段亮灭信号的显示译码器（本讲第七节）。

一句话：凡是"根据一个代码，从很多对象中挑出一个"的场合，都用得到译码器。

1.3 先自己设计一个 2 线-4 线译码器#

题目：输入$A_1A_0$⁠，输出$Y_0\sim Y_3$（高电平有效）。输入是几，$Y_{几}=1$⁠。

真值表：

写式：每个输出只在一行为 1，所以它就是那一行的最小项：

$$Y_0=\overline{A_1}\,\overline{A_0}=m_0,\quad Y_1=\overline{A_1}A_0=m_1,\quad Y_2=A_1\overline{A_0}=m_2,\quad Y_3=A_1A_0=m_3$$

画图：两个非门得到$\overline{A_1}$⁠、$\overline{A_0}$⁠，再用 4 个 2 输入与门。

重要发现：二进制译码器的每个输出就是一个最小项。这一点是后面"用译码器实现任意函数"的根基，请记牢。

如果输出改成低电平有效，把与门换成与非门即可：$Y_0'=\overline{m_0}$⁠，以此类推。

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二、3 线-8 线译码器 74HC138#

2.1 引脚一个一个认#

图 1：74HC138 逻辑框图。地址$A_2A_1A_0$依次取 000～111，被选中的输出变为低电平（动画循环播放）

片选条件（三个条件同时满足芯片才工作）：

$$S_1=1\quad\text{且}\quad S_2'=0\quad\text{且}\quad S_3'=0$$

教材把后两个合写成$S_2'+S_3'=0$（两个都为 0，它们的"或"才是 0）。只要有一个条件不满足，芯片就被禁止，8 个输出全部为 1。

大白话：三个片选端就像银行开门要三把钥匙——一把要"插上"（⁠$S_1=1$⁠），两把要"拔掉"（⁠$S_2'=S_3'=0$⁠），缺一不可。

2.2 功能表（教材表 4.4.5）#

2.3 逐行拆解#

• 前两行：片选不满足，芯片禁止，输出全 1。
• 后八行：芯片工作。地址是几（把$A_2A_1A_0$当二进制数），就是第几个输出为 0。比如$A_2A_1A_0=101$（即 5），只有$Y_5'=0$⁠。
• 工作时任何时刻有且只有一个输出为 0。

2.4 逻辑式：输出 = 最小项的非#

芯片工作时（教材记作$S=1$⁠），

$$Y_i'=\overline{m_i}\qquad(i=0,1,\cdots,7)$$

例如$Y_0'=\overline{\overline{A_2}\,\overline{A_1}\,\overline{A_0}}=\overline{m_0}$⁠，$Y_5'=\overline{A_2\overline{A_1}A_0}=\overline{m_5}$⁠。8 个输出正好给出了 3 个变量的全部 8 个最小项（取反形式），所以叫最小项译码器。

2.5 片选在芯片内部是怎么实现的#

教材的内部逻辑图里，三个片选端先进入一个门$G_S$⁠，产生内部使能信号

$$S=S_1\cdot\overline{S_2'+S_3'}$$

只有$S=1$时，8 个与非门才把地址"翻译"出来；$S=0$时 8 个与非门的输出都被强制为 1。所以$S_1$像一个"总开关"，$S_2'$⁠、$S_3'$像两个"急停按钮"，任何一个急停按下（为 1），芯片就停。

2.6 例题 1：读 74HC138#

题目：（1）$S_1=1$⁠，$S_2'=S_3'=0$⁠，$A_2A_1A_0=011$⁠，哪个输出为 0？（2）$S_1=1$⁠，$S_2'=0$⁠，$S_3'=1$⁠，$A_2A_1A_0=011$呢？

解：（1）片选满足，011 = 3，只有$Y_3'=0$⁠，其余为 1。（2）$S_3'=1$⁠，片选不满足，8 个输出全为 1。

2.7 易错点 ⚠️#

• 三个片选端的有效电平不一样：$S_1$高有效，$S_2'$⁠、$S_3'$低有效。最常见的错误是把$S_1$也接 0。
• 地址的高低位：$A_2$是最高位。$A_2A_1A_0=100$是 4，选中$Y_4'$⁠，不是$Y_1'$⁠。
• 输出低电平有效：被选中的是 0，不是 1。

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三、扩展：两片 74HC138 组成 4 线-16 线译码器#

3.1 大白话：两层楼的叫号屏#

一块叫号屏只有 8 个窗口。16 个窗口怎么办？装两块屏，一楼管 0～7 号，二楼管 8～15 号。号码的最高位$D_3$决定"去哪层楼"：$D_3=0$一楼的屏工作，$D_3=1$二楼的屏工作。低三位$D_2D_1D_0$在本层选窗口。

关键在于：用片选端当作第 4 根地址线。

3.2 连接方法（教材例 4.5.2）#

• 两片的$A_2A_1A_0$都接$D_2D_1D_0$⁠。
• 片(1)（管 0～7）：$S_1$接 1，$S_2'$⁠、$S_3'$都接$D_3$⁠。于是$D_3=0$时片(1) 工作，$D_3=1$时片(1) 禁止。
• 片(2)（管 8～15）：$S_1$接$D_3$⁠，$S_2'$⁠、$S_3'$接 0。于是$D_3=1$时片(2) 工作，$D_3=0$时片(2) 禁止。
• 片(1) 的$Y_0'\sim Y_7'$作$Z_0'\sim Z_7'$⁠，片(2) 的$Y_0'\sim Y_7'$作$Z_8'\sim Z_{15}'$⁠。

妙处在于利用了"$S_1$高有效、$S_2'$低有效"这个差别：同一根$D_3$⁠，对一片是"开门"，对另一片就是"关门"，不需要额外的非门。

3.3 例题 2：验证#

题目：$D_3D_2D_1D_0=1011$⁠，哪个输出为 0？

解：$D_3=1$⁠，片(1) 的$S_2'=S_3'=1$⁠，禁止，输出全 1；片(2) 的$S_1=1$⁠，$S_2'=S_3'=0$⁠，工作，$A_2A_1A_0=011$选中片(2) 的$Y_3'$⁠，即$Z_{3+8}'=Z_{11}'=0$⁠。1011 正是 11，正确。

以上接法已用程序对 16 种输入全部核对：每种输入都恰好只有对应编号的输出为 0。

3.4 易错点 ⚠️#

• 不要两片都用$S_1$接$D_3$——那样两片会同时工作或同时禁止。
• 更大的扩展（5 线-32 线）需要 4 片 74HC138，再用一片译码器（比如另一片 74HC138 当 2 线-4 线用）把最高两位$D_4D_3$译成 4 个片选信号，分别接到 4 片的低电平片选端。见自测练习第 6 题。

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四、用 74HC138 实现逻辑函数（重点）#

4.1 大白话：最小项"零件库"#

第 03 讲说过：任何逻辑函数都能写成最小项之和。74HC138 工作时一下子提供了全部 8 个最小项（只是取了反）。就像一个"零件库"，函数需要哪几个最小项，就把对应的输出线挑出来，再用一个门"合"起来。

4.2 为什么是"与非门"#

设函数$Y=m_1+m_3+m_5$⁠。利用"两次取反不变"和摩根定理：

$$Y=\overline{\overline{m_1+m_3+m_5}}=\overline{\overline{m_1}\cdot\overline{m_3}\cdot\overline{m_5}}=\overline{Y_1'\cdot Y_3'\cdot Y_5'}$$

逐行拆解：

• 第一个等号：两次取反，值不变；
• 第二个等号：摩根定理把"和的非"变成"非的积"；
• 第三个等号：$\overline{m_i}$正好就是 74HC138 的输出$Y_i'$⁠。

结论：把函数包含的最小项对应的$Y_i'$接到一个与非门上，与非门的输出就是$Y$⁠。

4.3 标准步骤#

1. 把函数化成最小项之和的形式$Y=\sum m(\cdots)$（不要化简！要展开）；
2. 变量按顺序接地址：最高位变量接$A_2$⁠，依次接$A_1$⁠、$A_0$⁠；
3. 片选接成工作状态：$S_1=1$⁠，$S_2'=S_3'=0$⁠；
4. 把$\sum m$中各编号对应的$Y_i'$接到一个多输入与非门，输出即为$Y$⁠；
5. 写出表达式$Y=\overline{Y_{i}'\cdot Y_{j}'\cdots}$⁠，并验证。

4.4 例题 3：实现$Y=A\overline{B}+BC$#

第 1 步：展开成最小项。 缺哪个变量就乘上"(该变量 + 它的非)"：

$$A\overline{B}=A\overline{B}(C+\overline{C})=A\overline{B}C+A\overline{B}\,\overline{C}=m_5+m_4$$ $$BC=(A+\overline{A})BC=ABC+\overline{A}BC=m_7+m_3$$

所以$Y=\sum m(3,4,5,7)$⁠。（最小项编号按$ABC$的二进制：$A\overline{B}C$是 101 = 5。）

第 2 步：$A$接$A_2$⁠，$B$接$A_1$⁠，$C$接$A_0$⁠。

第 3 步：$S_1=1$⁠，$S_2'=S_3'=0$⁠。

第 4 步：$Y_3'$⁠、$Y_4'$⁠、$Y_5'$⁠、$Y_7'$接一个 4 输入与非门：

$$Y=\overline{Y_3'\cdot Y_4'\cdot Y_5'\cdot Y_7'}$$

第 5 步：验证一行：$ABC=100$时，只有$Y_4'=0$⁠，与非门有一个输入为 0，输出 1；而原式$A\overline{B}+BC=1\cdot1+0=1$⁠，一致。$ABC=010$时只有$Y_2'=0$⁠，但$Y_2'$没接进与非门，与非门四个输入全是 1，输出 0；原式$0+0=0$⁠，一致。8 行已全部用程序核对。

4.5 例题 4：一片 74HC138 实现全加器（多输出函数）#

题目：用一片 74HC138 和与非门实现 1 位全加器（输入$A$⁠、$B$⁠、$CI$⁠，输出和$S$⁠、进位$CO$⁠）。

第 1 步：全加器真值表（第 08 讲例 2 已列过，第 11 讲还会细讲）给出：

$$S=\sum m(1,2,4,7),\qquad CO=\sum m(3,5,6,7)$$

（⁠$S$在输入有奇数个 1 时为 1；$CO$在至少两个 1 时为 1。）

第 2 步：$A\to A_2$⁠，$B\to A_1$⁠，$CI\to A_0$⁠；片选接工作状态。

第 3 步：

$$S=\overline{Y_1'Y_2'Y_4'Y_7'},\qquad CO=\overline{Y_3'Y_5'Y_6'Y_7'}$$

注意$Y_7'$ 同时接到两个与非门——一根输出线可以给多个门用。这就是译码器做"多输出函数"的优势：一片芯片 + 每个输出一个与非门，就搞定了。

图 2：一片 74HC138 加两个 4 输入与非门实现全加器。橙线接$S$⁠，绿线接$CO$

4.6 能力边界#

• 一片 74HC138 有 3 个地址端，能实现任意不超过 3 个变量的函数（每个输出一个与非门）。
• 4 个变量的函数要用 4 线-16 线译码器（比如两片 74HC138 扩展）+ 与非门。
• 如果函数的最小项很多（比如 6 个），可以改用"非函数"：$\overline{Y}$只含剩下的 2 个最小项，用与门：$Y=Y_i'\cdot Y_j'$（⁠$i$⁠、$j$是$Y$ 不含的最小项）。原理：$Y=\overline{m_i+m_j}=\overline{m_i}\cdot\overline{m_j}$⁠。

4.7 例题 5：四变量函数——用两片 74HC138#

题目：用 74HC138 和与非门实现$Y=\sum m(0,5,10,15)$（变量$ABCD$⁠，$A$为最高位）。

思路：4 个变量需要 16 个最小项，一片只有 8 个，所以先按第三节把两片接成 4 线-16 线译码器：$A$接片(1) 的$S_2'$⁠、$S_3'$和片(2) 的$S_1$⁠；$B$⁠、$C$⁠、$D$接两片的$A_2A_1A_0$⁠；片(1) 的$S_1$接 1，片(2) 的$S_2'$⁠、$S_3'$接 0。

找最小项在哪一片：

• $m_0$⁠、$m_5$的编号小于 8，在片(1)：分别是片(1) 的$Y_0'$⁠、$Y_5'$⁠；
• $m_{10}$⁠、$m_{15}$在片(2)：编号减 8 得 2、7，是片(2) 的$Y_2'$⁠、$Y_7'$⁠。

合成：

$$Y=\overline{Y_{0(1)}'\cdot Y_{5(1)}'\cdot Y_{2(2)}'\cdot Y_{7(2)}'}$$

验证一行：$ABCD=1010$（10）时，$A=1$片(2) 工作，$BCD=010$选中片(2) 的$Y_2'=0$⁠，与非门输出 1；原函数含$m_{10}$⁠，一致。16 行已用程序核对。

换个角度看这个函数：$m_0=0000$⁠、$m_5=0101$⁠、$m_{10}=1010$⁠、$m_{15}=1111$⁠，正好是"高两位$AB$等于低两位$CD$"，即$Y=(A\odot C)(B\odot D)$⁠。用译码器做这种"不好化简"的函数，完全不用动脑筋化简，这就是它的好处。

4.8 易错点 ⚠️#

• 一定要先展开成最小项，不能直接拿化简式去接。
• 变量接地址端的顺序决定了最小项编号的含义；如果把$C$接$A_2$⁠，编号就全变了。答卷上要写清"$A\to A_2$⁠，$B\to A_1$⁠，$C\to A_0$"。
• 输出是低电平有效，所以合成用与非门；如果用的译码器输出是高电平有效（原码$m_i$⁠），合成就用或门。

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五、译码器当"数据分配器"用#

5.1 大白话：快递分拣员#

数据选择器（第 10 讲）是"多选一"，数据分配器正好相反——把一路数据按地址送到多路中的某一路，像快递分拣员按地址把包裹扔进对应的筐。

5.2 接法#

把$S_1$当作数据输入$D$⁠，$S_2'=S_3'=0$⁠，$A_2A_1A_0$当作"送往哪一路"的地址。例如地址为 101：

• $D=1$时芯片工作，$Y_5'=0$⁠；
• $D=0$时芯片禁止，$Y_5'=1$⁠。

所以$Y_5'=\overline{D}$⁠，数据以反码形式从地址指定的那一根线送出去，其他线一直是 1。（已用程序核对。）

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六、二-十进制译码器 74HC42（了解）#

它把 4 位 BCD 码$A_3A_2A_1A_0$（0000～1001）译成 10 个低电平输出$Y_0'\sim Y_9'$⁠。对于 1010～1111 这 6 个伪码（不是合法 BCD），10 个输出都是 1，即"拒绝翻译"，教材称之为拒绝伪码的功能。

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七、显示译码器：让数码管显示数字#

7.1 七段数码管#

数码管由 7 段可以发光的线段 a、b、c、d、e、f、g 拼成"日"字形（有的再加一个小数点）。点亮不同的段就显示不同的数字，比如 1 只亮 b、c 两段，8 七段全亮。

图 3：七段数码管各段的名称，依次显示 BCD 码 0000～1001 对应的数字（动画循环播放）

半导体（LED）数码管每段是一个发光二极管，分两种接法：

7.2 BCD-七段显示译码器的真值表（共阴极，1 = 亮，摘自教材表 4.4.7 的 0～9 部分）#

逐行拆解：怎么自己推出一行？画一个"日"字，想象要显示的数字，看哪些段要亮。例如"4"：右上 b、右下 c、左上 f、中间 g 亮，a、d、e 不亮，所以 abcdefg = 0110011。

注意教材这张表里，"6"不亮 a 段（没有顶上那一横），"9"不亮 d 段（没有底下那一横）。不同芯片的 6、9 字形可能不同，考试以题目给的表为准。

对每一段，以$A_3A_2A_1A_0$为变量、把 1010～1111 作为无关项或按芯片规定填写，就能用卡诺图化简出$Y_a\sim Y_g$的式子。教材给出的结果之一是

$$Y_a=\overline{\overline{A_3}\,\overline{A_2}\,\overline{A_1}A_0+A_3A_1+A_2\overline{A_0}}$$

（"圈 0 再取反"得到。可以代入检验：输入 0001 时括号内第一项为 1，$Y_a=0$⁠，"1"不亮 a 段，正确；在 0～9 上逐一核对均与上表一致。）

7.3 7448 的三个附加控制端（了解）#

教材介绍的 BCD-七段译码器 7448（驱动共阴极数码管）有三个低电平有效的附加端：

• 灯测试$LT'$：$LT'=0$时七段全亮，用来检查数码管有没有坏段。
• 灭零输入$RBI'$：$RBI'=0$且输入为 0000 时，不显示 0（熄灭），用来去掉多余的前导零，比如把"00013.700"显示成"13.7"。
• 灭灯输入/灭零输出$BI'/RBO'$：作输入时$BI'=0$使全部段熄灭；作输出时$RBO'=0$表示"本位的 0 已被熄灭"，可以接到下一位的$RBI'$⁠，实现多位联动灭零。

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八、译码器题目的常见问法（考前看一眼）#

1. 读功能表：给片选和地址，问哪个输出为 0。先查片选三个条件，再看地址。
2. 说明某端作用：$S_1$⁠、$S_2'$⁠、$S_3'$是片选（使能）端，用于禁止芯片或扩展；$Y_i'$是最小项的非。
3. 扩展：两片 4 线-16 线，利用$S_1$与$S_2'$有效电平相反，最高位直接接片选，不加非门。
4. 实现函数：展开最小项 → 写接法 → 写$Y=\overline{\cdots}$ → 验证。四个字诀："展、接、与非、验"。
5. 分析题：给一个"74HC138 + 与非门"的电路，反过来写出$Y=\sum m(\cdots)$⁠，再化简、说功能（比如认出它是全加器、比较器）。
6. 显示译码：会根据字形写某数字的 abcdefg，分清共阴、共阳。

答题时把"变量 → 地址端"的对应关系、片选端的接法写在图旁边，阅卷老师才好给分。

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速记卡#

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自测练习#

1. 74HC138 中$S_1=1$⁠、$S_2'=S_3'=0$⁠、$A_2A_1A_0=110$⁠，写出 8 个输出。若改为$S_1=0$呢？

答案与提示

110 = 6，$Y_6'=0$⁠，其余为 1，即$Y_0'\sim Y_7'=11111101$⁠。$S_1=0$时全为 1。

2. 用一片 74HC138 和一个与非门实现$Y=\overline{A}B+A\overline{B}C$⁠，写出最小项和接法。

答案与提示

$\overline{A}B=\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}BC=m_2+m_3$⁠，$A\overline{B}C=m_5$⁠，所以$Y=\sum m(2,3,5)$⁠。$A\to A_2$⁠，$B\to A_1$⁠，$C\to A_0$⁠，片选接工作状态，$Y=\overline{Y_2'Y_3'Y_5'}$⁠。已穷举核对。

3. 用一片 74HC138 实现三变量多输出函数：$Z_1=A\overline{C}+\overline{A}BC+A\overline{B}C$⁠，$Z_2=BC+\overline{A}\,\overline{B}C$⁠。

答案与提示

$Z_1=\sum m(3,4,5,6)$⁠，$Z_1=\overline{Y_3'Y_4'Y_5'Y_6'}$⁠；$Z_2=\sum m(1,3,7)$⁠，$Z_2=\overline{Y_1'Y_3'Y_7'}$⁠。$Y_3'$两个门共用。已用程序核对最小项。

4. 用 74HC138 实现"三位二进制数$ABC$能被 3 整除（含 0）时输出 1"。若不用与非门而用与门，怎么接？

答案与提示

能被 3 整除：0、3、6，$Y=\sum m(0,3,6)=\overline{Y_0'Y_3'Y_6'}$⁠。用与门：$Y$不含的最小项是 1、2、4、5、7，$Y=Y_1'Y_2'Y_4'Y_5'Y_7'$（5 输入与门）。显然与非门更省。

5. 两片 74HC138 按本讲第三节接成 4 线-16 线译码器，输入$D_3D_2D_1D_0=0110$时哪片工作、哪个输出为 0？

答案与提示

$D_3=0$⁠，片(1) 工作（⁠$S_2'=S_3'=0$⁠，$S_1=1$⁠），片(2) 的$S_1=0$被禁止。片(1) 地址 110 = 6，$Z_6'=0$⁠。

6.（华师真题风格）用 74HC138 组成 5 线-32 线译码器，最少需要几片？说明连接思路。

答案与提示

输出 32 根，每片 8 根，需 4 片作输出；最高两位$D_4D_3$需要译成 4 个片选信号，可再用 1 片 74HC138（⁠$A_2$接 0，$A_1A_0$接$D_4D_3$⁠，只用$Y_0'\sim Y_3'$⁠），共 5 片。4 片输出级的$A_2A_1A_0$都接$D_2D_1D_0$⁠，$S_1=1$⁠、$S_3'=0$⁠，各自的$S_2'$分别接片选级的$Y_0'\sim Y_3'$⁠。已用程序对 32 种输入核对。（若允许加少量门，也可以用 4 片 74HC138 加门电路组合片选，思路不唯一。）

7. 共阳极数码管要显示"7"，a～g 各段应加什么电平？

答案与提示

"7"亮 a、b、c，共阳极点亮要低电平：a、b、c 为 0，d、e、f、g 为 1，即 abcdefg = 0001111。

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下一讲预告#

第 10 讲讲"多选一"的数据选择器 74HC151/74HC153，并用它实现逻辑函数——包括 2026 回忆题第 5 题的完整解法。

👉 点击进入下一讲：第10讲｜数据选择器