考研数电·零基础讲义 第24讲（上）｜D/A 转换器的结构与原理

考研数电·零基础讲义 · 第 24 讲（上）｜D/A 转换器的结构与原理 学完这一讲，你能说清 D/A 转换器"把数字变成电压"的基本做法，会用$v_O=-\dfrac{V_{REF}}{2^n}D$计算输出电压，能读懂权电阻网络和倒 T 形电阻网络。预计用时 90–110 分钟。

本讲地图#

• D/A 转换器是干什么的：输入$n$位二进制数$D$⁠，输出一个与$D$成正比的模拟电压（或电流）。
• 核心公式：$v_O=-\dfrac{V_{REF}}{2^n}\cdot D$⁠，其中$D=d_{n-1}2^{n-1}+\cdots+d_0$⁠。
• 两种电阻网络：权电阻网络（电阻值按$R,2R,4R,\dots$⁠，阻值差距大）和倒 T 形电阻网络（只用$R$⁠、$2R$两种阻值，集成电路最常用）。
• 其他：权电流型、双极性输出（带符号数）。
• 华师怎么考：2026 回忆题第 9 题就是 D/A（分辨率、输出电压、位数选择）。本讲给出公式和电路，精度与速度参数放在下一讲（下）。教材对应第 8 章 8.1、8.2 节。

前置知识#

• 二进制数的"位权"：$d_i$的权是$2^i$（见第 01 讲上）。
• 运算放大器的"虚短、虚断"（输入电流为零，反相输入端电位 ≈ 同相输入端电位）：本讲会用到，下面会补讲。
• 二进制补码（见第 01 讲下，仅双极性输出部分用到）。

一、为什么需要 D/A？#

大白话#

数字电路里只有 0 和 1，可现实世界的量——声音、温度、电机转速——是连续变化的"模拟量"。手机播放音乐时，存储器里是一串数字，扬声器却需要连续变化的电压推动。D/A 转换器（Digital-to-Analog Converter，简称 DAC）就是翻译官：数字进，电压出。

反过来，A/D 转换器把电压变成数字，将在第 25 讲介绍。

基本要求#

D/A 转换的原则很朴素：输出电压应该正比于输入的数字量。8 位输入$D=0\sim255$⁠，输出就是$0\sim255$个"单位电压"。这个单位电压对应最低位 1（LSB，Least Significant Bit）所代表的大小，叫最小输出电压。最高位（MSB，Most Significant Bit）的权最大。

怎么实现"正比"？思路是：每一位 1 都送出一份"大小与该位权成比例"的电流，再把所有电流加起来，变成电压。 下面用电阻来做出这些电流。

二、预备知识：求和放大器与"虚地"#

D/A 里几乎都有一个运算放大器接成反相求和的形式。把它当成理想的：

1. 虚断：输入端不吸电流（输入电阻无穷大）；
2. 虚地：同相端$V_+$接地，所以反相端$V_-\approx0$⁠，即反相端电位约等于地电位，却并没有真的接地，所以叫"虚地"。

所有支路电流从虚地点流入后，因为放大器不吸电流，只能全部流过反馈电阻$R_F$，产生输出电压：

$$v_O=-R_F\cdot i_\Sigma$$

这里$i_\Sigma$是所有进入求和点的电流之和，负号表示输出与电流方向相反。

⚠️ 易错：负号来自反相放大器。教材里$V_{REF}$为正时输出为负，要得到正的输出电压，就把$V_{REF}$取为负值。

三、权电阻网络 D/A 转换器#

大白话#

给每一位配一只电阻，让权大的位电阻小（电流大），权小的位电阻大（电流小）。第$i$位的权是$2^i$⁠，要让电流与权成正比，电阻就与权成反比：4 位时，$d_3$接$R$⁠，$d_2$接$2R$⁠，$d_1$接$4R$⁠，$d_0$接$8R$⁠。每个电阻前有一个模拟开关，由对应位控制：$d_i=1$就接到参考电压$V_{REF}$⁠，$d_i=0$就接地。

公式推导（4 位）#

虚地时$V_-\approx0$⁠，每条支路电阻两端电压就是$V_{REF}$（开关接参考电压时），因此

$$I_3=\frac{V_{REF}}{R}d_3,\ I_2=\frac{V_{REF}}{2R}d_2,\ I_1=\frac{V_{REF}}{4R}d_1,\ I_0=\frac{V_{REF}}{8R}d_0$$

求和后乘以$R_F$得$v_O=-R_F(I_3+I_2+I_1+I_0)$⁠。取$R_F=R/2$⁠：

$$v_O=-\frac{V_{REF}}{2^4}\left(d_32^3+d_22^2+d_12^1+d_02^0\right)=-\frac{V_{REF}}{16}D$$

$n$位时一般式：

$$v_O=-\frac{V_{REF}}{2^n}D_n$$

$D_n=0$时$v_O=0$⁠；$D_n=11\cdots1$时$v_O=-\dfrac{2^n-1}{2^n}V_{REF}$⁠。所以输出范围是$0\sim-\dfrac{2^n-1}{2^n}V_{REF}$⁠，永远达不到 $V_{REF}$⁠，差一个 LSB。

例题 1：4 位，$V_{REF}=5\text{ V}$⁠，求$D=1011$的输出#

第一步：$D=1011_2=8+2+1=11$⁠。 第二步：$v_O=-\dfrac{5}{16}\times11=-3.4375\text{ V}$⁠。 第三步：最小输出电压（LSB）$=\dfrac{5}{16}=0.3125\text{ V}$⁠，所以$D=0000$时 0 V，$D=1111$时$-15\times0.3125=-4.6875\text{ V}$⁠。

Python 把 16 个输入全部算了一遍：$0,-0.3125,-0.625,\dots,-4.6875$⁠，每次加一个 0.3125 V 的台阶，还用电阻值（⁠$R=10\text{ k}\Omega$⁠，$R_F=5\text{ k}\Omega$⁠）按电流公式逐个核对，与上式完全一致。

图 1：输入 D 从 0 加到 15，输出电压（取绝对值）呈阶梯上升，每一级就是 1 个 LSB（动画循环播放）

权电阻网络的缺点#

电阻阻值差距太大。以 8 位为例，若最小电阻$R=10\text{ k}\Omega$⁠，最大电阻为$2^7R=1.28\text{ M}\Omega$⁠，相差 128 倍。要在这么宽的范围内让每只电阻都有很高精度很难，位数越多问题越严重，对集成电路尤其不利。

教材给了一个折中办法：双级权电阻网络，把 8 位拆成高 4 位、低 4 位两组，每组电阻比仍是$1:2:4:8$⁠，两组之间串一只$R_S=8R$⁠，同样可得$v_O=-\dfrac{V_{REF}}{2^8}D$⁠，而电阻最大最小之比只有 8 倍。

⚠️ 易错：

1. 权电阻网络里，反馈电阻取$R/2$ 才得到$\dfrac{V_{REF}}{2^n}$这个系数，改了$R_F$输出幅度就变。
2. 分母是$2^n$⁠，不是$2^n-1$⁠。

四、倒 T 形电阻网络 D/A 转换器#

大白话#

我们希望只用两种阻值。办法是搭一个"梯子"：每一节都由一只串联电阻$R$和一只对地（虚地）电阻$2R$组成，因为从每个节点向右看进去的等效电阻刚好都是$R$⁠，电流每经过一个节点就一分为二：一半往下进支路，一半继续往右走。于是各支路电流依次是总电流的$\dfrac12,\dfrac14,\dfrac18,\dfrac1{16}$⁠。

图 2：倒 T 形电阻网络。每个 2R 支路下端的开关，接"1"侧（接求和放大器反相端，虚地）或接"0"侧（接地），两个位置电位都约等于 0，所以支路电流恒定不变

为什么"开关切换时电流不变"？#

关键就是虚地：放大器反相端电位 ≈ 0，和地电位一样。所以无论开关接哪边，$2R$电阻下端电位都是 0，流过它的电流只由电阻网络和$V_{REF}$决定，不会因开关动作而变化。这样的好处是：

• 开关动作不会引起电压大幅摆动，转换速度快；
• 电阻只有$R$⁠、$2R$两种，容易做成集成电路，精度高。

公式推导#

从$V_{REF}$流进网络的总电流为$I=\dfrac{V_{REF}}{R}$⁠。（从任何节点向左看进去的等效电阻都是$R$⁠。）各支路电流（从高位到低位）：$\dfrac I2,\dfrac I4,\dfrac I8,\dfrac I{16}$⁠。第$i$位开关接求和端时该支路电流进入求和点，因此

$$i_\Sigma=\frac I2d_3+\frac I4d_2+\frac I8d_1+\frac I{16}d_0=\frac{V_{REF}}{2^4R}\left(8d_3+4d_2+2d_1+d_0\right)$$

取反馈电阻$R_F=R$⁠：

$$v_O=-Ri_\Sigma=-\frac{V_{REF}}{2^4}\left(d_32^3+d_22^2+d_12^1+d_02^0\right)$$

$n$位推广：

$$v_O=-\frac{V_{REF}}{2^n}D_n$$

与权电阻网络形式完全相同。

我们用 Python 对$R=10\text{ k}\Omega$⁠、$V_{REF}=5\text{ V}$的 4 位电路列节点电压方程求解：四条支路电流依次是总电流$I=0.5\text{ mA}$的$0.5,0.25,0.125,0.0625$倍；16 种输入的输出电压与公式完全一致。

例题 2：10 位倒 T 形 D/A，$V_{REF}=-10.24\text{ V}$#

求： (1) 最小输出电压；(2) $D=10\,0000\,0000$的输出；(3) 最大输出。

解：

(1) LSB $=\dfrac{10.24}{2^{10}}=\dfrac{10.24}{1024}=0.01\text{ V}=10\text{ mV}$⁠。

(2) $D=2^9=512$⁠，$v_O=512\times0.01=5.12\text{ V}$⁠，恰好是满量程的一半。（因为$V_{REF}$取负，输出为正。）

(3) $D=1023$⁠，$v_O=1023\times0.01=10.23\text{ V}$⁠。

Python 核对：$10.24/1024=0.01$⁠，$512\times0.01=5.12$⁠，$1023\times0.01=10.23$⁠。

例题 3：已知输出，反求输入#

4 位 D/A，$V_{REF}=5\text{ V}$⁠，要求$v_O=-3.125\text{ V}$⁠，输入代码是多少？

$D=\dfrac{3.125}{5}\times16=10=1010_2$（Python 算得 10.0）。

⚠️ 易错：

1. 倒 T 网络里总电流是$V_{REF}/R$，不是$V_{REF}/2R$⁠；每一支路电流是它的$1/2,1/4,\dots$⁠。
2. 终端那只"多出来的$2R$"接地，是为了让最右边一节的等效电阻也是$R$⁠，不能省。
3. 总电流和输出无关，输出只由接到求和端的支路决定。

集成实例：AD7520#

AD7520 是 10 位 CMOS 倒 T 形 D/A 芯片，用 CMOS 模拟开关，不含运算放大器和参考源，使用时需外接运放；运放反馈电阻可用芯片内部的$R$⁠，也可另选反馈电阻接在$I_{out1}$与$v_O$之间。外部$V_{REF}$必须足够稳定，否则精度得不到保证。后来的许多产品把运放和参考电压源都集成进了芯片。

五、权电流型 D/A 转换器（了解）#

上面两种电路里，开关有导通内阻，而且各开关的内阻和压降不一样，会影响各支路电流，带来误差。权电流型D/A 用恒流源代替电阻产生各位电流：每位的恒流源电流按$\dfrac I2,\dfrac I4,\cdots$取值，开关只是把这个电流"导向"求和端或地，电流大小与开关内阻无关，所以精度更高、速度也更快。

六、具有双极性输出的 D/A 转换器#

前面的 D/A 输出只有一种极性。但带符号数通常用补码表示，我们希望补码正数输出正电压，负数输出负电压。以 3 位补码（⁠$-4\sim+3$⁠）为例，做法分两步：

1. 符号位取反后送入普通 D/A 的输入。
2. 在求和点加一个偏移电流，使输入$100$（即取反后的$0$对应处）输出为 0。偏移条件$\dfrac{|V_B|}{R_B}=\dfrac I2=\dfrac{|V_{REF}|}{2R}$⁠。

对应关系（Python 逐行核对）：

（表中取$V_{REF}=-8\text{ V}$⁠，LSB $=1\text{ V}$⁠。）一般方法：求和输入端加一个偏移电流，使"最高位为 1、其余为 0"时输出为 0，并把符号位反相后接普通 D/A。

七、D/A 转换器的整体组成与几道补充例题#

整体框图#

一个完整的 D/A 转换器通常由四块组成：数码寄存器（存放待转换的数字量，保证转换期间输入不变）、模拟开关（每一位一只，由该位数码控制）、电阻解码网络（权电阻或倒 T 形，把每位的权变成对应大小的电流）、求和放大器（把电流加起来变成电压），外加一个稳定的参考电压$V_{REF}$。记住这条链：数码 → 开关 → 电阻网络 → 运放求和 → 电压。输出精度首先取决于参考电压是否稳定、电阻是否精确、开关是否理想。

补充例题 4：看清电流的大小#

倒 T 形 4 位 D/A，$R=10\text{ k}\Omega$⁠，$V_{REF}=5\text{ V}$⁠。

(1) 总电流：$I=\dfrac{V_{REF}}{R}=\dfrac{5}{10\text{ k}}=0.5\text{ mA}$⁠。 (2) 各支路电流（高位到低位）：$\dfrac I2=0.25\text{ mA}$⁠，$\dfrac I4=0.125\text{ mA}$⁠，$\dfrac I8=0.0625\text{ mA}$⁠，$\dfrac I{16}=0.03125\text{ mA}$⁠。 (3) 输入$D=1000$：只有$d_3$的支路电流进入求和点，$i_\Sigma=0.25\text{ mA}$⁠，取$R_F=R=10\text{ k}\Omega$得$|v_O|=0.25\text{ mA}\times10\text{ k}\Omega=2.5\text{ V}$⁠，与公式$\dfrac{5}{16}\times8=2.5\text{ V}$一致（Python 核对）。

这道题的意义在于：以后看到"支路电流"类问题，就用 "总电流逐级减半" 这一句话来算。

补充例题 5：已知 LSB，求某输入的输出#

8 位 D/A，$V_{REF}=-5.12\text{ V}$⁠，求 LSB 和$D=100$（十进制）的输出。

LSB $=\dfrac{5.12}{2^8}=\dfrac{5.12}{256}=0.02\text{ V}=20\text{ mV}$⁠；$v_O=100\times0.02=2.00\text{ V}$⁠。

经验： 想让 LSB 是整数毫伏，常把$V_{REF}$选成$2^n$的"整倍数"（如 8 位选 5.12 V、10 位选 10.24 V），这样输出电压读起来就是"输入数值 × 0.02 V"之类的整齐数。

补充例题 6：电阻网络电阻的取值#

用权电阻网络做 4 位 D/A，要求$d_3$支路电阻为$R=8\text{ k}\Omega$⁠，则其余各位电阻是多少？反馈电阻是多少？

电阻与权成反比：$d_2$为$2R=16\text{ k}\Omega$⁠，$d_1$为$4R=32\text{ k}\Omega$⁠，$d_0$为$8R=64\text{ k}\Omega$⁠；反馈电阻$R_F=R/2=4\text{ k}\Omega$⁠。

⚠️ 总结几个最常见的错误：

1. 把$2^n$写成$2^n-1$（输出公式的分母是$2^n$⁠）。
2. 忘记负号，或者忘记"$V_{REF}$为负时输出为正"。
3. 倒 T 网络里，把支路电流当成$V_{REF}/2R$的几倍。

补充：为什么"每个节点向右看都是$R$"？（逐步证明）#

这是倒 T 网络最漂亮的地方，不妨亲手算一遍。从最右端开始（所有$2R$下端电位都是 0，所以都等价于接地）：

1. 最右端有两只$2R$并联（终端电阻和$d_0$支路的$2R$⁠）：$2R\parallel2R=R$⁠。
2. 这个$R$再和左边那只串联电阻$R$串联：$R+R=2R$⁠。
3. 这个$2R$与$d_1$支路的$2R$并联：$2R\parallel2R=R$⁠。
4. 重复同样的步骤：再串$R$得$2R$⁠，再与$d_2$支路$2R$并联得$R$⁠，依此类推，一直到最左边的节点，从$V_{REF}$看进去仍是$R$⁠。

（Python 逐级计算等效电阻，每一级并联结果都等于$R$⁠，整个网络等效电阻$R+R=2R$再并联最左支路$2R$得$R$⁠。）

既然每个节点处"向下的$2R$"和"向右的等效$2R$"阻值相等且两端电压相同，流入该节点的电流自然一分为二，各一半。从左到右：总电流$I$先一分为二，一半$\dfrac I2$进入$d_3$支路，另一半$\dfrac I2$往右；再一分为二，$\dfrac I4$进入$d_2$支路……这就是支路电流$\dfrac I2,\dfrac I4,\dfrac I8,\dfrac I{16}$的来历，最后剩下的$\dfrac I{16}$流进终端的$2R$接地（它不进入求和点，也不受输入控制）。

小结：D/A 转换器的"思路地图"#

1. 先把每位二进制数变成与权成比例的电流（电阻网络或恒流源）；
2. 由开关决定这份电流是否参加求和（⁠$d_i=1$参加，$d_i=0$不参加）；
3. 运放把总电流变成电压，放大系数由$R_F$决定；
4. 总公式$v_O=-\dfrac{V_{REF}}{2^n}D_n$说明：输出正比于输入数字量，比例系数由$V_{REF}$和位数决定。

另外，教材还提到开关树型 D/A（用 MOS 开关按位逐级选择电阻分压）和权电容网络 D/A（用电容分压代替电阻），都是"把数字量变成电压"的另外两种结构，标了星号，属于选学，考研一般不要求。

考试常见问法与答题模板#

1. "简述倒 T 形电阻网络 D/A 的工作原理"：先说电路组成（⁠$R$-$2R$电阻网络、模拟开关、求和运放、参考电压），再说虚地使支路电流恒定，总电流$I=V_{REF}/R$逐级减半，开关控制各支路电流是否进入求和点，最后写出$v_O=-\dfrac{V_{REF}}{2^n}D_n$⁠。
2. "给定位数和$V_{REF}$⁠，求某个输入的输出"：先把二进制转成十进制$D$⁠，再乘$\dfrac{V_{REF}}{2^n}$⁠，别忘负号。
3. "为什么倒 T 形比权电阻网络更适合集成"：只有两种阻值，易保证精度；开关切换时支路电流不变，速度快。
4. "位数增加一位，LSB 怎样变化"：$n$增加 1，$2^n$翻倍，LSB 变为原来的一半，分辨能力提高一倍。

做题时养成习惯：先写公式，再代数，最后检查单位（V、mV）和符号。

速记卡#

核心公式：$v_O=-\dfrac{V_{REF}}{2^n}D_n$⁠；LSB $=\dfrac{|V_{REF}|}{2^n}$⁠；输出范围$0\sim-\dfrac{2^n-1}{2^n}V_{REF}$⁠。 倒 T 网络：总电流$I=V_{REF}/R$⁠，支路电流$\dfrac I2,\dfrac I4,\dots$⁠。

自测练习#

1. 4 位 D/A（权电阻或倒 T 形），$V_{REF}=-8\text{ V}$⁠，求输入$D=0110$时的输出电压。

答案与提示

$D=6$⁠，$v_O=-\dfrac{-8}{16}\times6=+3\text{ V}$⁠。LSB $=0.5\text{ V}$⁠。

2. 8 位倒 T 形 D/A，$V_{REF}=-10\text{ V}$⁠，求$D=10100101_2$（十进制 165）的输出。

答案与提示

$v_O=\dfrac{10}{256}\times165=6.4453125\approx6.45\text{ V}$⁠。

3. 8 位权电阻网络，最小电阻$R=10\text{ k}\Omega$⁠，最大电阻是多少？为什么说这是缺点？

答案与提示

最大电阻$2^7R=1.28\text{ M}\Omega$⁠，相差 128 倍。要使每只电阻都有高精度很困难，位数越多越严重，不利于集成。

4. 4 位 D/A，$V_{REF}=5\text{ V}$⁠，想要$v_O=-3.125\text{ V}$⁠，输入应是什么？

答案与提示

$D=3.125/5\times16=10=1010$⁠。

5. 倒 T 形 D/A 中，为什么开关接地和接虚地都不影响支路电流？

答案与提示

放大器反相端电位 ≈ 0（虚地），与地电位相同，所以两种位置时$2R$电阻两端电压一样，电流不变。

6. 10 位倒 T 形 D/A，$V_{REF}=-10.24\text{ V}$⁠，求最小输出电压和$D=3FF_{H}$时的输出。

答案与提示

LSB $=10.24/1024=10\text{ mV}$⁠；$D=1023$⁠，$v_O=10.23\text{ V}$⁠。

7.（华师风格） 某 10 位 D/A 转换器，满量程输出约 10 V。(1) 求分辨率；(2) 求最小输出电压（取$V_{FS}=10\text{ V}$时约多少）。

答案与提示

(1) 分辨率$=\dfrac{1}{2^{10}-1}=\dfrac1{1023}\approx0.098\%$⁠；(2) 最小输出电压$\approx\dfrac{10}{1023}\approx9.8\text{ mV}$⁠。（分辨率与最小输出电压的定义详见下一讲。）

8. 用补码输入 3 位的双极性 D/A，输入$101$（即$-3$⁠），符号位取反后是多少？偏移后输出是多少？

答案与提示

符号位取反：$101\to001$⁠，无偏移输出$+1\text{ V}$⁠，偏移$-4\text{ V}$后得$-3\text{ V}$⁠，与补码$-3$对应。

下一讲预告#

第 24 讲（下）讲 D/A 的转换精度（分辨率、转换误差、线性度等）和转换速度（建立时间），并用它们回答"10 位够不够用"这类华师真题。