考研数学二·零基础讲义 专题S05（上）｜导数定义的各种变形题专项（配凑篇）

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S05（上）｜导数定义的各种变形题专项（配凑篇）

学完这篇，你看到$\lim\dfrac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}$这类"长得像导数定义"的极限，能立刻判断它等于几倍的$f'(a)$⁠。全篇 16 道例题 + 8 道自测，所有结论都用 SymPy 取具体函数验算过。预计用时 50–70 分钟。

本讲地图#

• 第一步：把导数定义的"骨架"背熟——分子是函数值之差，分母是自变量之差，二者必须"对得上"。
• 第二步：配凑三招——补一项、拆成两段、换元。
• 第三步：几类常见变形——$a+kh$⁠、对称差商、数列型$n[f(a+\frac1n)-f(a)]$⁠、$h^2$型、复合$f(\sin x)$型。
• 第四步：三个陷阱——对称差商存在推不出可导；$h^2$与$h$不能混；"$f$在$a$可导"这个条件不能丢。
• 大纲要求：理解导数的概念。导数定义题是选择题、填空题的常客，也是大题证明的第一步。

前置知识#

• 极限的四则运算：第 02 讲。
• 导数的定义与几何意义：第 04 讲。
• 分段函数与绝对值：专题 S04（下）。

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一、导数定义的"骨架"#

大白话：导数就是"变化率的极限"：自变量走了一小步$h$⁠，函数值变了$f(a+h)-f(a)$⁠，两者相除再让$h\to0$⁠。

定义：若下面的极限存在，就说$f$在$a$可导，极限值记作$f'(a)$⁠： $$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

图 1：割线转成切线：h 越小，割线斜率越接近 f′(a)（动画循环播放）

骨架三要素（凑题时逐条核对）：

1. 分子是$f(\square)-f(a)$⁠：两个函数值，其中一个必须是$f(a)$（或能凑出来）；
2. 分母必须恰好等于分子里"方框"与$a$的差，即$\square-a$⁠；
3. 同步趋于 0：方框$\to a$⁠，分母$\to0$⁠。

记忆口诀："括号里多出来的那一块，就是分母"。例如$f(a+2h)-f(a)$⁠，括号里多出$2h$⁠，分母就该是$2h$⁠；题里给的是$h$⁠，那就差一个因子$2$⁠： $$\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}=2\cdot\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}\to2f'(a).$$

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二、配凑三招#

• 补一项：分子里没有$f(a)$⁠，就"加一项减一项"补出来。
• 拆成两段：$f(a+\alpha h)-f(a+\beta h)=[f(a+\alpha h)-f(a)]-[f(a+\beta h)-f(a)]$⁠，每段各自配凑，结果为$(\alpha-\beta)f'(a)$⁠。
• 换元：$h=\dfrac1n$⁠、$h=x-a$⁠、$t=\sin x$等，把题目变成标准形式。

结论速查（设$f$在$a$可导）： $$\lim_{h\to0}\frac{f(a+\alpha h)-f(a+\beta h)}{h}=(\alpha-\beta)f'(a).$$

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三、例题#

以下例题中，除特别说明外，都假设$f$在所涉及的点可导。

例 1 求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}$⁠。

解：分母配成$2h$⁠：原式$=2\lim\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{2h}=2f'(a)$⁠。

例 2 求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a-h)-f(a)}{h}$⁠。

解：令$u=-h$⁠，原式$=\lim\dfrac{f(a+u)-f(a)}{-u}=-f'(a)$⁠。符号别丢。

例 3 求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}$⁠。

解：拆成两段：$[f(a+2h)-f(a)]-[f(a-h)-f(a)]$⁠，分别得$2f'(a)$与$-f'(a)$⁠，故原式$=2f'(a)-(-f'(a))=3f'(a)$⁠。用速查公式$\alpha=2,\beta=-1$⁠，同样得$3f'(a)$⁠。

例 4 求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+3h)-f(a-2h)-f(a+h)+f(a)}{h}$⁠。

解：把四项重新分组：$[f(a+3h)-f(a)]-[f(a-2h)-f(a)]-[f(a+h)-f(a)]$（展开后$f(a)$的系数为$-1+1+1=+1$⁠，与原式一致）。系数$3-(-2)-1=4$⁠，所以原式$=4f'(a)$⁠。

例 5（对称差商） 求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$⁠。

解：$\alpha=1,\beta=-1$⁠，原式$=\dfrac{(1-(-1))f'(a)}{2}=f'(a)$⁠。

记住这个形式叫对称差商。它在"$f$可导"的前提下等于$f'(a)$⁠，但反过来不成立，见第四节陷阱 1。

例 6（数列型） 求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\Big[f\big(a+\tfrac1n\big)-f(a)\Big]$与$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\Big[f\big(a+\tfrac2n\big)-f\big(a-\tfrac3n\big)\Big]$⁠。

解：令$h=\frac1n\to0$⁠。第一个$=\lim\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$⁠；第二个$=\lim\dfrac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h}=(2+3)f'(a)=5f'(a)$⁠。

例 7（平方型） 求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}$与$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h^2)-f(a)}{h}$⁠。

解：令$u=h^2\to0^+$⁠，第一个$=\lim_{u\to0^+}\dfrac{f(a+u)-f(a)}{u}=f'(a)$⁠。第二个$=h\cdot\dfrac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}\to0\cdot f'(a)=0$⁠。分母与括号里多出的那块必须一致，$h$和$h^2$不能混。

例 8（复合型） 设$f(0)=0$⁠，$f'(0)$存在，求 (1) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(\sin x)}{x}$⁠；(2) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(1-\cos x)}{x^2}$⁠；(3) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(\tan x-\sin x)}{x^3}$⁠。

解：因为$f(0)=0$⁠，$f(u)=f(u)-f(0)$⁠，$\dfrac{f(u)}{u}\to f'(0)$（⁠$u\to0$⁠）。 (1) $\dfrac{f(\sin x)}{x}=\dfrac{f(\sin x)}{\sin x}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\to f'(0)\cdot1$⁠。 (2) $1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$⁠，故$\dfrac{f(1-\cos x)}{x^2}=\dfrac{f(1-\cos x)}{1-\cos x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac{f'(0)}{2}$⁠。 (3) $\tan x-\sin x\sim\frac{x^3}{2}$⁠，同理得$\dfrac{f'(0)}{2}$⁠。 （用$f=\sin x+x^2\mathrm e^x$代入，SymPy 得$1,\ \frac12,\ \frac12$⁠，与$f'(0)=1$相符。）

例 9 求$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x^2-a^2}$（⁠$a\ne0$⁠）。

解：$\dfrac{f(x)-f(a)}{x^2-a^2}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot\dfrac1{x+a}\to\dfrac{f'(a)}{2a}$⁠。

例 10（补一项） 求$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{x^2f(x_0)-x_0^2f(x)}{x-x_0}$⁠。

解：分子$x^2f(x_0)-x_0^2f(x)=(x^2-x_0^2)f(x_0)-x_0^2\,[f(x)-f(x_0)]$⁠。除以$x-x_0$⁠： $$\to2x_0f(x_0)-x_0^2f'(x_0).$$

例 11（变量不同） 求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-3h)}{\sin h}$⁠。

解：$\sin h\sim h$⁠，原式$=\lim\dfrac{f(a+h)-f(a-3h)}{h}=4f'(a)$⁠。

例 12（分母是$1-\cos h$⁠） 求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h^2)-f(a)}{1-\cos h}$⁠。

解：$1-\cos h\sim\frac{h^2}{2}$⁠，故原式$=2\lim\dfrac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}=2f'(a)$⁠。

例 13（倒数型） 设$f'(a)\ne0$⁠，求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{h}{f(a-h)-f(a)}$⁠。

解：$\dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}\to-f'(a)$⁠，倒数得$-\dfrac1{f'(a)}$⁠。

例 14（乘积的零点） 设$f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$⁠，求$f'(0)$⁠。

解：$f(0)=0$⁠，$f'(0)=\lim\dfrac{f(x)}{x}=(x-1)(x-2)\cdots(x-5)|_{x=0}=(-1)^5\cdot5!=-120$⁠。若改为$x(x+1)\cdots(x+5)$⁠，则$f'(0)=5!=120$⁠。不用求导公式。

例 15（⁠$(x-a)\varphi(x)$型） 设$\varphi(x)$在$x=a$连续，$f(x)=(x-a)\varphi(x)$⁠，求$f'(a)$⁠。

解：$f(a)=0$⁠，$f'(a)=\lim\dfrac{(x-a)\varphi(x)}{x-a}=\lim\varphi(x)=\varphi(a)$⁠。此时不能写$f'(x)=\varphi(x)+(x-a)\varphi'(x)$⁠，因为$\varphi$只说了连续，未必可导。

例 16（综合） 设$f(x)$在$x=1$可导，且$f'(1)=2$⁠，求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(1+x)-f(1-x)}{\sin 2x}$⁠。

解：分子$\sim(1-(-1))f'(1)\,x=2f'(1)x$⁠，分母$\sim2x$⁠，原式$=f'(1)=2$⁠。

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四、三个陷阱#

陷阱 1：对称差商存在$\not\Rightarrow$可导。

图 2：对称差商恒为 0，但 |x| 在原点不可导（动画循环播放）

$f(x)=|x|$在$0$处：$\dfrac{f(h)-f(-h)}{2h}=0$⁠，极限为$0$⁠；但$|x|$在$0$处不可导（左右斜率$-1$⁠、$+1$⁠）。同理：$\lim\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$存在才是可导；"$f(a+h)-f(a-h)$"的版本只是必要条件。

陷阱 2：$h$与$h^2$⁠。 见例 7：若$f$只在$a$的右侧可导，$\lim\dfrac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}$也可能存在，但这不能推出$f$在$a$可导，因为$h^2>0$只探测了右边。

陷阱 3：前提条件。 例 8 中$f(0)=0$不能省；例 15 中$\varphi$只连续就不能乘积求导。先看条件，再动手。

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速记卡#

• 可导定义：分子是$f(\square)-f(a)$⁠，分母是$\square-a$⁠。
• $\lim\dfrac{f(a+\alpha h)-f(a+\beta h)}{h}=(\alpha-\beta)f'(a)$⁠。
• 对称差商$\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\to f'(a)$⁠，但逆命题不成立。
• $f(0)=0$时，$\dfrac{f(u(x))}{x}$先配成$\dfrac{f(u)}{u}\cdot\dfrac ux$⁠。
• $(x-a)\varphi(x)$在$a$的导数是$\varphi(a)$（⁠$\varphi$连续即可）。

自测 8 题#

1. $f$在$a$可导，求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+5h)-f(a)}{h}$⁠。

答案与提示

$5f'(a)$⁠。

2. 求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a-h)-f(a)}{h}$⁠。

答案与提示

$-f'(a)$⁠。

3. 求$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-3h)}{h}$⁠。

答案与提示

$(1+3)f'(a)=4f'(a)$⁠。

4. 求$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{xf(a)-af(x)}{x-a}$⁠。

答案与提示

分子$=(x-a)f(a)-a[f(x)-f(a)]$⁠，结果$f(a)-af'(a)$⁠。

5. 设$f(0)=0$⁠，$f'(0)$存在，求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x^2)}{1-\cos x}$⁠。

答案与提示

$\dfrac{f(x^2)}{x^2}\cdot\dfrac{x^2}{1-\cos x}\to f'(0)\cdot2=2f'(0)$⁠。

6. 求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\Big[f\big(a+\tfrac2n\big)-f\big(a-\tfrac3n\big)\Big]$⁠。

答案与提示

$5f'(a)$⁠。

7. 设$f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$⁠，求$f'(0)$⁠。

答案与提示

$1\cdot2\cdot3=6$⁠。

8. $f(x)=|x|$⁠：$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(-h)}{2h}$是多少？$f$在$0$可导吗？

答案与提示

极限为$0$⁠；但左右导数是$-1$⁠、$1$⁠，不可导。

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下一篇预告#

专题 S05（下）讲"已知极限反推导数"：由$\lim\dfrac{f(x)}{x}=A$推$f(0),f'(0)$⁠，由函数方程$f(x+y)=f(x)f(y)$求导函数，以及$|f(x)|$⁠、$f(x)|x|$在零点处的可导性判别。

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