考研数学二·零基础讲义 专题S11（下）｜变限积分函数：极限、单调极值与方程根

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S11（下）｜变限积分函数：极限、单调极值与方程根

上篇学会了"求导"，本篇用它解决三类大题：含变限积分的极限（洛必达）、单调性/极值/拐点、方程根与性质讨论（奇偶、周期）。共 12 道例题 + 8 道自测，所有结果都用 SymPy／数值积分验算过。预计用时 60–80 分钟。

本讲地图#

• 第一步：极限——$\dfrac00$⁠、$\dfrac\infty\infty$型，洛必达后分子变成被积函数。
• 第二步：单调、极值、凹凸、拐点——全看$F'=f$⁠、$F''=f'$⁠。
• 第三步：方程根、奇偶性、周期性、分段被积函数。
• 大纲要求：理解变上限积分函数的性质，会用它求极限、判断函数性态。

前置知识#

• 专题 S11（上）：变限积分求导公式。
• 洛必达法则、等价无穷小、函数单调性与极值判别。

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一、含变限积分的极限#

套路：极限是$\dfrac00$或$\dfrac\infty\infty$⁠，分子（或分母）有变限积分时，用洛必达法则，分子求导后积分号消失，变成被积函数代入上限、再乘上限的导数。

例 1 求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin t^2\,dt}{x^3}$⁠。

解：$\dfrac00$型，洛必达：$\displaystyle\lim\frac{\sin x^2}{3x^2}=\frac13$⁠。

例 2 求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x(\mathrm e^{t^2}-1)\,dt}{x^3}$⁠。

解：洛必达：$\displaystyle\lim\frac{\mathrm e^{x^2}-1}{3x^2}=\frac13$（用$\mathrm e^{x^2}-1\sim x^2$⁠）。

例 3 求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^{x^2}\ln(1+t)\,dt}{x^4}$⁠。

解：分子求导要乘上限的导数$2x$⁠：$\displaystyle\lim\frac{\ln(1+x^2)\cdot2x}{4x^3}=\lim\frac{x^2\cdot2x}{4x^3}=\frac12$⁠。

💡 更快的做法：用等价无穷小直接估阶。 当$t\to0$时$\ln(1+t)\sim t$⁠，$\displaystyle\int_0^{x^2}t\,dt=\dfrac{x^4}2$⁠，同样得$\dfrac12$⁠。（在积分号里使用等价无穷小要谨慎，必须是乘除因子或整体替换，并且最好先用洛必达验证。）

例 4（被积函数含$x$⁠） 求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x(x-t)\mathrm e^{t^2}dt}{x^2}$⁠。

解：先按上篇例 5 求导，分子导数为$\displaystyle\int_0^x\mathrm e^{t^2}dt$⁠，极限变为$\displaystyle\lim\frac{\int_0^x\mathrm e^{t^2}dt}{2x}$⁠，再洛必达：$\dfrac{\mathrm e^{x^2}}2\to\dfrac12$⁠。

⚠️ 易错：被积函数含$x$时直接洛必达，漏掉对$x$的求导项。必须先拆出或换元。

例 5（⁠$\infty\over\infty$型） 求$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\Big(\int_0^x\mathrm e^{t^2}dt\Big)^2}{\int_0^x\mathrm e^{2t^2}dt}$⁠。

解：分子分母都$\to+\infty$⁠。洛必达：

$$\lim\frac{2\mathrm e^{x^2}\int_0^x\mathrm e^{t^2}dt}{\mathrm e^{2x^2}}=\lim\frac{2\int_0^x\mathrm e^{t^2}dt}{\mathrm e^{x^2}}=\lim\frac{2\mathrm e^{x^2}}{2x\mathrm e^{x^2}}=\lim\frac1x=0.$$

数值上$x=10$时比值约$0.1008$⁠，与$1/x$吻合，且趋于 0。

例 6（上下限各不同） 求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^{\sin x}\sqrt{\tan t}\,dt}{\int_0^{\tan x}\sqrt{\sin t}\,dt}$⁠。

解：洛必达：分子$\sqrt{\tan\sin x}\cos x$⁠，分母$\sqrt{\sin\tan x}\sec^2x$⁠。当$x\to0$⁠，$\tan(\sin x)\sim x$⁠，$\sin(\tan x)\sim x$⁠，$\cos x$⁠、$\sec^2x\to1$⁠，比值$\to1$⁠。数值检验$x=0.001$时约$0.9999994$⁠。

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二、单调性、极值、凹凸性、拐点#

设$F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)dt$⁠，则$F'(x)=f(x)$⁠，$F''(x)=f'(x)$⁠。所有性态判断都转化成对被积函数$f$的讨论，不必（也往往无法）算出$F$⁠。

图 1：$F(x)=\displaystyle\int_0^x(t^2-3t+2)dt$⁠。导数$f=(x-1)(x-2)$的符号决定$F$的升降：$f>0$时$F$上升，$f<0$时下降。红点在$F$的曲线上移动，经过$x=1$是极大，$x=2$是极小。

例 7 设$F(x)=\displaystyle\int_0^x(t^2-3t+2)\,dt$⁠，求单调区间与极值。

解：$F'(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$⁠。$x<1$或$x>2$时$F'>0$⁠；$1<x<2$时$F'<0$⁠。所以$x=1$极大，$x=2$极小。

$F(1)=\dfrac13-\dfrac32+2=\dfrac56$⁠，$F(2)=\dfrac83-6+4=\dfrac23$⁠。

例 8 设$F(x)=\displaystyle\int_0^x t\,\mathrm e^{-t^2}dt$⁠，讨论单调性、凹凸性、拐点与最大值。

解：$F'(x)=x\mathrm e^{-x^2}$⁠，$x>0$增，$x<0$减，$x=0$极小，$F(0)=0$⁠。 $F''(x)=(1-2x^2)\mathrm e^{-x^2}$⁠，零点$x=\pm\dfrac{\sqrt2}2$⁠，两侧变号，所以拐点横坐标$x=\pm\dfrac{\sqrt2}2$⁠。 注意$F(x)=\dfrac{1-\mathrm e^{-x^2}}2\ge0$⁠，当$x\to\infty$时趋于$\displaystyle\int_0^{+\infty}t\mathrm e^{-t^2}dt=\dfrac12$⁠，但取不到，所以没有最大值，上确界为$\dfrac12$⁠。

💡 极值点 = $F'=f$的变号零点；拐点 = $F''=f'$的变号零点。 一定要看是否变号。

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三、奇偶性、周期性、分段被积函数、方程根#

奇偶性：若$f$连续，则

• $f$奇$\Rightarrow F(x)=\displaystyle\int_0^xf$是偶函数；
• $f$偶$\Rightarrow F(x)=\displaystyle\int_0^xf$是奇函数。

（口诀：积分后奇偶性"翻转"，求导也翻转；但下限不是 0 时不一定成立。）

例 9 设$f(t)=t\cos t$⁠，求$F(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)dt$并验证奇偶性。

解：分部得$F(x)=x\sin x+\cos x-1$⁠。$f$奇，$F(-x)=(-x)(-\sin x)+\cos x-1=F(x)$⁠，$F$为偶函数，与结论吻合。

例 10（含绝对值） 求$F(x)=\displaystyle\int_0^x|t-1|\,dt$（⁠$x\ge0$⁠）的表达式。

解：分段拆积分。$0\le x\le1$时$|t-1|=1-t$⁠，$F(x)=x-\dfrac{x^2}2$⁠；$x>1$时$F(x)=\dfrac12+\displaystyle\int_1^x(t-1)dt=\dfrac{x^2}2-x+1$⁠。在$x=1$处两段都等于$\dfrac12$⁠，连续，且$F'(1)=|1-1|=0$左右一致，可导。

例 11（周期性） 求$\displaystyle\int_0^{3\pi}|\sin t|\,dt$⁠。

解：$|\sin t|$周期$\pi$⁠，每个周期面积$\displaystyle\int_0^\pi\sin t\,dt=2$⁠，所以结果$3\times2=6$⁠。

💡 周期函数的积分：若$f$周期为$T$⁠，则$\displaystyle\int_a^{a+T}f=\int_0^Tf$⁠。一般$F(x)=\displaystyle\int_0^xf$满足$F(x+T)=F(x)+F(T)$⁠，当$F(T)=0$时$F$才是周期函数。

例 12（方程根） 证明方程$\displaystyle\int_0^x\mathrm e^{t^2}dt=1$在$(0,+\infty)$内有且仅有一个根。

证明：令$G(x)=\displaystyle\int_0^x\mathrm e^{t^2}dt-1$⁠，则$G(0)=-1<0$⁠。$G'(x)=\mathrm e^{x^2}>0$⁠，故$G$严格增。而$\mathrm e^{t^2}\ge1+t^2$⁠，所以$G(1)\ge\displaystyle\int_0^1(1+t^2)dt-1=\dfrac13>0$⁠。由零点定理有根，由单调性唯一。数值求得根约$0.795$⁠。

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速记卡#

• 变限积分极限：洛必达，分子积分号消失；上限带函数时别忘乘导数。
• 被积函数含$x$⁠：先拆出或换元，再洛必达。
• $F'=f$⁠，$F''=f'$⁠：极值看$f$变号，拐点看$f'$变号。
• $f$奇 → $\displaystyle\int_0^xf$偶；$f$偶 → $\displaystyle\int_0^xf$奇。
• 方程根：构造$G$⁠，用$G'$定单调、用端点符号定存在。

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自测 8 题#

1. 求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\arctan t\,dt}{x^2}$⁠。

答案与提示

洛必达：$\dfrac{\arctan x}{2x}\to\dfrac12$⁠。

2. 求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^xt\sin t\,dt}{x^3}$⁠。

答案与提示

洛必达：$\dfrac{x\sin x}{3x^2}\to\dfrac13$⁠。

3. 求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x(1-\cos t)\,dt}{x^3}$⁠。

答案与提示

$\dfrac{1-\cos x}{3x^2}\to\dfrac16$⁠。

4. 设$F(x)=\displaystyle\int_0^x t\,\mathrm e^{-t}dt$⁠，求$F$的极值点和拐点。

答案与提示

$F'=x\mathrm e^{-x}$⁠，$x=0$为极小点；$F''=(1-x)\mathrm e^{-x}$⁠，$x=1$两侧变号，拐点横坐标$x=1$⁠。

5. 设$f(t)=t^2\sin t$⁠，问$\displaystyle\int_0^xf$的奇偶性。

答案与提示

$f$为奇函数，所以$\displaystyle\int_0^xf$是偶函数。

6. 求$\displaystyle\int_0^{2\pi}|\cos t|\,dt$⁠。

答案与提示

周期$\pi$⁠，每周期面积 2，共 4。

7. 设$F(x)=\displaystyle\int_0^x|t-1|dt$⁠，求$F(2)$⁠。

答案与提示

$\dfrac{x^2}2-x+1$代入得$F(2)=1$⁠。

8. 证明$\displaystyle\int_0^x\mathrm e^{t^2}dt$在$\mathbb R$上严格单调增加。

答案与提示

导数$\mathrm e^{x^2}>0$恒成立。

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下一篇预告#

专题 S12 讲定积分的几何应用：用定积分求平面图形面积、旋转体体积、平面曲线弧长，并配上"面积/体积"的动画示意图。