考研数学二·零基础讲义 专题S11（上）｜变限积分函数：求导公式与各种"变形"

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S11（上）｜变限积分函数：求导公式与各种"变形"

"变限积分"就是上限或下限带$x$的积分，例如$\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$⁠。它是考研数学二的高频考点：求导、求极限、判断单调极值、证明方程根，几乎每年都出现。本篇先把求导讲透，共 10 道例题 + 8 道自测，所有结果都用 SymPy／数值积分验算过。预计用时 60–80 分钟。

本讲地图#

• 第一步：变限积分是什么——"面积累积函数"。
• 第二步：基本求导公式与上下限都带函数时的"链式"推广。
• 第三步：被积函数里也有$x$——三种处理手法（拆出、换元、含参积分）。
• 第四步：由变限积分反求$f$、积分方程与"先分部再求"的题型。
• 大纲要求：理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数。

前置知识#

• 定积分的定义与牛顿—莱布尼茨公式（基础讲 08）。
• 复合函数求导的链式法则。

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一、变限积分到底是个什么东西#

固定一个连续函数$f(t)$⁠，让上限$x$变动，

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

大白话：$F(x)$就是"从$a$出发一路累积面积、累积到$x$为止"的面积值。$x$一动，面积就跟着变，所以$F$是关于$x$的函数。积分号里的$t$只是个"哑变量"，换成$s$⁠、$u$都一样，它不是$x$。

图 1：$f(t)=\sin t$⁠，阴影是从 0 累积到$x$的面积$F(x)$⁠；右端竖线扫过，面积越积越多。

核心定理（变上限积分求导）：若$f$连续，则

$$\boxed{\ \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\ }$$

为什么：$x$增加一点点$\Delta x$⁠，面积多出一个细长条，宽$\Delta x$⁠、高约$f(x)$⁠，面积增量$\approx f(x)\Delta x$⁠，除以$\Delta x$就是$f(x)$⁠。

推广（上下限都是函数）：

$$\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t)\,dt=f(\varphi(x))\,\varphi'(x)-f(\psi(x))\,\psi'(x).$$

口诀：上限代入乘上限的导数，减去下限代入乘下限的导数。

例 1 求$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^x \mathrm e^{-t^2}dt$⁠。

解：直接套定理，结果$\mathrm e^{-x^2}$⁠。（注意$\mathrm e^{-t^2}$的原函数写不出初等式子，但求导根本不需要原函数。）

例 2 设$F(x)=\displaystyle\int_x^1 \sin t^2\,dt$⁠，求$F'(x)$⁠。

解：上限固定、下限是$x$⁠，先交换上下限变号：$F(x)=-\displaystyle\int_1^x\sin t^2dt$⁠，所以$F'(x)=-\sin x^2$⁠。

例 3 求$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^3}\,dt$⁠。

解：上限$\varphi(x)=x^2$⁠，$\varphi'=2x$⁠，结果$\sqrt{1+(x^2)^3}\cdot2x=2x\sqrt{1+x^6}$⁠。

⚠️ 易错：忘记乘上限的导数$2x$⁠。看到上限不是单独一个$x$⁠，立刻想到链式法则。

例 4 求$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{\sin x}^{\cos x}\mathrm e^{t^2}dt$⁠。

解：上限$\cos x$⁠，下限$\sin x$⁠：$\mathrm e^{\cos^2x}\cdot(-\sin x)-\mathrm e^{\sin^2x}\cdot\cos x=-\sin x\,\mathrm e^{\cos^2x}-\cos x\,\mathrm e^{\sin^2x}$⁠。

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二、被积函数里也含$x$⁠：先"处理干净"再求导#

公式$\dfrac d{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)dt=f(x)$要求被积函数里不能含有$x$。如果含有，必须先想办法把$x$从积分号里请出来。三种手法：

1. 拆出：$x$与$t$能分开相乘时，把$x$提到积分号外面。
2. 换元：把被积函数里的$x$吸收进新变量里。
3. 整体当含参积分：必要时先把积分算出来再求导（这时积分号已不存在）。

手法一：拆出

例 5 设$F(x)=\displaystyle\int_0^x (x-t)\,\mathrm e^{t^2}dt$⁠，求$F'(x)$⁠。

解：把$(x-t)$拆开，$F(x)=x\displaystyle\int_0^x\mathrm e^{t^2}dt-\int_0^x t\,\mathrm e^{t^2}dt$⁠。两边求导（第一项用乘积法则）：

$$F'(x)=\int_0^x \mathrm e^{t^2}dt+x\,\mathrm e^{x^2}-x\,\mathrm e^{x^2}=\int_0^x\mathrm e^{t^2}dt.$$

💡 这类$\displaystyle\int_0^x(x-t)f(t)dt$求导一次得$\displaystyle\int_0^xf(t)dt$⁠，再求导得$f(x)$⁠，是个很值得记住的结论。

手法二：换元

例 6 求$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^x t\cos(x^2-t^2)\,dt$⁠。

解：令$u=x^2-t^2$⁠，$du=-2t\,dt$⁠，$t=0\to u=x^2$⁠，$t=x\to u=0$⁠：

$$\int_0^x t\cos(x^2-t^2)dt=\frac12\int_0^{x^2}\cos u\,du.$$

现在被积函数不含$x$⁠，求导得$\dfrac12\cos(x^2)\cdot2x=x\cos x^2$⁠。（用$\dfrac12\sin x^2$直接求导验证，同样得$x\cos x^2$⁠。）

例 7 设$g(x)=\displaystyle\int_0^1\mathrm e^{xt}dt$（⁠$x\neq0$⁠），求$g'(x)$⁠。

解：令$u=xt$⁠，$dt=\dfrac{du}x$⁠，限$0\to x$⁠：$g(x)=\dfrac1x\displaystyle\int_0^x\mathrm e^udu=\dfrac{\mathrm e^x-1}x$⁠。再求导：

$$g'(x)=\frac{x\mathrm e^x-\mathrm e^x+1}{x^2}.$$

💡 看到$\displaystyle\int_0^1 f(xt)\,dt$⁠，立刻令$u=xt$⁠。 同理$\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$中被积函数含$x/t$之类时，也尝试换元。

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三、由变限积分反求$f$⁠，以及积分方程#

例 8 设$\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt=x^2+\sin x$⁠，求$f(x)$及$f(0)$⁠。

解：两边对$x$求导，$f(x)=2x+\cos x$⁠，$f(0)=1$⁠。

例 9（积分方程） 设连续函数$f$满足$f(x)=x+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt$⁠，求$f(x)$⁠。

解：先令$x=0$得$f(0)=0$（初值，务必先挖出来）。两边求导：$f'(x)=1+f(x)$⁠。解这个一阶线性方程，令$y=f+1$⁠，则$y'=y$⁠，$y=C\mathrm e^x$⁠，由$y(0)=1$得$C=1$⁠，所以$f(x)=\mathrm e^x-1$⁠。

⚠️ 易错：求导后丢掉初值。积分方程转微分方程时，初值从原方程令$x=a$（积分下限）得到。

例 10（先分部再求） 设$f(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{\sin t}{t}\,dt$⁠，求$\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$⁠。

解：$\sin t/t$的原函数写不出来，所以别想算出$f$⁠。用分部积分，$f(1)=0$⁠，$f'(x)=\dfrac{\sin x}x$⁠：

$$\int_0^1 f\,dx=\big[xf(x)\big]_0^1-\int_0^1 x\cdot\frac{\sin x}{x}dx=0-\int_0^1\sin x\,dx=\cos1-1.$$

数值积分验证：约$-0.4597$⁠。

💡 遇到"变限积分函数$f$的积分"，首选分部积分：对$f$求导（得到原被积函数），对另一部分积分。

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速记卡#

• $\dfrac d{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)dt=f(x)$⁠；上下限带函数：上限代入乘上限导数减下限同理。
• 被积函数里含$x$⁠：拆出（⁠$x-t$型）或换元（⁠$xt$⁠、$x^2-t^2$型）。
• 积分方程：两边求导，初值令$x=$下限。
• 对变限积分函数再积分：分部积分。

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自测 8 题#

1. 求$\displaystyle\frac d{dx}\int_1^{x^3}t\,\mathrm e^t\,dt$⁠。

答案与提示

$x^3\mathrm e^{x^3}\cdot3x^2=3x^5\mathrm e^{x^3}$⁠。

2. 设$F(x)=\displaystyle\int_x^{2x}\mathrm e^{-t^2}dt$⁠，求$F'(x)$⁠。

答案与提示

$2\mathrm e^{-4x^2}-\mathrm e^{-x^2}$⁠。

3. 求$\displaystyle\frac d{dx}\int_0^x t\sin(x^2-t^2)\,dt$⁠。

答案与提示

令$u=x^2-t^2$⁠，积分化为$\dfrac12\displaystyle\int_0^{x^2}\sin u\,du$⁠，求导得$x\sin x^2$⁠。

4. 设$f(x)=\displaystyle\int_0^{x}(x-t)\cos t\,dt$⁠，求$f'(x)$⁠、$f''(x)$⁠。

答案与提示

$f'(x)=\displaystyle\int_0^x\cos t\,dt=\sin x$⁠，$f''(x)=\cos x$⁠。

5. 设$\displaystyle\int_0^{x}f(t)dt=\mathrm e^{x}-1-x$⁠，求$f(x)$⁠。

答案与提示

求导得$f(x)=\mathrm e^x-1$⁠。

6. 设$f(x)=2+\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$⁠，求$f(x)$⁠。

答案与提示

$f(0)=2$⁠，$f'=f$⁠，所以$f(x)=2\mathrm e^x$⁠。

7. 设$g(x)=\displaystyle\int_0^1 \mathrm e^{xt}dt$⁠，求$\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)$⁠。

答案与提示

$g(x)=\dfrac{\mathrm e^x-1}x\to1$（也可直接代$x=0$得$\displaystyle\int_0^11\,dt=1$⁠）。

8. 设$F(x)=\displaystyle\int_0^x \mathrm e^{-t^2}dt$⁠，求$\displaystyle\int_0^1 F(x)\,dx$⁠。

答案与提示

分部：$\big[xF\big]_0^1-\displaystyle\int_0^1x\mathrm e^{-x^2}dx=F(1)-\dfrac{1-\mathrm e^{-1}}2$⁠，其中$F(1)=\displaystyle\int_0^1\mathrm e^{-t^2}dt$保留积分形式即可。

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下一篇预告#

专题 S11（下）讲变限积分的"三大用途"：用洛必达法则求含变限积分的极限、用$F'(x)=f(x)$判断单调性与极值拐点、讨论方程根的个数，以及奇偶性与周期性。

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