考研数电·零基础讲义 第04讲（中）｜卡诺图化简法

考研数电·零基础讲义 · 第 04 讲（中）｜卡诺图化简法 学完这一讲，你能画出 2、3、4 变量卡诺图，按规则"圈 1"，稳稳地写出最简与或式；还会"圈 0"求反函数和最简或与式。预计用时 2.5～3 小时。

本讲地图#

• 卡诺图是什么：把真值表"折"成一个方格图，让"逻辑相邻"的最小项在位置上也挨着。
• 怎么画：2、3、4 变量卡诺图的格局，为什么行列要按 00、01、11、10（格雷码）排。
• 相邻性：上下左右挨着的格相邻，最左列和最右列相邻，最上行和最下行相邻，四个角也相邻。
• 圈 1 规则与步骤：圈的大小必须是 1、2、4、8……个格，形状必须是矩形；圈要尽量大、个数尽量少；先圈"只有一种圈法"的 1。
• 华师怎么考：2026 回忆题第 5 题"化简$Y=\sum m(1,3,5,8,9,13)+\sum d(7,10,11,14,15)$"就是四变量卡诺图（带无关项，第 04 讲下完整讲）。4 变量卡诺图是必须熟练的硬功夫。
• 教材对应：阎石《数字电子技术基础》第六版 第 2 章 2.6.2 节。

前置知识#

• 最小项、编号$m_i$⁠、$\sum m$写法；"相邻最小项相加能消去一个变量"（见第 03 讲）。
• 公式化简的并项法$AB+A\overline{B}=A$（见第 04 讲上）。
• 格雷码"相邻两个码只差一位"的特点（见第 01 讲下）。

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一、为什么需要卡诺图#

大白话#

上一讲的公式法像"徒手解谜"：灵活，但没固定套路，化到一半常常不知道是不是已经最简。

卡诺图的思路很聪明：既然化简的本质就是"把只差一个变量的最小项合并"（⁠$AB+A\overline{B}=A$⁠），那就把所有最小项摆在一张方格图上，让能合并的两个最小项在图上正好挨着。这样，找合并对象就从"推公式"变成了"看图找邻居"，谁都能做，而且一定能找到最简结果。

正式定义#

把$n$变量的全部$2^n$个最小项各用一个小方格表示，并且使逻辑相邻（只有一个变量不同）的最小项在几何位置上也相邻，这样排列出来的方格图叫 $n$变量卡诺图（Karnaugh map，K-map）。

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二、卡诺图的画法#

1. 两变量卡诺图#

两个变量$A$⁠、$B$有 4 个最小项，排成 2×2：

左边一列标$A$的取值，上面一行标$B$的取值；每个格子的编号 = 行值拼列值（⁠$A$在高位）。比如第 2 行第 2 列：$AB=11$⁠，编号 3。

2. 三变量卡诺图（重点看列的顺序）#

三个变量$A,B,C$有 8 个最小项。通常$A$作行（2 行），$BC$作列（4 列）。关键来了：4 列不能按 00、01、10、11 排，必须按 00、01、11、10 排。

图 1：(a) 三变量、(b) 四变量卡诺图中每格对应的最小项编号；行、列都按格雷码 00→01→11→10 排列。红色、蓝色高亮的两对格子虽然隔得远，却也逻辑相邻

为什么要这样排？ 我们要求"位置挨着的格子，只差一个变量"。

• 若按自然二进制 00、01、10、11 排：01 和 10 挨着，但它们两位都不同，就不相邻了，破坏了规则。
• 按 00、01、11、10 排：00→01 变 1 位，01→11 变 1 位，11→10 变 1 位，而且最后的 10 和开头的 00 也只差 1 位！

这种"相邻只差一位"的排列就是第 01 讲学过的格雷码。

3. 四变量卡诺图（最重要）#

四个变量$A,B,C,D$有 16 个最小项，排成 4×4：$AB$作行，$CD$作列，行和列都按 00、01、11、10 排。见图 1(b)。

怎么快速填编号：编号 = 行值（⁠$AB$⁠）拼列值（⁠$CD$⁠）。例如第 3 行（⁠$AB=11$⁠）第 4 列（⁠$CD=10$⁠）→ 1110 → 14。

记住四变量图的编号布局（考场上可以现场推，但熟记更快）：

记忆窍门：每行都是"0、1、3、2"的模式加上一个基数；行的基数依次是 0、4、12、8（也是"0、1、3、2"乘 4）。

⚠️ 易错点：

• 第 3、4 列和第 3、4 行是"11 在前、10 在后"，所以第 3 行是 12、13、15、14，第 4 行是 8、9、11、10。很多人把第 3、4 行写反。
• 变量顺序要和题目一致：题目写$Y(A,B,C,D)$⁠，则$A$是最高位，不能随便换成$CD$作行。

4. 五变量及以上（了解）#

五变量卡诺图有 32 格，几何上的"挨着"已经不能完全表示逻辑相邻（还要看对称位置），很容易看错。所以变量多于 4 个时，卡诺图就不好用了，一般改用其他方法或计算机。考研数电以 3、4 变量为主。

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三、卡诺图里的"相邻"#

大白话#

把卡诺图想象成画在一张纸上，然后把纸卷成一个筒，左右两边粘起来；再把这个筒弯成一个甜甜圈，上下两边也粘起来。在这个甜甜圈上挨着的格子，都是相邻的。

相邻的四种情况#

1. 上下左右紧挨着的格子相邻。如$m_5$与$m_7$（只差$C$⁠）、$m_5$与$m_{13}$（只差$A$⁠）。
2. 同一行的最左格和最右格相邻。如$m_4$（0100）与$m_6$（0110），只差$C$⁠。
3. 同一列的最上格和最下格相邻。如$m_3$（0011）与$m_{11}$（1011），只差$A$⁠。
4. 四个角的$m_0$⁠、$m_2$⁠、$m_8$⁠、$m_{10}$两两"沾亲带故"，可以一起组成一个 4 格组。

⚠️ 易错点：对角线上的格子不相邻！ 例如$m_5$（0101）和$m_{15}$（1111）斜着挨着，但差了$A$⁠、$C$两个变量，不能单独两个合并。

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四、用卡诺图表示一个逻辑函数（填图）#

方法 1：已知$\sum m$⁠，直接填#

在$\sum m$里出现的编号对应格子填 1，其他格子填 0（0 也可以不填、留空）。

方法 2：已知一般与或式，按项填（不必先展开）#

每个乘积项对应卡诺图上的一块区域：乘积项里出现的变量固定，没出现的变量任意。

例 1：画出$Y=A\overline{B}+BC\overline{D}+\overline{A}\,\overline{C}D$的卡诺图。

解：逐项找区域：

• $A\overline{B}$⁠：$AB=10$⁠，$C$⁠、$D$任意 → 整个第 4 行：$m_8$⁠、$m_9$⁠、$m_{11}$⁠、$m_{10}$⁠；
• $BC\overline{D}$⁠：$B=1$⁠、$CD=10$⁠，$A$任意 → 第 4 列与$AB=01$⁠、$11$两行的交叉：$m_6$⁠、$m_{14}$⁠；
• $\overline{A}\,\overline{C}D$⁠：$A=0$⁠、$CD=01$⁠，$B$任意 → 第 2 列与$AB=00$⁠、$01$两行的交叉：$m_1$⁠、$m_5$⁠。

填好后的卡诺图：

即$Y=\sum m(1,5,6,8,9,10,11,14)$⁠。

规律：乘积项缺$k$个变量，就占$2^k$个格子。缺 2 个占 4 格，缺 1 个占 2 格，一个都不缺（最小项）占 1 格。

方法 3：已知真值表，"折"进卡诺图#

卡诺图其实就是真值表换了个摆法：真值表是一长条 16 行，卡诺图把这 16 行"折"成 4×4。所以从真值表填卡诺图时，只要把每一行的行号（⁠$ABCD$对应的十进制数）找到卡诺图上的位置，把该行的$Y$值抄过去即可。注意卡诺图第 3、4 行、第 3、4 列的顺序是"11 在前、10 在后"，不要按真值表的顺序直接往下抄。

反过来：由卡诺图写函数#

例 1′：某三变量函数的卡诺图中，$A=0$那一行的$BC=01$⁠、$10$两格为 1，$A=1$那一行的$BC=00$⁠、$11$两格为 1，其余为 0。写出它的$\sum m$和逻辑式。

解：按"行值拼列值"读出编号：$A=0$行的 01、10 → $m_1$⁠、$m_2$⁠；$A=1$行的 00、11 → $m_4$⁠、$m_7$⁠。

$$Y(A,B,C)=\sum m(1,2,4,7)=\overline{A}\,\overline{B}C+\overline{A}B\overline{C}+A\overline{B}\,\overline{C}+ABC$$

在图上看，这 4 个 1 像国际象棋盘一样互相"错开"，没有任何两个 1 相邻，所以它已经不能再用与或式化简了。这就是三变量奇校验函数$A\oplus B\oplus C$⁠。"棋盘格"图案是异或/同或函数的标志，以后看到要能认出来。

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五、合并规则：怎么"圈"#

大白话#

相邻的 1 可以用一个圈"打包"。打包的好处：一个圈对应化简后的一个乘积项；圈越大，乘积项越短。

合并规则#

• 2 个相邻的 1 圈在一起 → 消去 1 个变量；
• 4 个排成矩形（一行、一列、2×2 方块，或利用"卷起来"形成的矩形）→ 消去 2 个变量；
• 8 个排成矩形（两行、两列……）→ 消去 3 个变量；
• 一般地：$2^k$个相邻的 1 组成矩形 → 合并成一项，消去$k$个变量。

合并后的乘积项怎么读：看这个圈里的格子，哪个变量在圈内始终不变，就保留它（始终为 1 写原变量，始终为 0 写反变量）；在圈内有变化的变量，就消掉。

逐行拆解：几个读圈的例子#

• 圈$m_5$⁠、$m_7$（第 2 行、第 2～3 列）：$AB$始终 01 → $\overline{A}B$⁠；$CD$从 01 变到 11，$C$变了、$D$始终 1 → $D$⁠。结果$\overline{A}BD$⁠。
• 圈第 3 列整列$m_3$⁠、$m_7$⁠、$m_{15}$⁠、$m_{11}$⁠：$CD$始终 11 → $CD$⁠；$A$⁠、$B$都变了 → 消掉。结果$CD$⁠。
• 圈四个角$m_0$⁠、$m_2$⁠、$m_8$⁠、$m_{10}$⁠：$B$始终 0、$D$始终 0 → $\overline{B}\,\overline{D}$⁠；$A$⁠、$C$都变了 → 消掉。结果$\overline{B}\,\overline{D}$⁠。

⚠️ 易错点：

• 圈里格子数必须是 1、2、4、8、16。3 个、6 个不行！
• 形状必须是矩形（考虑卷起来以后），L 形、T 形不行。
• 圈内只能是 1（下一讲会讲：无关项 × 也可以圈进去），不能圈进 0。

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六、卡诺图化简的步骤#

1. 画图填 1：把函数填进卡诺图。
2. 找必须单独处理的 1：没有任何相邻 1 的"孤立 1"，单独画一个圈（它就是一个最小项，不能化简）。
3. 先圈"只有一种圈法"的 1：某个 1 只能和唯一的一组邻居组成最大的圈，那这个圈必选。
4. 再用尽量大的圈覆盖剩下的 1：圈越大越好；一个 1 可以被多个圈重复使用（因为$X+X=X$⁠）。
5. 检查多余的圈：如果某个圈里的每个 1 都已经被别的圈圈过了，这个圈就是多余的，去掉。
6. 写结果：每个圈读出一个乘积项，全部相加。

选圈三原则（口诀"全、少、大"）：

• 全：所有的 1 都要被圈到，一个不漏；
• 少：圈的个数尽量少（乘积项最少）；
• 大：每个圈尽量大（每项因子最少）。

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七、例题：由浅入深#

例 2（三变量）#

化简$Y(A,B,C)=\sum m(0,2,4,5,6)$⁠。

解：

第 1 步：填图（⁠$A$作行，$BC$作列）：

第 2 步：找圈：

• 第 1 列和第 4 列的 4 个 1（⁠$m_0$⁠、$m_4$⁠、$m_2$⁠、$m_6$⁠），因为左右两边相邻，可以组成一个 4 格圈。圈内$C$始终为 0，$A$⁠、$B$都在变 → $\overline{C}$⁠。
• $m_5$还没圈。它的邻居有$m_4$（左）、$m_7$（右，是 0）、$m_1$（上，是 0）。只能和$m_4$组成 2 格圈：$A=1$⁠、$B=0$不变，$C$变 → $A\overline{B}$⁠。（⁠$m_4$被重复使用，没关系。）

第 3 步：写结果：

$$Y=\overline{C}+A\overline{B}$$

例 3（四变量，用到"卷起来"）#

化简$Y(A,B,C,D)=\sum m(0,2,3,4,6,7,8,10,11,15)$⁠。

解：填图并圈出，见图 2：

图 2：例 3 的卡诺图。蓝圈是整列，绿圈利用了左右边相接，橙圈利用了四个角相接

逐个分析：

• $m_4$和$m_6$：$m_4$的邻居$m_5$⁠、$m_{12}$是 0，只剩$m_0$和（左右相接的）$m_6$⁠。最大能和$m_0$⁠、$m_2$⁠、$m_6$组成 4 格的"上两行、左右两列"圈（绿）。圈内$A=0$⁠、$D=0$不变 → $\overline{A}\,\overline{D}$⁠。
• $m_8$和$m_{10}$：$m_8$的邻居$m_9$⁠、$m_{12}$是 0，只剩$m_0$（上下相接）和$m_{10}$（左右相接）。四个角$m_0$⁠、$m_2$⁠、$m_8$⁠、$m_{10}$正好都是 1，组成 4 格圈（橙）→ $\overline{B}\,\overline{D}$⁠。
• $m_3$⁠、$m_7$⁠、$m_{15}$⁠、$m_{11}$：整个第 3 列都是 1，4 格圈（蓝）→ $CD$⁠。

所有 1 都圈到了，没有多余的圈：

$$Y=CD+\overline{A}\,\overline{D}+\overline{B}\,\overline{D}$$

例 4（四个角 + 中心）#

化简$Y(A,B,C,D)=\sum m(0,2,5,7,8,10,13,15)$⁠。

解：

• 四个角$m_0$⁠、$m_2$⁠、$m_8$⁠、$m_{10}$ → $\overline{B}\,\overline{D}$⁠；
• 中间 2×2 方块$m_5$⁠、$m_7$⁠、$m_{13}$⁠、$m_{15}$⁠：$B=1$⁠、$D=1$不变 → $BD$⁠。

$$Y=\overline{B}\,\overline{D}+BD$$

这其实就是$B\odot D$（同或）。从这道题能看出卡诺图的威力：8 个最小项一眼就看成了 2 项。

例 5（陷阱：先圈大圈反而多余）#

化简$Y(A,B,C,D)=\sum m(1,5,6,7,11,12,13,15)$⁠。

解：填图后，中间有一个很显眼的 2×2 方块$m_5$⁠、$m_7$⁠、$m_{13}$⁠、$m_{15}$（就是$BD$⁠）。很多同学第一反应是先把它圈了——但请按步骤来，看看会发生什么：

图 3：例 5 逐个画圈的过程（动画循环播放）。四个 2 格圈都是"只有一种圈法"的必选圈；它们圈完之后，中间的$BD$大圈里每个 1 都已被圈过，成了多余的圈

按"先圈只有一种圈法的 1"来做：

• ① $m_1$⁠：邻居中只有$m_5$是 1（⁠$m_0$⁠、$m_3$⁠、$m_9$都是 0）→ 必须圈$m_1$⁠、$m_5$ → $\overline{A}\,\overline{C}D$⁠；
• ② $m_6$⁠：邻居中只有$m_7$是 1 → 圈$m_6$⁠、$m_7$ → $\overline{A}BC$⁠；
• ③ $m_{12}$⁠：邻居中只有$m_{13}$是 1 → 圈$m_{12}$⁠、$m_{13}$ → $AB\overline{C}$⁠；
• ④ $m_{11}$⁠：邻居中只有$m_{15}$是 1 → 圈$m_{11}$⁠、$m_{15}$ → $ACD$⁠。

此时 8 个 1 全部圈完了。⑤ 再看中间的$BD$圈：$m_5$⁠、$m_7$⁠、$m_{13}$⁠、$m_{15}$都已经被前面的圈覆盖，它是多余的，不要！

$$Y=\overline{A}\,\overline{C}D+\overline{A}BC+AB\overline{C}+ACD$$

如果先圈了$BD$⁠，最后会得到 5 项，虽然逻辑上也对，但不是最简。

这道题的教训："圈要尽量大"是对每一个圈说的（能扩大就扩大），但"选哪些圈"要先保证必选圈，最后删掉多余圈。

例 6（结果不唯一）#

化简$Y(A,B,C)=\sum m(1,2,3,4,5,6)$⁠。

解：

6 个 1 围成一个"环"，每个 1 都有两个相邻的 1，没有哪个 1 只有一种圈法。所以可以有两套圈法：

• 圈$(m_4,m_5)$⁠、$(m_1,m_3)$⁠、$(m_2,m_6)$⁠：$Y=A\overline{B}+\overline{A}C+B\overline{C}$⁠；
• 圈$(m_4,m_6)$⁠、$(m_1,m_5)$⁠、$(m_3,m_2)$⁠：$Y=A\overline{C}+\overline{B}C+\overline{A}B$⁠。

两种都是 3 项、每项 2 个因子，都是最简与或式，都对。考试写任一种即可。

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八、圈 0：求反函数与最简或与式#

大白话#

卡诺图里不是 1 就是 0。把所有 1 圈起来得到$Y$⁠；那把所有 0 圈起来，得到的就是$\overline{Y}$（反函数）。当 0 比 1 少很多时，圈 0 更省事。

方法#

1. 按同样规则圈 0（大小$2^k$⁠、矩形、尽量大、尽量少）；
2. 读出每个圈的乘积项，相加得$\overline{Y}$的最简与或式；
3. 需要$Y$时，对$\overline{Y}$整体取反，用摩根定理展开，就得到$Y$的最简或与式。

例 7：已知$Y(A,B,C,D)$只有$m_5$⁠、$m_7$⁠、$m_{13}$⁠、$m_{15}$四格为 0，其余 12 格都为 1，求$Y$的最简式。

解：圈 1 要圈好几个大圈；圈 0 只需一个：$m_5$⁠、$m_7$⁠、$m_{13}$⁠、$m_{15}$是中间 2×2 方块，$B=1$⁠、$D=1$不变：

$$\overline{Y}=BD$$

取反：

$$Y=\overline{BD}=\overline{B}+\overline{D}$$

用圈 1 来验证：上下两行（⁠$B=0$的$AB=00$⁠、$10$行）8 个 1 → $\overline{B}$⁠；左右两列（⁠$D=0$的$CD=00$⁠、$10$列）8 个 1 → $\overline{D}$⁠。结果一样：$Y=\overline{B}+\overline{D}$⁠。✓

例 8：用圈 0 求$Y(A,B,C)=\sum m(0,2,4,5,6)$（例 2 的函数）的最简或与式。

解：0 格是$m_1$⁠、$m_3$⁠、$m_7$⁠。

• $m_1$⁠、$m_3$⁠：$A=0$⁠、$C=1$ → $\overline{A}C$⁠；
• $m_3$⁠、$m_7$⁠：$B=1$⁠、$C=1$ → $BC$⁠。

$$\overline{Y}=\overline{A}C+BC$$

取反并用摩根定理：

$$Y=\overline{\overline{A}C+BC}=\overline{\overline{A}C}\cdot\overline{BC}=(A+\overline{C})(\overline{B}+\overline{C})$$

验算：展开$(A+\overline{C})(\overline{B}+\overline{C})=A\overline{B}+A\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{C}=A\overline{B}+\overline{C}$（后三项被$\overline{C}$吸收），与例 2 结果一致。✓

⚠️ 易错点：圈 0 读出来的是$\overline{Y}$⁠，最后一定别忘了取反！这是考场上最常见的丢分点。

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九、卡诺图的其他用途#

卡诺图不只是用来化简，下面几件事它也做得又快又稳：

• 判断两个式子是否相等：把两个式子各填一张卡诺图，图案完全一样就相等。比列两张真值表省事，因为可以"按项填"。
• 求反函数：把卡诺图里的 1 和 0 互换，就是$\overline{Y}$的卡诺图。
• 两个函数做运算：$Y_1\cdot Y_2$的卡诺图 = 两张图对应格子"相与"（都为 1 才为 1）；$Y_1+Y_2$ = 对应格子"相或"。
• 看出电路功能：棋盘格是异或类；整行整列是单个变量；四角是两个反变量相与……熟练后看一眼就知道函数的大概样子。
• 为后面的设计打基础：第 08 讲组合电路设计、第 17 讲同步时序电路设计，都要用卡诺图求驱动方程、输出方程；第 12 讲还会在卡诺图上判断"竞争-冒险"（两个圈相切的地方）。

例 9：用卡诺图判断$Y_1=AB+\overline{A}C+BC$与$Y_2=AB+\overline{A}C$是否相等。

解：$Y_1$按项填：$AB$ → $m_6$⁠、$m_7$⁠；$\overline{A}C$ → $m_1$⁠、$m_3$⁠；$BC$ → $m_3$⁠、$m_7$⁠。填 1 的格是 1、3、6、7。$Y_2$填 1 的格：$AB$ → 6、7；$\overline{A}C$ → 1、3。也是 1、3、6、7。两张图一样，所以$Y_1=Y_2$⁠，这正是上一讲消项法的公式。从图上还能看出原因：$BC$占的$m_3$⁠、$m_7$两格早已分别被$\overline{A}C$和$AB$盖住了，它是个多余的圈。

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十、常见错误汇总#

1. 行列顺序写成 00、01、10、11：卡诺图立刻失效。必须是格雷码 00、01、11、10。
2. 圈了 3 个或 6 个格：圈的格数只能是 2 的整数次幂。
3. 漏了"卷起来"的相邻：左右边、上下边、四个角都可以合并。
4. 把对角线当相邻：斜着挨的格子差两个变量，不相邻。
5. 只顾圈大圈，忘了删多余圈（见例 5）。
6. 读圈时把变化的变量留下了：保留的是"圈内不变"的变量。
7. 圈 0 后忘记取反。
8. 编号填错位置：第 3 行是 12、13、15、14，第 4 行是 8、9、11、10。

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速记卡#

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自测练习#

1. 用卡诺图化简$Y(A,B,C)=\sum m(1,3,5,7)$⁠。

答案与提示

1 在$BC=01$⁠、$11$两列（两行全是 1），4 格圈，只有$C$不变且为 1。$Y=C$⁠。

2. 用卡诺图化简$Y(A,B,C)=\sum m(0,1,2,3,6,7)$⁠。

答案与提示

第 1 行（⁠$A=0$⁠）全是 1 → $\overline{A}$⁠；第 3、4 列（⁠$BC=11$⁠、$10$⁠，即$B=1$⁠）两行全是 1 → $B$⁠。$Y=\overline{A}+B$⁠。

3. 用卡诺图化简$Y(A,B,C,D)=\sum m(0,1,4,5,8,9,12,13)$⁠。

答案与提示

第 1、2 列（⁠$CD=00$⁠、$01$⁠，即$C=0$⁠）4 行全是 1，8 格圈 → $\overline{C}$⁠。$Y=\overline{C}$⁠。

4. 用卡诺图化简$Y(A,B,C,D)=\sum m(0,2,4,5,6,8,10,12,13,14)$⁠。

答案与提示

第 1 列和第 4 列（⁠$D=0$⁠）共 8 个 1，左右相接组成 8 格圈 → $\overline{D}$⁠；剩$m_5$⁠、$m_{13}$⁠，和$m_4$⁠、$m_{12}$组成 2×2 圈（⁠$B=1$⁠、$C=0$⁠）→ $B\overline{C}$⁠。$Y=\overline{D}+B\overline{C}$⁠。

5. 用卡诺图化简$Y(A,B,C,D)=\sum m(0,1,2,5,8,9,10)$⁠。

答案与提示

$m_0,m_1,m_8,m_9$（⁠$B=0$⁠、$C=0$⁠）→ $\overline{B}\,\overline{C}$⁠；四角$m_0,m_2,m_8,m_{10}$ → $\overline{B}\,\overline{D}$⁠；$m_5$只能和$m_1$圈（⁠$A=0$⁠、$C=0$⁠、$D=1$⁠）→ $\overline{A}\,\overline{C}D$⁠。$Y=\overline{B}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{D}+\overline{A}\,\overline{C}D$⁠。

6. $Y(A,B,C,D)=\sum m(2,3,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)$⁠。分别用圈 1 和圈 0 求最简式。

答案与提示

圈 1：下两行（⁠$A=1$⁠）8 格 → $A$⁠；第 3、4 列（⁠$C=1$⁠）8 格 → $C$⁠。$Y=A+C$⁠。

圈 0：0 格为$m_0,m_1,m_4,m_5$（⁠$A=0$⁠、$C=0$⁠）→ $\overline{Y}=\overline{A}\,\overline{C}$⁠，取反$Y=A+C$⁠。两种方法一致。

7.（华师真题风格）用卡诺图将$Y(A,B,C,D)=\sum m(1,3,4,5,6,7,9,11,12,13)$化为最简与或式，并写出化简过程中每个圈包含的最小项。

答案与提示

• $m_4,m_5,m_7,m_6$（第 2 行整行，$AB=01$⁠）→ $\overline{A}B$⁠；
• $m_4,m_5,m_{12},m_{13}$（⁠$B=1$⁠、$C=0$⁠）→ $B\overline{C}$⁠；
• $m_1,m_3,m_9,m_{11}$（第 1、4 行与第 2、3 列交叉，上下相接；$B=0$⁠、$D=1$⁠）→ $\overline{B}D$⁠。

$Y=\overline{A}B+B\overline{C}+\overline{B}D$⁠。（⁠$m_{12}$的 4 格圈只能是$B\overline{C}$⁠；$m_{11}$的 4 格圈只能是$\overline{B}D$⁠；$m_6$的 4 格圈只能是$\overline{A}B$⁠，所以三个圈都必选。它们圈完后所有 1 已覆盖，$\overline{C}D$那一列虽然也全是 1，却是多余的圈，和例 5 是同一个道理。）

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下一讲预告#

下一讲（第 04 讲下）给卡诺图加上"万能牌"——无关项 ×，完整解出 2026 回忆题第 5 题，并学习多输出化简和与非-与非等形式变换。

👉 点击进入下一讲：第04讲（下）｜无关项、多输出函数与逻辑形式变换